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1. 如图，在$△ ABC$的边上有$D,E,F,G$四点.根据图中的符号和数据，计算$x+y$的值为（
A.110
B.120
C.160
D.165
B
）A.110
B.120
C.160
D.165
答案
1.B
解析
【分析】
要计算x+y的值，首先需要求出公共角∠A的度数：∠A是大三角形ABC的内角，已知∠B和∠C的度数，可通过三角形内角和定理算出∠A。之后x和y分别是小三角形ADF、AEG的内角，再次利用三角形内角和定理分别求出x、y的值，相加即可得到结果。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ A = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 65° - 75° = 40°$
在△ADF中，内角和为180°，则：
$x° + 85° + ∠ A = 180°$
$x = 180 - 85 - 40 = 55$
在△AEG中，内角和为180°，则：
$y° + 75° + ∠ A = 180°$
$y = 180 - 75 - 40 = 65$
因此$x+y=55+65=120$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，角度运算
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是利用三角形内角和为180°的性质，先求出公共角∠A的度数是解题的突破口，熟练掌握基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要计算x+y的值，首先需要求出公共角∠A的度数：∠A是大三角形ABC的内角，已知∠B和∠C的度数，可通过三角形内角和定理算出∠A。之后x和y分别是小三角形ADF、AEG的内角，再次利用三角形内角和定理分别求出x、y的值，相加即可得到结果。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ A = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 65° - 75° = 40°$
在△ADF中，内角和为180°，则：
$x° + 85° + ∠ A = 180°$
$x = 180 - 85 - 40 = 55$
在△AEG中，内角和为180°，则：
$y° + 75° + ∠ A = 180°$
$y = 180 - 75 - 40 = 65$
因此$x+y=55+65=120$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，角度运算
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是利用三角形内角和为180°的性质，先求出公共角∠A的度数是解题的突破口，熟练掌握基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=80°$，$∠ B=60°$，将纸片的一角折叠，使点$C$落在$△ ABC$内。若$∠ 1=20°$，则$∠ 2$的度数为
60°
。答案
2.60°
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先利用三角形内角和定理，结合已知的∠A和∠B的度数，计算出△ABC中∠C的度数；2. 根据折叠的性质可知，折叠前后对应角相等，即折叠后与点C对应的角和∠C相等，折叠线与AC、BC形成的两个角折叠后也分别相等；3. 利用平角的定义，可知AC、BC边上的两个平角之和为360°，结合△CDE的内角和，推导得出∠1、∠2与∠C的数量关系，代入已知角度即可求出∠2的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 80° - 60° = 40°$。
设折叠后点C的对应点为$C'$，折痕与AC交于点E，与BC交于点D。根据折叠的性质，得$∠ C'=∠ C=40°$，$∠ CED=∠ C'ED$，$∠ CDE=∠ C'DE$。
在△CDE中，$∠ CED + ∠ CDE = 180° - ∠ C = 180° - 40° = 140°$，因此：
$∠ CED + ∠ C'ED + ∠ CDE + ∠ C'DE = 2(∠ CED + ∠ CDE) = 2×140° = 280°$。
根据平角的定义，$∠ 1 + ∠ CED + ∠ C'ED = 180°$，$∠ 2 + ∠ CDE + ∠ C'DE = 180°$，将两式相加得：
$∠ 1 + ∠ 2 + (∠ CED + ∠ C'ED + ∠ CDE + ∠ C'DE) = 360°$。
将280°代入上式，得$∠ 1 + ∠ 2 + 280° = 360°$，即$∠ 1 + ∠ 2 = 80°$。
已知$∠ 1=20°$，因此$∠ 2 = 80° - 20° = 60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
三角形内角和定理；折叠的性质；平角的定义
【点评】
本题是三角形折叠类的角度计算常考题，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合三角形内角和、平角的特征推导角度间的数量关系，熟练掌握基础定理就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先利用三角形内角和定理，结合已知的∠A和∠B的度数，计算出△ABC中∠C的度数；2. 根据折叠的性质可知，折叠前后对应角相等，即折叠后与点C对应的角和∠C相等，折叠线与AC、BC形成的两个角折叠后也分别相等；3. 利用平角的定义，可知AC、BC边上的两个平角之和为360°，结合△CDE的内角和，推导得出∠1、∠2与∠C的数量关系，代入已知角度即可求出∠2的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 80° - 60° = 40°$。
设折叠后点C的对应点为$C'$，折痕与AC交于点E，与BC交于点D。根据折叠的性质，得$∠ C'=∠ C=40°$，$∠ CED=∠ C'ED$，$∠ CDE=∠ C'DE$。
在△CDE中，$∠ CED + ∠ CDE = 180° - ∠ C = 180° - 40° = 140°$，因此：
$∠ CED + ∠ C'ED + ∠ CDE + ∠ C'DE = 2(∠ CED + ∠ CDE) = 2×140° = 280°$。
根据平角的定义，$∠ 1 + ∠ CED + ∠ C'ED = 180°$，$∠ 2 + ∠ CDE + ∠ C'DE = 180°$，将两式相加得：
$∠ 1 + ∠ 2 + (∠ CED + ∠ C'ED + ∠ CDE + ∠ C'DE) = 360°$。
将280°代入上式，得$∠ 1 + ∠ 2 + 280° = 360°$，即$∠ 1 + ∠ 2 = 80°$。
已知$∠ 1=20°$，因此$∠ 2 = 80° - 20° = 60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
三角形内角和定理；折叠的性质；平角的定义
【点评】
本题是三角形折叠类的角度计算常考题，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合三角形内角和、平角的特征推导角度间的数量关系，熟练掌握基础定理就能快速解题。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在$△ ABC$中,D,E分别是边AB,AC上的点.若$∠ ABC+∠ ACB=α$,请用含$α$的代数式表示$∠ ADC+∠ ABE+∠ AEB+∠ ACD$的结果. 
答案
3.2α
解析
【分析】
解题时先观察所求的四个角的归属，可将其分为两组：∠ADC与∠ACD属于△ADC的内角，∠ABE与∠AEB属于△ABE的内角。首先利用三角形内角和定理，分别将两组角的和用∠A表示，再结合△ABC的内角和关系，推导出∠A与α的关系式，最后代入化简即可得到结果。
【解析】
解：在△ABC中，由三角形内角和定理得：
$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$
已知$∠ ABC + ∠ ACB = α$，因此$∠ A = 180° - α$。
在△ADC中，由三角形内角和定理得：
$∠ ADC + ∠ ACD + ∠ A = 180°$
即$∠ ADC + ∠ ACD = 180° - ∠ A$ ①
在△ABE中，由三角形内角和定理得：
$∠ ABE + ∠ AEB + ∠ A = 180°$
即$∠ ABE + ∠ AEB = 180° - ∠ A$ ②
将①+②可得：
$∠ ADC + ∠ ACD + ∠ ABE + ∠ AEB = (180° - ∠ A) + (180° - ∠ A) = 360° - 2∠ A$
把$∠ A = 180° - α$代入上式：
原式$= 360° - 2×(180° - α) = 360° - 360° + 2α = 2α$
【答案】
$2α$
【知识点】
三角形内角和定理；代数式化简
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，核心是灵活运用三角形内角和定理，将未知角度的和转化为与公共角∠A相关的表达式，再结合已知条件代换求解，解题时要学会拆分角度、合理转化的思路。
【难度系数】
0.7
解题时先观察所求的四个角的归属，可将其分为两组：∠ADC与∠ACD属于△ADC的内角，∠ABE与∠AEB属于△ABE的内角。首先利用三角形内角和定理，分别将两组角的和用∠A表示，再结合△ABC的内角和关系，推导出∠A与α的关系式，最后代入化简即可得到结果。
【解析】
解：在△ABC中，由三角形内角和定理得：
$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$
已知$∠ ABC + ∠ ACB = α$，因此$∠ A = 180° - α$。
在△ADC中，由三角形内角和定理得：
$∠ ADC + ∠ ACD + ∠ A = 180°$
即$∠ ADC + ∠ ACD = 180° - ∠ A$ ①
在△ABE中，由三角形内角和定理得：
$∠ ABE + ∠ AEB + ∠ A = 180°$
即$∠ ABE + ∠ AEB = 180° - ∠ A$ ②
将①+②可得：
$∠ ADC + ∠ ACD + ∠ ABE + ∠ AEB = (180° - ∠ A) + (180° - ∠ A) = 360° - 2∠ A$
把$∠ A = 180° - α$代入上式：
原式$= 360° - 2×(180° - α) = 360° - 360° + 2α = 2α$
【答案】
$2α$
【知识点】
三角形内角和定理；代数式化简
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，核心是灵活运用三角形内角和定理，将未知角度的和转化为与公共角∠A相关的表达式，再结合已知条件代换求解，解题时要学会拆分角度、合理转化的思路。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AE$平分$∠ BAC$，$BD ⊥ AE$交$AE$的延长线于点$D$。若$∠ 1=24°$，则$∠ EAB$的度数为（
A.$66°$
B.$33°$
C.$24°$
D.$12°$
C
）A.$66°$
B.$33°$
C.$24°$
D.$12°$
答案
4.C
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察图形，已知两个直角三角形$△ ACE$和$△ BDE$，可利用直角三角形两锐角互余的性质，结合对顶角相等的关系，推导得出$∠ CAE$与$∠ 1$相等；再根据$AE$是$∠ BAC$的角平分线，可知$∠ EAB$和$∠ CAE$相等，代入已知$∠ 1$的度数即可求出$∠ EAB$的度数。
【解析】
1. 在$Rt△ ACE$中，$∠ C=90°$，根据直角三角形两锐角互余，可得$∠ CAE + ∠ AEC = 90°$；
2. 在$Rt△ BDE$中，$∠ D=90°$，同理可得$∠ 1 + ∠ BED = 90°$；
3. $∠ AEC$和$∠ BED$是对顶角，因此$∠ AEC=∠ BED$，根据等角的余角相等，可得$∠ CAE=∠ 1=24°$；
4. 因为$AE$平分$∠ BAC$，根据角平分线的定义，$∠ EAB=∠ CAE=24°$。
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的性质、对顶角的性质、角平分线的定义
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题，综合了多个基础几何性质来推导角的等量关系，解题的核心是找到$∠ CAE$和$∠ 1$的相等关系，再结合角平分线性质得到所求角的度数，熟练掌握基础几何性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先观察图形，已知两个直角三角形$△ ACE$和$△ BDE$，可利用直角三角形两锐角互余的性质，结合对顶角相等的关系，推导得出$∠ CAE$与$∠ 1$相等；再根据$AE$是$∠ BAC$的角平分线，可知$∠ EAB$和$∠ CAE$相等，代入已知$∠ 1$的度数即可求出$∠ EAB$的度数。
【解析】
1. 在$Rt△ ACE$中，$∠ C=90°$，根据直角三角形两锐角互余，可得$∠ CAE + ∠ AEC = 90°$；
2. 在$Rt△ BDE$中，$∠ D=90°$，同理可得$∠ 1 + ∠ BED = 90°$；
3. $∠ AEC$和$∠ BED$是对顶角，因此$∠ AEC=∠ BED$，根据等角的余角相等，可得$∠ CAE=∠ 1=24°$；
4. 因为$AE$平分$∠ BAC$，根据角平分线的定义，$∠ EAB=∠ CAE=24°$。
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的性质、对顶角的性质、角平分线的定义
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题，综合了多个基础几何性质来推导角的等量关系，解题的核心是找到$∠ CAE$和$∠ 1$的相等关系，再结合角平分线性质得到所求角的度数，熟练掌握基础几何性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
5.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
360
° 答案
5.360
解析
【分析】
本题是多个分散角的求和问题，解题思路是利用三角形内角和定理和对顶角相等的性质，先将3个小三角形的内角和相加，再减去中间重叠的三角形的内角和，即可得到所求6个角的总和。我们可以先标记图中的交点，分别写出3个小三角形的内角和表达式，再结合对顶角相等和三角形内角和为180°的性质化简计算。
【解析】
设图中BF与AD、BF与CE、CE与AD相交形成的中间三角形的三个内角分别为∠1、∠2、∠3。
根据三角形内角和定理：
1. 含∠A、∠B的小三角形中，∠A+∠B+∠1的对顶角=180°，由对顶角相等得：$∠ A+∠ B+∠ 1=180°$ ①；
2. 含∠C、∠D的小三角形中，同理得：$∠ C+∠ D+∠ 2=180°$ ②；
3. 含∠E、∠F的小三角形中，同理得：$∠ E+∠ F+∠ 3=180°$ ③。
将①②③相加可得：$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F + (∠1+∠2+∠3)=540°$。
又因为∠1、∠2、∠3是中间三角形的三个内角，因此$∠1+∠2+∠3=180°$。
代入上式计算得：$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F=540°-180°=360°$。
【答案】
360
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题是三角形中多角求和的典型题型，解题核心是通过对顶角的性质将分散的角关联起来，结合三角形内角和定理做整体计算，掌握这类角度转化的思路可以高效解决同类图形的角度求和问题。
【难度系数】
0.7
本题是多个分散角的求和问题，解题思路是利用三角形内角和定理和对顶角相等的性质，先将3个小三角形的内角和相加，再减去中间重叠的三角形的内角和，即可得到所求6个角的总和。我们可以先标记图中的交点，分别写出3个小三角形的内角和表达式，再结合对顶角相等和三角形内角和为180°的性质化简计算。
【解析】
设图中BF与AD、BF与CE、CE与AD相交形成的中间三角形的三个内角分别为∠1、∠2、∠3。
根据三角形内角和定理：
1. 含∠A、∠B的小三角形中，∠A+∠B+∠1的对顶角=180°，由对顶角相等得：$∠ A+∠ B+∠ 1=180°$ ①；
2. 含∠C、∠D的小三角形中，同理得：$∠ C+∠ D+∠ 2=180°$ ②；
3. 含∠E、∠F的小三角形中，同理得：$∠ E+∠ F+∠ 3=180°$ ③。
将①②③相加可得：$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F + (∠1+∠2+∠3)=540°$。
又因为∠1、∠2、∠3是中间三角形的三个内角，因此$∠1+∠2+∠3=180°$。
代入上式计算得：$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F=540°-180°=360°$。
【答案】
360
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题是三角形中多角求和的典型题型，解题核心是通过对顶角的性质将分散的角关联起来，结合三角形内角和定理做整体计算，掌握这类角度转化的思路可以高效解决同类图形的角度求和问题。
【难度系数】
0.7
6.如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E。若∠A＝35°，∠P＝40°，则∠C的度数为
45°
。答案
6.45°
解析
【分析】
本题可通过识别图形中的“8字形”三角形结构求解。首先根据角平分线定义得到两组相等的角，再利用三角形内角和与对顶角相等，得到两组“8字形”结构对应的角的和相等的关系式，联立关系式消去相等的角，即可推导出∠A、∠P、∠C三者的数量关系，代入数值计算即可得到∠C的度数。
【解析】
解：
∵DP平分∠ADC，BP平分∠ABC
∴∠ADP = ∠CDP，∠ABP = ∠CBP（角平分线的定义）
在△AED和△PEB中，∠AED = ∠PEB（对顶角相等）
根据三角形内角和为180°，可得：
∠A + ∠ADP + ∠AED = ∠P + ∠ABP + ∠PEB = 180°
化简得：$\boldsymbol{∠A + ∠ADP = ∠P + ∠ABP}$ ①
同理，在△DFP和△BFC中，∠DFP = ∠BFC（对顶角相等）
可得：$\boldsymbol{∠P + ∠CDP = ∠C + ∠CBP}$ ②
用①-②，结合∠ADP=∠CDP，∠ABP=∠CBP，得：
$\boldsymbol{∠A - ∠P = ∠P - ∠C}$
整理得：$2∠P = ∠A + ∠C$
将∠A=35°，∠P=40°代入得：
$2×40° = 35° + ∠C$
解得$∠C = 80° - 35° = 45°$
【答案】
$\boldsymbol{45°}$
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，核心是识别“8字形”的角度模型，结合角平分线的性质即可快速推导角度关系，掌握常见的基本图形结构能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
本题可通过识别图形中的“8字形”三角形结构求解。首先根据角平分线定义得到两组相等的角，再利用三角形内角和与对顶角相等，得到两组“8字形”结构对应的角的和相等的关系式，联立关系式消去相等的角，即可推导出∠A、∠P、∠C三者的数量关系，代入数值计算即可得到∠C的度数。
【解析】
解：
∵DP平分∠ADC，BP平分∠ABC
∴∠ADP = ∠CDP，∠ABP = ∠CBP（角平分线的定义）
在△AED和△PEB中，∠AED = ∠PEB（对顶角相等）
根据三角形内角和为180°，可得：
∠A + ∠ADP + ∠AED = ∠P + ∠ABP + ∠PEB = 180°
化简得：$\boldsymbol{∠A + ∠ADP = ∠P + ∠ABP}$ ①
同理，在△DFP和△BFC中，∠DFP = ∠BFC（对顶角相等）
可得：$\boldsymbol{∠P + ∠CDP = ∠C + ∠CBP}$ ②
用①-②，结合∠ADP=∠CDP，∠ABP=∠CBP，得：
$\boldsymbol{∠A - ∠P = ∠P - ∠C}$
整理得：$2∠P = ∠A + ∠C$
将∠A=35°，∠P=40°代入得：
$2×40° = 35° + ∠C$
解得$∠C = 80° - 35° = 45°$
【答案】
$\boldsymbol{45°}$
【知识点】
角平分线的定义，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，核心是识别“8字形”的角度模型，结合角平分线的性质即可快速推导角度关系，掌握常见的基本图形结构能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
7.如图,若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P,且与CD,AB分别交于点M,N.
(1)若∠B=100°,∠C=120°,求∠P的度数.
(2)若角平分线中角的关系改成“∠CAP=$\frac{1}{4}$∠CAB,∠CDP=$\frac{1}{4}$∠CDB”,求证:4∠P=∠B+3∠C.
(1)若∠B=100°,∠C=120°,求∠P的度数.
(2)若角平分线中角的关系改成“∠CAP=$\frac{1}{4}$∠CAB,∠CDP=$\frac{1}{4}$∠CDB”,求证:4∠P=∠B+3∠C.
答案
(1)
∵以 M 为交点的“8”字形中,有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，
以 N 为交点的“8”字形中,有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP，
∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP.
∵AP,DP 分别平分∠CAB,∠BDC，
∴∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP，
∴2∠P=∠B+∠C，
∴∠P=$\frac{1}{2}$(∠B+∠C)=$\frac{1}{2}$×(100°+120°)=110°.
(2)证明:
∵∠CAP=$\frac{1}{4}$∠CAB,∠CDP=$\frac{1}{4}$∠CDB，
∴∠BAP=$\frac{3}{4}$∠CAB,∠BDP=$\frac{3}{4}$∠CDB.
以 M 为交点的“8”字形中,有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，
以 N 为交点的“8”字形中,有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP，
∴∠C-∠P=∠CDP-∠CAP=$\frac{1}{4}$(∠CDB-∠CAB)，
∠P-∠B=∠BDP-∠BAP=$\frac{3}{4}$(∠CDB-∠CAB)，
∴3(∠C-∠P)=∠P-∠B，
∴4∠P=∠B+3∠C.
∵以 M 为交点的“8”字形中,有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，
以 N 为交点的“8”字形中,有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP，
∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP.
∵AP,DP 分别平分∠CAB,∠BDC，
∴∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP，
∴2∠P=∠B+∠C，
∴∠P=$\frac{1}{2}$(∠B+∠C)=$\frac{1}{2}$×(100°+120°)=110°.
(2)证明:
∵∠CAP=$\frac{1}{4}$∠CAB,∠CDP=$\frac{1}{4}$∠CDB，
∴∠BAP=$\frac{3}{4}$∠CAB,∠BDP=$\frac{3}{4}$∠CDB.
以 M 为交点的“8”字形中,有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，
以 N 为交点的“8”字形中,有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP，
∴∠C-∠P=∠CDP-∠CAP=$\frac{1}{4}$(∠CDB-∠CAB)，
∠P-∠B=∠BDP-∠BAP=$\frac{3}{4}$(∠CDB-∠CAB)，
∴3(∠C-∠P)=∠P-∠B，
∴4∠P=∠B+3∠C.
解析
【分析】
本题利用三角形“8字形”结构的角度关系解题：（1）首先观察图形找到两组含公共顶点的“8字形”三角形，利用对顶角相等结合三角形内角和定理，得到两组角的和相等的关系式；再结合角平分线的性质，消去相等的角，推导出∠P与∠B、∠C的数量关系，代入已知角度计算即可。（2）与第一问思路一致，先根据给定的角的比例关系表示出相关角，同样利用“8字形”的角度关系得到两个等式，消去公共的未知角（∠CDB与∠CAB的差），即可推导证明结论。
【解析】
(1) 解：
在以M为顶点的“8字形”结构中，∠AMC与∠PMD是对顶角，根据对顶角相等、三角形内角和为180°，可得：$∠ C+∠ CAP=∠ P+∠ CDP$ ①；
在以N为顶点的“8字形”结构中，∠ANP与∠BND是对顶角，同理可得：$∠ P+∠ BAP=∠ B+∠ BDP$ ②；
将①+②得：$2∠ P + ∠ BAP + ∠ CDP = ∠ B + ∠ C + ∠ CAP + ∠ BDP$。
∵AP平分∠CAB，DP平分∠BDC，
∴$∠ BAP=∠ CAP$，$∠ CDP=∠ BDP$，
等式两边消去相等的角后可得：$2∠ P = ∠ B + ∠ C$，
代入$∠ B=100°$，$∠ C=120°$，得$∠ P = \frac{1}{2}×(100°+120°)=110°$。
(2) 证明：
∵$∠ CAP=\frac{1}{4}∠ CAB$，$∠ CDP=\frac{1}{4}∠ CDB$，
∴$∠ BAP=∠ CAB - ∠ CAP = \frac{3}{4}∠ CAB$，$∠ BDP=∠ CDB - ∠ CDP = \frac{3}{4}∠ CDB$。
同(1)的“8字形”角度关系可得：
$∠ C + ∠ CAP = ∠ P + ∠ CDP$，整理得$∠ C - ∠ P = ∠ CDP - ∠ CAP = \frac{1}{4}(∠ CDB - ∠ CAB)$ ③；
$∠ P + ∠ BAP = ∠ B + ∠ BDP$，整理得$∠ P - ∠ B = ∠ BDP - ∠ BAP = \frac{3}{4}(∠ CDB - ∠ CAB)$ ④。
由③和④可得：$3(∠ C - ∠ P) = ∠ P - ∠ B$，
展开移项得：$3∠ C - 3∠ P = ∠ P - ∠ B$，即$4∠ P = ∠ B + 3∠ C$，得证。
【答案】
(1) $\boldsymbol{110°}$；(2) 4∠P=∠B+3∠C，证明成立。
【知识点】
角平分线的定义；对顶角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，核心是掌握“8字形”的角度等量关系，解题时需准确找到对应的三角形结构，通过等式变形消去未知量，即可快速得到所求角的关系，该模型在三角形角度推导类题目中应用十分广泛。
【难度系数】
0.6
本题利用三角形“8字形”结构的角度关系解题：（1）首先观察图形找到两组含公共顶点的“8字形”三角形，利用对顶角相等结合三角形内角和定理，得到两组角的和相等的关系式；再结合角平分线的性质，消去相等的角，推导出∠P与∠B、∠C的数量关系，代入已知角度计算即可。（2）与第一问思路一致，先根据给定的角的比例关系表示出相关角，同样利用“8字形”的角度关系得到两个等式，消去公共的未知角（∠CDB与∠CAB的差），即可推导证明结论。
【解析】
(1) 解：
在以M为顶点的“8字形”结构中，∠AMC与∠PMD是对顶角，根据对顶角相等、三角形内角和为180°，可得：$∠ C+∠ CAP=∠ P+∠ CDP$ ①；
在以N为顶点的“8字形”结构中，∠ANP与∠BND是对顶角，同理可得：$∠ P+∠ BAP=∠ B+∠ BDP$ ②；
将①+②得：$2∠ P + ∠ BAP + ∠ CDP = ∠ B + ∠ C + ∠ CAP + ∠ BDP$。
∵AP平分∠CAB，DP平分∠BDC，
∴$∠ BAP=∠ CAP$，$∠ CDP=∠ BDP$，
等式两边消去相等的角后可得：$2∠ P = ∠ B + ∠ C$，
代入$∠ B=100°$，$∠ C=120°$，得$∠ P = \frac{1}{2}×(100°+120°)=110°$。
(2) 证明：
∵$∠ CAP=\frac{1}{4}∠ CAB$，$∠ CDP=\frac{1}{4}∠ CDB$，
∴$∠ BAP=∠ CAB - ∠ CAP = \frac{3}{4}∠ CAB$，$∠ BDP=∠ CDB - ∠ CDP = \frac{3}{4}∠ CDB$。
同(1)的“8字形”角度关系可得：
$∠ C + ∠ CAP = ∠ P + ∠ CDP$，整理得$∠ C - ∠ P = ∠ CDP - ∠ CAP = \frac{1}{4}(∠ CDB - ∠ CAB)$ ③；
$∠ P + ∠ BAP = ∠ B + ∠ BDP$，整理得$∠ P - ∠ B = ∠ BDP - ∠ BAP = \frac{3}{4}(∠ CDB - ∠ CAB)$ ④。
由③和④可得：$3(∠ C - ∠ P) = ∠ P - ∠ B$，
展开移项得：$3∠ C - 3∠ P = ∠ P - ∠ B$，即$4∠ P = ∠ B + 3∠ C$，得证。
【答案】
(1) $\boldsymbol{110°}$；(2) 4∠P=∠B+3∠C，证明成立。
【知识点】
角平分线的定义；对顶角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，核心是掌握“8字形”的角度等量关系，解题时需准确找到对应的三角形结构，通过等式变形消去未知量，即可快速得到所求角的关系，该模型在三角形角度推导类题目中应用十分广泛。
【难度系数】
0.6
