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10. 将连续的奇数1,3,5,7,9,…排成如图所示的数表,小明在数表上圈出了a,b,c,d四个数,并求出了它们的和为234.则这4个数在数表中的排列位置可能是 (
C
) 答案
10. C
解析
【分析】
首先观察数表可总结出规律：同一行相邻两个数相差2，同一列上下相邻两个数相差10（每行共5个连续奇数，因此下一行同列的数比上一行大5×2=10）。我们可以对每个选项的四个数，设其中基础的未知量为x，根据位置关系表示出其余三个数，再结合四个数的和为234列方程求解，判断解是否为奇数、是否符合数表的位置要求即可。
【解析】
逐个分析选项：
1. 选项A（2×2方框）：设左上角数为x，则其余三个数为x+2、x+10、x+12
和为：$x+(x+2)+(x+10)+(x+12)=4x+24$
令$4x+24=234$，解得$x=52.5$，不是整数，不符合要求，排除A。
2. 选项B（T型）：设最上方左侧数为x，则其余三个数为x+2、x+4、x+12
和为：$x+(x+2)+(x+4)+(x+12)=4x+18$
令$4x+18=234$，解得$x=54$，是偶数不符合数表全为奇数的要求，排除B。
3. 选项C（竖排中间左侧突出）：设竖排中间数为x，则其余三个数为x-10、x-2、x+10
和为：$(x-10)+(x-2)+x+(x+10)=4x-2$
令$4x-2=234$，解得$x=59$，是奇数，符合数表规律，符合要求。
4. 选项D：设中间右侧数为x，则其余三个数为x-10、x-2、x+8
和为：$(x-10)+(x-2)+x+(x+8)=4x-4$
令$4x-4=234$，解得$x=59.5$，不是整数，不符合要求，排除D。
【答案】
C
【知识点】
数字规律探索，一元一次方程的应用，奇数的性质
【点评】
本题是规律探索类的典型题型，解题核心是先准确归纳数表的数字变化规律，再通过设未知数列方程的方式验证选项，既考查观察归纳能力，也考查方程的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
首先观察数表可总结出规律：同一行相邻两个数相差2，同一列上下相邻两个数相差10（每行共5个连续奇数，因此下一行同列的数比上一行大5×2=10）。我们可以对每个选项的四个数，设其中基础的未知量为x，根据位置关系表示出其余三个数，再结合四个数的和为234列方程求解，判断解是否为奇数、是否符合数表的位置要求即可。
【解析】
逐个分析选项：
1. 选项A（2×2方框）：设左上角数为x，则其余三个数为x+2、x+10、x+12
和为：$x+(x+2)+(x+10)+(x+12)=4x+24$
令$4x+24=234$，解得$x=52.5$，不是整数，不符合要求，排除A。
2. 选项B（T型）：设最上方左侧数为x，则其余三个数为x+2、x+4、x+12
和为：$x+(x+2)+(x+4)+(x+12)=4x+18$
令$4x+18=234$，解得$x=54$，是偶数不符合数表全为奇数的要求，排除B。
3. 选项C（竖排中间左侧突出）：设竖排中间数为x，则其余三个数为x-10、x-2、x+10
和为：$(x-10)+(x-2)+x+(x+10)=4x-2$
令$4x-2=234$，解得$x=59$，是奇数，符合数表规律，符合要求。
4. 选项D：设中间右侧数为x，则其余三个数为x-10、x-2、x+8
和为：$(x-10)+(x-2)+x+(x+8)=4x-4$
令$4x-4=234$，解得$x=59.5$，不是整数，不符合要求，排除D。
【答案】
C
【知识点】
数字规律探索，一元一次方程的应用，奇数的性质
【点评】
本题是规律探索类的典型题型，解题核心是先准确归纳数表的数字变化规律，再通过设未知数列方程的方式验证选项，既考查观察归纳能力，也考查方程的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
11. 下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律排列而成的，其中第1个图形有3颗棋子，第2个图形有9颗棋子，第3个图形有18颗棋子……则第8个图形中棋子的颗数为（
A.84
B.108
C.135
D.152
B
）A.84
B.108
C.135
D.152
答案
11. B
解析
【分析】
本题属于图形规律探究题，解题时先梳理已知的前3个图形的棋子数与对应序号的关系，通过拆分数据找到共性规律，推导得出第n个图形的棋子数的通用表达式，最后将n=8代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
设第n个图形的棋子数为$a_n$，观察已知图形的棋子数：
当$n=1$时，$a_1=3=3×1$
当$n=2$时，$a_2=9=3×(1+2)$
当$n=3$时，$a_3=18=3×(1+2+3)$
以此类推，第n个图形的棋子数为3乘1到n的正整数和，即：
$a_n=3×(1+2+3+\dots+n)$
根据正整数求和公式：$1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$，代入得通用公式：
$a_n=3×\frac{n(n+1)}{2}=\frac{3n(n+1)}{2}$
将$n=8$代入公式：
$a_8=\frac{3×8×(8+1)}{2}=\frac{3×8×9}{2}=108$
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究，有理数运算，等差数列求和
【点评】
本题重点考察观察归纳能力，解题核心是从已知数据中提炼出和序号对应的通用规律，再代入求值，是规律探究类题的常考题型。
【难度系数】
0.7
本题属于图形规律探究题，解题时先梳理已知的前3个图形的棋子数与对应序号的关系，通过拆分数据找到共性规律，推导得出第n个图形的棋子数的通用表达式，最后将n=8代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
设第n个图形的棋子数为$a_n$，观察已知图形的棋子数：
当$n=1$时，$a_1=3=3×1$
当$n=2$时，$a_2=9=3×(1+2)$
当$n=3$时，$a_3=18=3×(1+2+3)$
以此类推，第n个图形的棋子数为3乘1到n的正整数和，即：
$a_n=3×(1+2+3+\dots+n)$
根据正整数求和公式：$1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$，代入得通用公式：
$a_n=3×\frac{n(n+1)}{2}=\frac{3n(n+1)}{2}$
将$n=8$代入公式：
$a_8=\frac{3×8×(8+1)}{2}=\frac{3×8×9}{2}=108$
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究，有理数运算，等差数列求和
【点评】
本题重点考察观察归纳能力，解题核心是从已知数据中提炼出和序号对应的通用规律，再代入求值，是规律探究类题的常考题型。
【难度系数】
0.7
12.如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形.第一幅图3个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图11个圆点，第四幅图15个圆点……按照此规律，第n幅图形中圆点的个数为
$4n-1$
. 答案
12. $4n-1$
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：第1到第4幅图的圆点个数分别为3、7、11、15。第一步先找相邻数量的差值，发现每幅图比前一幅多4个圆点，说明增量是固定的；第二步将每幅图的圆点个数和对应的序号n关联，尝试把已知的数量写成“4×序号±常数”的形式，验证是否符合所有已知项，最终推导得到第n幅图的圆点个数表达式。
【解析】
观察已知图形的圆点数量：
第1幅图圆点个数：$3 = 4×1 - 1$
第2幅图圆点个数：$7 = 4×2 - 1$
第3幅图圆点个数：$11 = 4×3 - 1$
第4幅图圆点个数：$15 = 4×4 - 1$
……
以此类推，第n幅图的圆点个数为$4× n -1 = 4n-1$，代入n=1、2、3、4验证均符合已知规律，推导成立。
【答案】
$4n-1$
【知识点】
图形规律探究；列代数式；数字规律推导
【点评】
本题是典型的规律探究类基础题，解题核心是先找到相邻项的固定增量，再结合项数推导通用表达式，推导完成后可代入已知的前几项验证规律是否正确，能有效避免推导错误。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：第1到第4幅图的圆点个数分别为3、7、11、15。第一步先找相邻数量的差值，发现每幅图比前一幅多4个圆点，说明增量是固定的；第二步将每幅图的圆点个数和对应的序号n关联，尝试把已知的数量写成“4×序号±常数”的形式，验证是否符合所有已知项，最终推导得到第n幅图的圆点个数表达式。
【解析】
观察已知图形的圆点数量：
第1幅图圆点个数：$3 = 4×1 - 1$
第2幅图圆点个数：$7 = 4×2 - 1$
第3幅图圆点个数：$11 = 4×3 - 1$
第4幅图圆点个数：$15 = 4×4 - 1$
……
以此类推，第n幅图的圆点个数为$4× n -1 = 4n-1$，代入n=1、2、3、4验证均符合已知规律，推导成立。
【答案】
$4n-1$
【知识点】
图形规律探究；列代数式；数字规律推导
【点评】
本题是典型的规律探究类基础题，解题核心是先找到相邻项的固定增量，再结合项数推导通用表达式，推导完成后可代入已知的前几项验证规律是否正确，能有效避免推导错误。
【难度系数】
0.8
13.如图,阶梯图的每个台阶上都标着一个数,从下到上的第1个台阶至第4个台阶上依次标着-5,-2,1,9,且任意相邻四个台阶上数的和都相等.
尝试 (1)前4个台阶上数的和是多少?
(2)第5个台阶上的数x是多少?
应用 (3)求从下到上前31个台阶上数的和.
发现 (4)试用含k(k为正整数)的式子表示出数“1”所在的台阶数.
尝试 (1)前4个台阶上数的和是多少?
(2)第5个台阶上的数x是多少?
应用 (3)求从下到上前31个台阶上数的和.
发现 (4)试用含k(k为正整数)的式子表示出数“1”所在的台阶数.
答案
13. 解:(1)前4个台阶上数的和是$-5-2+1+9=3$.
(2)由题意,得$-2+1+9+x=3$,解得$x=-5$.
(3)由题意知,台阶上的数字是每4个为一循环,$\because 31÷4=7······3$,$\therefore 7×3+1-2-5=15$. $\therefore$从下到上前31个台阶上数的和为15.
(4)数“1”所在的台阶数为$4k-1$($k$为正整数).
(2)由题意,得$-2+1+9+x=3$,解得$x=-5$.
(3)由题意知,台阶上的数字是每4个为一循环,$\because 31÷4=7······3$,$\therefore 7×3+1-2-5=15$. $\therefore$从下到上前31个台阶上数的和为15.
(4)数“1”所在的台阶数为$4k-1$($k$为正整数).
解析
【分析】
(1) 第一问直接将前4个台阶标注的数相加，即可求出和；(2) 第二问利用“任意相邻四个台阶上数的和都相等”的条件，可知第2到第5个台阶的数的和与前4个的和相等，据此列方程即可求解x；(3) 第三问先通过前两问的结果推导出台阶上的数每4个为一个循环周期，再计算31个台阶包含多少个完整周期和余下多少个台阶，结合每个周期的和即可求出前31个台阶的数的总和；(4) 第四问先找出前几个数“1”所在的台阶数，归纳数字规律即可用含k的式子表示结果。
【解析】
(1) 计算前4个台阶上数的和：
$-5 + (-2) + 1 + 9 = 3$
(2) 根据相邻四个台阶数的和相等，可列方程：
$-2 + 1 + 9 + x = 3$
解得：$x = -5$
(3) 由题意可得台阶上的数按$-5,-2,1,9$的顺序每4个为一个循环，每个循环的和为3。
$31÷4 = 7······3$，即31个台阶包含7个完整循环，余下3个台阶的数依次为$-5,-2,1$。
前31个台阶的和为：$7×3 + (-5) + (-2) + 1 = 15$
(4) 观察可知数“1”第一次出现在第3个台阶，之后每4个台阶出现一次，因此第k个“1”所在的台阶数为$4k-1$（k为正整数）。
【答案】
(1) 3；(2) $-5$；(3) 15；(4) $4k-1$（k为正整数）
【知识点】
数字规律探究，一元一次方程应用，周期求和
【点评】
本题结合阶梯标数的情境考查规律的探索与应用，解题的关键是抓住题干给出的相等关系推出数字的循环周期，能够很好地锻炼学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.75
(1) 第一问直接将前4个台阶标注的数相加，即可求出和；(2) 第二问利用“任意相邻四个台阶上数的和都相等”的条件，可知第2到第5个台阶的数的和与前4个的和相等，据此列方程即可求解x；(3) 第三问先通过前两问的结果推导出台阶上的数每4个为一个循环周期，再计算31个台阶包含多少个完整周期和余下多少个台阶，结合每个周期的和即可求出前31个台阶的数的总和；(4) 第四问先找出前几个数“1”所在的台阶数，归纳数字规律即可用含k的式子表示结果。
【解析】
(1) 计算前4个台阶上数的和：
$-5 + (-2) + 1 + 9 = 3$
(2) 根据相邻四个台阶数的和相等，可列方程：
$-2 + 1 + 9 + x = 3$
解得：$x = -5$
(3) 由题意可得台阶上的数按$-5,-2,1,9$的顺序每4个为一个循环，每个循环的和为3。
$31÷4 = 7······3$，即31个台阶包含7个完整循环，余下3个台阶的数依次为$-5,-2,1$。
前31个台阶的和为：$7×3 + (-5) + (-2) + 1 = 15$
(4) 观察可知数“1”第一次出现在第3个台阶，之后每4个台阶出现一次，因此第k个“1”所在的台阶数为$4k-1$（k为正整数）。
【答案】
(1) 3；(2) $-5$；(3) 15；(4) $4k-1$（k为正整数）
【知识点】
数字规律探究，一元一次方程应用，周期求和
【点评】
本题结合阶梯标数的情境考查规律的探索与应用，解题的关键是抓住题干给出的相等关系推出数字的循环周期，能够很好地锻炼学生的归纳推理能力。
【难度系数】
0.75
14. NEW 新考向·推理能力 如图,下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的,第1个图形中实心圆的个数为$K_1=4$,第2个图形中实心圆的个数为$K_2=6$……第$n$个图形中实心圆的个数为$K_n$.
(1)$K_n=$
(2)我们用“*”定义一种新运算:对于任意有理数$a$和正整数$n$,规定$a * n=\frac{a-K_n+|a+K_n|}{2}$.
例如:$(-3)*2=\frac{-3-K_2+|-3+K_2|}{2}=\frac{-3-6+|-3+6|}{2}=-3$.
①求$(-26.6)*10$的值.
②比较$3 * n$与$(-3)*n$的大小.
(1)$K_n=$
$2n+2$
（用含$n$的代数式表示）,$K_{100}=$202
.(2)我们用“*”定义一种新运算:对于任意有理数$a$和正整数$n$,规定$a * n=\frac{a-K_n+|a+K_n|}{2}$.
例如:$(-3)*2=\frac{-3-K_2+|-3+K_2|}{2}=\frac{-3-6+|-3+6|}{2}=-3$.
①求$(-26.6)*10$的值.
②比较$3 * n$与$(-3)*n$的大小.
答案
14. 解: (1) $2n+2$ 202
(2) ① $(-26.6)*10=\frac{-26.6-K_{10}+|-26.6+K_{10}|}{2}=\frac{-26.6-22+|-26.6+22|}{2}=-22$.
② $\because n$ 是正整数, $\therefore K_n=2n+2≥4$. $\therefore 3*n=\frac{3-K_n+|3+K_n|}{2}=\frac{3-K_n+3+K_n}{2}=3$, $(-3)*n=\frac{-3-K_n+|-3+K_n|}{2}=\frac{-3-K_n-3+K_n}{2}=-3$. $\because 3＞-3$,$\therefore 3*n＞(-3)*n$.
(2) ① $(-26.6)*10=\frac{-26.6-K_{10}+|-26.6+K_{10}|}{2}=\frac{-26.6-22+|-26.6+22|}{2}=-22$.
② $\because n$ 是正整数, $\therefore K_n=2n+2≥4$. $\therefore 3*n=\frac{3-K_n+|3+K_n|}{2}=\frac{3-K_n+3+K_n}{2}=3$, $(-3)*n=\frac{-3-K_n+|-3+K_n|}{2}=\frac{-3-K_n-3+K_n}{2}=-3$. $\because 3＞-3$,$\therefore 3*n＞(-3)*n$.
解析
【分析】
（1）先观察已知的实心圆个数：第1个图形$K_1=4=2×1+2$，第2个图形$K_2=6=2×2+2$，可归纳出第$n$个图形的实心圆个数是$n$的2倍加2，得到表达式后代入$n=100$即可求出$K_{100}$的值。
（2）①先根据（1）的规律算出$K_{10}$的值，再代入新运算公式，先判断绝对值内式子的正负性后去绝对值，再按有理数运算规则计算即可。
②先根据$K_n=2n+2$（$n$为正整数）得出$K_n≥4$，分别将$3*n$和$(-3)*n$代入新运算公式，利用绝对值的性质化简后比较两个结果的大小即可。
【解析】
(1) 观察规律可得：
第1个图形：$K_1=4=2×1+2$
第2个图形：$K_2=6=2×2+2$
……
第$n$个图形：$K_n=2n+2$
当$n=100$时，$K_{100}=2×100+2=202$
(2) ① 当$n=10$时，$K_{10}=2×10+2=22$，代入新运算公式：
$(-26.6)*10=\frac{-26.6-K_{10}+|-26.6+K_{10}|}{2}$
$=\frac{-26.6-22+|-26.6+22|}{2}$
$=\frac{-48.6+4.6}{2}$
$=\frac{-44}{2}=-22$
② 已知$n$是正整数，因此$K_n=2n+2≥2×1+2=4$：
计算$3*n$：
$\because 3+K_n＞0$，$\therefore |3+K_n|=3+K_n$
$3*n=\frac{3-K_n+|3+K_n|}{2}=\frac{3-K_n+3+K_n}{2}=3$
计算$(-3)*n$：
$\because K_n≥4$，$\therefore -3+K_n≥1＞0$，$\therefore |-3+K_n|=K_n-3$
$(-3)*n=\frac{-3-K_n+|-3+K_n|}{2}=\frac{-3-K_n+K_n-3}{2}=-3$
$\because 3＞-3$，$\therefore 3*n ＞ (-3)*n$
【答案】
(1) $2n+2$；$202$
(2) ① $\boldsymbol{-22}$；② $\boldsymbol{3*n ＞ (-3)*n}$
【知识点】
图形规律探究，新定义运算，绝对值化简
【点评】
本题将规律探究与新定义运算结合考查，既需要考生通过已知条件归纳出通用规律，又要求准确理解新运算规则，结合绝对值的性质化简计算，解题的关键是先确定$K_n$的表达式，再根据绝对值内式子的正负性正确去绝对值。
【难度系数】
0.7
（1）先观察已知的实心圆个数：第1个图形$K_1=4=2×1+2$，第2个图形$K_2=6=2×2+2$，可归纳出第$n$个图形的实心圆个数是$n$的2倍加2，得到表达式后代入$n=100$即可求出$K_{100}$的值。
（2）①先根据（1）的规律算出$K_{10}$的值，再代入新运算公式，先判断绝对值内式子的正负性后去绝对值，再按有理数运算规则计算即可。
②先根据$K_n=2n+2$（$n$为正整数）得出$K_n≥4$，分别将$3*n$和$(-3)*n$代入新运算公式，利用绝对值的性质化简后比较两个结果的大小即可。
【解析】
(1) 观察规律可得：
第1个图形：$K_1=4=2×1+2$
第2个图形：$K_2=6=2×2+2$
……
第$n$个图形：$K_n=2n+2$
当$n=100$时，$K_{100}=2×100+2=202$
(2) ① 当$n=10$时，$K_{10}=2×10+2=22$，代入新运算公式：
$(-26.6)*10=\frac{-26.6-K_{10}+|-26.6+K_{10}|}{2}$
$=\frac{-26.6-22+|-26.6+22|}{2}$
$=\frac{-48.6+4.6}{2}$
$=\frac{-44}{2}=-22$
② 已知$n$是正整数，因此$K_n=2n+2≥2×1+2=4$：
计算$3*n$：
$\because 3+K_n＞0$，$\therefore |3+K_n|=3+K_n$
$3*n=\frac{3-K_n+|3+K_n|}{2}=\frac{3-K_n+3+K_n}{2}=3$
计算$(-3)*n$：
$\because K_n≥4$，$\therefore -3+K_n≥1＞0$，$\therefore |-3+K_n|=K_n-3$
$(-3)*n=\frac{-3-K_n+|-3+K_n|}{2}=\frac{-3-K_n+K_n-3}{2}=-3$
$\because 3＞-3$，$\therefore 3*n ＞ (-3)*n$
【答案】
(1) $2n+2$；$202$
(2) ① $\boldsymbol{-22}$；② $\boldsymbol{3*n ＞ (-3)*n}$
【知识点】
图形规律探究，新定义运算，绝对值化简
【点评】
本题将规律探究与新定义运算结合考查，既需要考生通过已知条件归纳出通用规律，又要求准确理解新运算规则，结合绝对值的性质化简计算，解题的关键是先确定$K_n$的表达式，再根据绝对值内式子的正负性正确去绝对值。
【难度系数】
0.7
