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8.若五个有理数相乘,积为负数,则负因数的个数是（
A.1
B.1或3
C.5
D.1或3或5
D
）A.1
B.1或3
C.5
D.1或3或5
答案
8.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆多个有理数相乘的符号判断规则：首先，若乘积为负数，说明所有乘数都不为0（如果有0则乘积为0，不符合题意）；其次，多个非0有理数相乘时，积的符号由负因数的个数决定，负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正。本题是5个有理数相乘，我们只需找出小于等于5的正奇数，就是符合要求的负因数个数。
【解析】
根据多个有理数相乘的符号法则：
1. 几个有理数的乘积为负数，说明相乘的数中没有0（否则乘积为0），且负因数的个数为奇数；
2. 本题共有5个有理数相乘，小于等于5的正奇数有1、3、5，因此负因数的个数可能为1或3或5。
所以选D选项。
【答案】
D
【知识点】
1. 多个有理数相乘的符号判定
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是熟练掌握多个有理数相乘时积的符号与负因数个数的关系，注意乘积为负时隐含所有因数均不为0的条件，避免遗漏可能的负因数个数。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆多个有理数相乘的符号判断规则：首先，若乘积为负数，说明所有乘数都不为0（如果有0则乘积为0，不符合题意）；其次，多个非0有理数相乘时，积的符号由负因数的个数决定，负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正。本题是5个有理数相乘，我们只需找出小于等于5的正奇数，就是符合要求的负因数个数。
【解析】
根据多个有理数相乘的符号法则：
1. 几个有理数的乘积为负数，说明相乘的数中没有0（否则乘积为0），且负因数的个数为奇数；
2. 本题共有5个有理数相乘，小于等于5的正奇数有1、3、5，因此负因数的个数可能为1或3或5。
所以选D选项。
【答案】
D
【知识点】
1. 多个有理数相乘的符号判定
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是熟练掌握多个有理数相乘时积的符号与负因数个数的关系，注意乘积为负时隐含所有因数均不为0的条件，避免遗漏可能的负因数个数。
【难度系数】
0.8
9.有理数$a,b,c,d$在数轴上的对应点的位置如图所示，则$a×b×c$
＞
$0$，$a×b×c×d$ ＞
$0$.（填“＞”或“＜”）答案
9.＞ ＞
解析
【分析】
解题时首先观察数轴，确定a、b、c、d四个有理数的正负性，再根据多个非零有理数相乘的符号判断规则：当负因数的个数为偶数时，乘积为正；当负因数的个数为奇数时，乘积为负，分别判断两个式子的结果和0的大小关系即可。
【解析】
解：由数轴上各点的位置可得：$a＜0$，$b＜0$，$c＞0$，$d＞0$。
1. 判断$a×b×c$与0的大小：
乘积中负因数有a、b共2个，负因数个数为偶数，因此乘积为正，即$a×b×c＞0$。
2. 判断$a×b×c×d$与0的大小：
乘积中负因数仍为2个，负因数个数为偶数，因此乘积为正，即$a×b×c×d＞0$。
【答案】
＞；＞
【知识点】
数轴的应用；多个有理数乘法法则
【点评】
本题考查数轴的性质和有理数乘法的符号判断，解题关键是先通过数轴准确判断各数的正负，再根据乘法符号法则推导结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察数轴，确定a、b、c、d四个有理数的正负性，再根据多个非零有理数相乘的符号判断规则：当负因数的个数为偶数时，乘积为正；当负因数的个数为奇数时，乘积为负，分别判断两个式子的结果和0的大小关系即可。
【解析】
解：由数轴上各点的位置可得：$a＜0$，$b＜0$，$c＞0$，$d＞0$。
1. 判断$a×b×c$与0的大小：
乘积中负因数有a、b共2个，负因数个数为偶数，因此乘积为正，即$a×b×c＞0$。
2. 判断$a×b×c×d$与0的大小：
乘积中负因数仍为2个，负因数个数为偶数，因此乘积为正，即$a×b×c×d＞0$。
【答案】
＞；＞
【知识点】
数轴的应用；多个有理数乘法法则
【点评】
本题考查数轴的性质和有理数乘法的符号判断，解题关键是先通过数轴准确判断各数的正负，再根据乘法符号法则推导结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
10.计算：$-3.14×53.4 + 6.28×(-23.3)=$
－314
.答案
10.－314
解析
【分析】
本题若直接计算乘法再求和，计算量较大易出错，因此优先考虑用乘法运算律简化计算。观察算式中的数字特征，发现6.28是3.14的2倍，可先将第二个乘积项改写为含因数3.14的形式，使两个项出现相同的公因数，再逆用乘法分配律提取公因数，即可快速完成计算。
【解析】
解：原式$=-3.14×53.4 + 3.14×2×(-23.3)$
$=-3.14×53.4 - 3.14×46.6$
$=-3.14×(53.4 + 46.6)$
$=-3.14×100$
$=-314$
【答案】
$-314$
【知识点】
有理数乘法运算；乘法分配律逆用；简便运算
【点评】
本题解题核心是观察数字间的倍数关系，找到公共因数，灵活运用乘法运算律简化计算，避免复杂的笔算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
本题若直接计算乘法再求和，计算量较大易出错，因此优先考虑用乘法运算律简化计算。观察算式中的数字特征，发现6.28是3.14的2倍，可先将第二个乘积项改写为含因数3.14的形式，使两个项出现相同的公因数，再逆用乘法分配律提取公因数，即可快速完成计算。
【解析】
解：原式$=-3.14×53.4 + 3.14×2×(-23.3)$
$=-3.14×53.4 - 3.14×46.6$
$=-3.14×(53.4 + 46.6)$
$=-3.14×100$
$=-314$
【答案】
$-314$
【知识点】
有理数乘法运算；乘法分配律逆用；简便运算
【点评】
本题解题核心是观察数字间的倍数关系，找到公共因数，灵活运用乘法运算律简化计算，避免复杂的笔算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
11. 用简便方法计算：
(1) $(-8) × (-\dfrac{4}{3}) × (-1.25) × \dfrac{5}{4}$.
(2) $(-\dfrac{7}{3} + \dfrac{11}{8} + 0.75) × (-24)$.
(1) $(-8) × (-\dfrac{4}{3}) × (-1.25) × \dfrac{5}{4}$.
(2) $(-\dfrac{7}{3} + \dfrac{11}{8} + 0.75) × (-24)$.
答案
11.解:(1)原式=$-(8×1.25)×(\frac{4}{3}×\frac{5}{4})=-10×\frac{5}{3}=-\frac{50}{3}$.
(2)原式=$(-\frac{7}{3})×(-24)+\frac{11}{8}×(-24)+\frac{3}{4}×(-24)=56-33-18=5$.
(2)原式=$(-\frac{7}{3})×(-24)+\frac{11}{8}×(-24)+\frac{3}{4}×(-24)=56-33-18=5$.
解析
【分析】
(1) 小题是多个有理数相乘的计算，首先根据负因数的个数确定积的符号：式子中有3个负因数，所以积为负；再观察数字特征，8和1.25相乘得整十数，$\frac{4}{3}$和$\frac{5}{4}$可以直接约分，所以可以利用乘法交换律和结合律，把能凑整、能约分的数先结合计算，简化运算过程。
(2) 小题是几个数的和乘一个整数的形式，观察发现-24是括号内各分数分母的公倍数，利用乘法分配律将-24分别乘括号内的每一项，不需要通分就能直接计算，大幅降低计算量，计算时注意符号不要出错。
【解析】
(1) 先确定积的符号，再利用乘法交换律、结合律分组计算：
原式=$-(8×1.25)×(\frac{4}{3}×\frac{5}{4})$
$=-10×\frac{5}{3}$
$=-\frac{50}{3}$
(2) 先把0.75化成分数$\frac{3}{4}$，再利用乘法分配律展开计算：
原式=$(-\frac{7}{3})×(-24)+\frac{11}{8}×(-24)+\frac{3}{4}×(-24)$
$=56-33-18$
$=5$
【答案】
(1) $\boxed{-\dfrac{50}{3}}$；(2) $\boxed{5}$
【知识点】
1. 有理数乘法符号法则
2. 乘法交换律与结合律
3. 乘法分配律
【点评】
本题考查有理数乘法的简便运算，解题核心是观察算式中数字的特征，灵活选择对应的运算律简化计算，计算过程中要特别注意符号的判断，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
(1) 小题是多个有理数相乘的计算，首先根据负因数的个数确定积的符号：式子中有3个负因数，所以积为负；再观察数字特征，8和1.25相乘得整十数，$\frac{4}{3}$和$\frac{5}{4}$可以直接约分，所以可以利用乘法交换律和结合律，把能凑整、能约分的数先结合计算，简化运算过程。
(2) 小题是几个数的和乘一个整数的形式，观察发现-24是括号内各分数分母的公倍数，利用乘法分配律将-24分别乘括号内的每一项，不需要通分就能直接计算，大幅降低计算量，计算时注意符号不要出错。
【解析】
(1) 先确定积的符号，再利用乘法交换律、结合律分组计算：
原式=$-(8×1.25)×(\frac{4}{3}×\frac{5}{4})$
$=-10×\frac{5}{3}$
$=-\frac{50}{3}$
(2) 先把0.75化成分数$\frac{3}{4}$，再利用乘法分配律展开计算：
原式=$(-\frac{7}{3})×(-24)+\frac{11}{8}×(-24)+\frac{3}{4}×(-24)$
$=56-33-18$
$=5$
【答案】
(1) $\boxed{-\dfrac{50}{3}}$；(2) $\boxed{5}$
【知识点】
1. 有理数乘法符号法则
2. 乘法交换律与结合律
3. 乘法分配律
【点评】
本题考查有理数乘法的简便运算，解题核心是观察算式中数字的特征，灵活选择对应的运算律简化计算，计算过程中要特别注意符号的判断，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
12. 新考向·过程性学习 学了有理数的运算后，老师给同学们出了一道题，计算：$19\frac{17}{18}×(-9)$。
下面是两位同学的解法：
小方：原式$=-\frac{359}{18}×9=-\frac{3231}{18}=-179\frac{1}{2}$；
小杨：原式$=(19+\frac{17}{18})×(-9)=-19×9-\frac{17}{18}×9=-179\frac{1}{2}$。
(1)两位同学的解法中，谁的解法较好？
(2)请你写出另一种更好的解法。
下面是两位同学的解法：
小方：原式$=-\frac{359}{18}×9=-\frac{3231}{18}=-179\frac{1}{2}$；
小杨：原式$=(19+\frac{17}{18})×(-9)=-19×9-\frac{17}{18}×9=-179\frac{1}{2}$。
(1)两位同学的解法中，谁的解法较好？
(2)请你写出另一种更好的解法。
答案
12.解:(1)小杨的解法较好.
(2)$19\frac{17}{18}×(-9)=(20-\frac{1}{18})×(-9)=20×(-9)-\frac{1}{18}×(-9)=-180+\frac{1}{2}=-179\frac{1}{2}$.
(2)$19\frac{17}{18}×(-9)=(20-\frac{1}{18})×(-9)=20×(-9)-\frac{1}{18}×(-9)=-180+\frac{1}{2}=-179\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
（1）对比两位同学的解法，小方直接将带分数化为假分数再计算，涉及的数字较大，计算过程复杂易出错；小杨利用乘法分配律拆分带分数，拆分后计算的都是较小数字的乘法，运算更简便，因此可判断小杨的解法更好。
（2）想要更简便的运算，可利用凑整思想：观察$19\frac{17}{18}$接近整数20，可将其改写为$20-\frac{1}{18}$，再利用乘法分配律展开计算，所有运算都可通过口算完成，进一步降低计算难度。
【解析】
(1) 小杨的解法使用乘法分配律简化了运算，计算量更小，不容易出错，因此小杨的解法较好。
(2) 先将带分数凑整拆分，再运用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}19\frac{17}{18}×(-9)&=(20-\frac{1}{18})×(-9)\\&=20×(-9)-\frac{1}{18}×(-9)\\&=-180+\frac{1}{2}\\&=-179\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)小杨的解法较好.
(2)$19\frac{17}{18}×(-9)=(20-\frac{1}{18})×(-9)=20×(-9)-\frac{1}{18}×(-9)=-180+\frac{1}{2}=-179\frac{1}{2}$.
【知识点】
有理数乘法运算；乘法分配律；简便运算技巧
【点评】
本题核心是考查有理数乘法的简便运算方法，解题的关键是学会观察数字特征，合理拆分带分数，灵活运用运算律降低计算量，能有效提升运算的准确率和速度。
【难度系数】
0.8
（1）对比两位同学的解法，小方直接将带分数化为假分数再计算，涉及的数字较大，计算过程复杂易出错；小杨利用乘法分配律拆分带分数，拆分后计算的都是较小数字的乘法，运算更简便，因此可判断小杨的解法更好。
（2）想要更简便的运算，可利用凑整思想：观察$19\frac{17}{18}$接近整数20，可将其改写为$20-\frac{1}{18}$，再利用乘法分配律展开计算，所有运算都可通过口算完成，进一步降低计算难度。
【解析】
(1) 小杨的解法使用乘法分配律简化了运算，计算量更小，不容易出错，因此小杨的解法较好。
(2) 先将带分数凑整拆分，再运用乘法分配律计算：
$\begin{aligned}19\frac{17}{18}×(-9)&=(20-\frac{1}{18})×(-9)\\&=20×(-9)-\frac{1}{18}×(-9)\\&=-180+\frac{1}{2}\\&=-179\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1)小杨的解法较好.
(2)$19\frac{17}{18}×(-9)=(20-\frac{1}{18})×(-9)=20×(-9)-\frac{1}{18}×(-9)=-180+\frac{1}{2}=-179\frac{1}{2}$.
【知识点】
有理数乘法运算；乘法分配律；简便运算技巧
【点评】
本题核心是考查有理数乘法的简便运算方法，解题的关键是学会观察数字特征，合理拆分带分数，灵活运用运算律降低计算量，能有效提升运算的准确率和速度。
【难度系数】
0.8
13. 在学习有理数的乘法时，李老师和同学们做了这样的游戏：将－2024这个数说给第一位同学；第一位同学将它减去它的$\frac{1}{2}$的结果告诉第二位同学；第二位同学再将听到的数减去它的$\frac{1}{3}$的结果告诉第三位同学；第三位同学再将听到的数减去它的$\frac{1}{4}$的结果告诉第四位同学……照这样的方法直到全班40人全部传完，最后一位同学将运算的结果告诉李老师. 请求出最后的结果.
答案
13.解:$-2024×(1-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×…×(1-\frac{1}{40})×(1-\frac{1}{41})=-2024×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{39}{40}×\frac{40}{41}=-2024×\frac{1}{41}=-\frac{2024}{41}$.答:最后的结果是$-\frac{2024}{41}$.
解析
【分析】
首先梳理传递过程的运算规律：初始数为-2024，每一位同学传出的数都是自己收到的数乘$(1-\frac{1}{k})$，其中k从2开始依次递增；全班40人全部传完，共需要进行40次乘法运算，列出运算式后可通过相邻分数的分子分母交叉约分简化计算，无需逐项计算。
【解析】
解：根据传递规则，最后结果的运算式为：
$-2024×(1-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×…×(1-\frac{1}{40})×(1-\frac{1}{41})$
先计算每个括号内的减法：
$=-2024×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{39}{40}×\frac{40}{41}$
观察算式可发现，相邻分数的分子和分母可以依次约分，约分后仅剩第一个分数的分子1和最后一个分数的分母41：
$=-2024×\frac{1}{41}$
$=-\frac{2024}{41}$
【答案】
$-\frac{2024}{41}$
【知识点】
多个有理数相乘，数字规律探究，分数约分
【点评】
本题结合趣味情境考查有理数乘法的应用，核心是根据传递规则总结运算规律，利用约分简化计算，易错点是容易混淆运算的次数，弄错最后一项的分母。
【难度系数】
0.6
首先梳理传递过程的运算规律：初始数为-2024，每一位同学传出的数都是自己收到的数乘$(1-\frac{1}{k})$，其中k从2开始依次递增；全班40人全部传完，共需要进行40次乘法运算，列出运算式后可通过相邻分数的分子分母交叉约分简化计算，无需逐项计算。
【解析】
解：根据传递规则，最后结果的运算式为：
$-2024×(1-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×…×(1-\frac{1}{40})×(1-\frac{1}{41})$
先计算每个括号内的减法：
$=-2024×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×…×\frac{39}{40}×\frac{40}{41}$
观察算式可发现，相邻分数的分子和分母可以依次约分，约分后仅剩第一个分数的分子1和最后一个分数的分母41：
$=-2024×\frac{1}{41}$
$=-\frac{2024}{41}$
【答案】
$-\frac{2024}{41}$
【知识点】
多个有理数相乘，数字规律探究，分数约分
【点评】
本题结合趣味情境考查有理数乘法的应用，核心是根据传递规则总结运算规律，利用约分简化计算，易错点是容易混淆运算的次数，弄错最后一项的分母。
【难度系数】
0.6
