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1.【数学应用】如图，若用长10 m的铁丝借助墙AB围成一个斜边为ED的直角三角形ECD，则所围成的$△ ECD$的最大面积为（
A.$5.5\ \mathrm{m}^2$
B.$7.5\ \mathrm{m}^2$
C.$10\ \mathrm{m}^2$
D.$12.5\ \mathrm{m}^2$
D
）。A.$5.5\ \mathrm{m}^2$
B.$7.5\ \mathrm{m}^2$
C.$10\ \mathrm{m}^2$
D.$12.5\ \mathrm{m}^2$
答案
1.D
解析
【分析】
首先明确铁丝总长10m是直角三角形两条直角边CE与CD的长度和，要求△ECD的最大面积，我们可以设其中一条直角边长为x，用总长表示出另一条直角边长，再结合直角三角形面积公式列出面积关于x的二次函数，最后根据二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
设CE的长为$ x\ \mathrm{m} $，则CD的长为$ (10-x)\ \mathrm{m} $。
已知$ ∠ C=90° $，根据直角三角形面积公式可得：
$ S_{△ ECD}=\frac{1}{2}× CE× CD=\frac{1}{2}x(10-x) $
整理得：$ S=-\frac{1}{2}x^2+5x $
该二次函数的二次项系数$ a=-\frac{1}{2}＜0 $，函数图象开口向下，存在最大值。
当$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2×(-\frac{1}{2})}=5 $时，$ S $取得最大值：
$ S_{\mathrm{max}}=\frac{1}{2}×5×(10-5)=12.5\ \mathrm{m}^2 $
【答案】
D
【知识点】
二次函数最值，直角三角形面积计算，二次函数应用
【点评】
本题是二次函数解决几何最值问题的基础题型，解题核心是结合题意建立正确的二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，掌握二次函数最值的求法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
首先明确铁丝总长10m是直角三角形两条直角边CE与CD的长度和，要求△ECD的最大面积，我们可以设其中一条直角边长为x，用总长表示出另一条直角边长，再结合直角三角形面积公式列出面积关于x的二次函数，最后根据二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
设CE的长为$ x\ \mathrm{m} $，则CD的长为$ (10-x)\ \mathrm{m} $。
已知$ ∠ C=90° $，根据直角三角形面积公式可得：
$ S_{△ ECD}=\frac{1}{2}× CE× CD=\frac{1}{2}x(10-x) $
整理得：$ S=-\frac{1}{2}x^2+5x $
该二次函数的二次项系数$ a=-\frac{1}{2}＜0 $，函数图象开口向下，存在最大值。
当$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2×(-\frac{1}{2})}=5 $时，$ S $取得最大值：
$ S_{\mathrm{max}}=\frac{1}{2}×5×(10-5)=12.5\ \mathrm{m}^2 $
【答案】
D
【知识点】
二次函数最值，直角三角形面积计算，二次函数应用
【点评】
本题是二次函数解决几何最值问题的基础题型，解题核心是结合题意建立正确的二次函数模型，再利用二次函数的性质求解最值，掌握二次函数最值的求法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
2.【数学应用】如图，有一块矩形空地ABCD，学校将其内部的一块四边形空地EFGH规划为草坪，点E,F,G,H分别在边AD,AB,BC,CD上，且$AE=AF=CG=CH$。已知$AD=30\ \mathrm{m}$，$AB=50\ \mathrm{m}$，求草坪的最大面积。
答案
解:设 $AE=AF=CG=CH=x\ \mathrm{m}$,草坪的面积为 $y\ \mathrm{m}^2$,
则 $DE=BG=(30-x)\ \mathrm{m},DH=BF=(50-x)\ \mathrm{m}$,
根据题意得 $y=50×30-2×\frac{1}{2}x^2-2×\frac{1}{2}(50-x)(30-x)=-2x^2+80x=-2(x-20)^2+800$。
$\because -2＜0$,
$\therefore$ 当 $x=20$ 时,$y$ 有最大值,最大值为 800,
故草坪的最大面积为 $800\ \mathrm{m}^2$。
则 $DE=BG=(30-x)\ \mathrm{m},DH=BF=(50-x)\ \mathrm{m}$,
根据题意得 $y=50×30-2×\frac{1}{2}x^2-2×\frac{1}{2}(50-x)(30-x)=-2x^2+80x=-2(x-20)^2+800$。
$\because -2＜0$,
$\therefore$ 当 $x=20$ 时,$y$ 有最大值,最大值为 800,
故草坪的最大面积为 $800\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
本题可通过割补法求解草坪的最大面积：首先矩形ABCD的面积固定，草坪面积等于矩形总面积减去四个空白直角三角形的面积。我们先设$AE=AF=CG=CH=x$，用含x的代数式表示出各空白三角形的边长，再建立草坪面积关于x的函数关系式，发现该函数为二次函数，最后结合二次函数的最值性质和x的实际取值范围即可求出最大面积。
【解析】
解：设$AE=AF=CG=CH=x\ \mathrm{m}$，草坪的面积为$y\ \mathrm{m}^2$，其中x的取值范围为$0＜x＜30$。
由矩形边长可得：$DE=BG=(30-x)\ \mathrm{m}$，$DH=BF=(50-x)\ \mathrm{m}$。
根据题意，草坪面积 = 矩形面积 - 4个空白三角形的面积，列式如下：
$\begin{aligned}y&=50×30-2×\frac{1}{2}x^2-2×\frac{1}{2}(50-x)(30-x)\\&=1500-x^2-(1500-80x+x^2)\\&=-2x^2+80x\\&=-2(x-20)^2+800\end{aligned}$
$\because -2＜0$，二次函数图象开口向下，且$x=20$满足$0＜x＜30$，
$\therefore$ 当$x=20$时，$y$取得最大值，最大值为$800$。
【答案】
$\boxed{800\ \mathrm{m^2}}$
【知识点】
二次函数的最值，图形面积计算，函数关系式建立
【点评】
本题是几何与函数结合的典型应用题，核心是通过割补法将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差关系列式，再利用二次函数的性质求解最值，解题时要注意验证自变量的取值是否符合实际几何意义。
【难度系数】
0.7
本题可通过割补法求解草坪的最大面积：首先矩形ABCD的面积固定，草坪面积等于矩形总面积减去四个空白直角三角形的面积。我们先设$AE=AF=CG=CH=x$，用含x的代数式表示出各空白三角形的边长，再建立草坪面积关于x的函数关系式，发现该函数为二次函数，最后结合二次函数的最值性质和x的实际取值范围即可求出最大面积。
【解析】
解：设$AE=AF=CG=CH=x\ \mathrm{m}$，草坪的面积为$y\ \mathrm{m}^2$，其中x的取值范围为$0＜x＜30$。
由矩形边长可得：$DE=BG=(30-x)\ \mathrm{m}$，$DH=BF=(50-x)\ \mathrm{m}$。
根据题意，草坪面积 = 矩形面积 - 4个空白三角形的面积，列式如下：
$\begin{aligned}y&=50×30-2×\frac{1}{2}x^2-2×\frac{1}{2}(50-x)(30-x)\\&=1500-x^2-(1500-80x+x^2)\\&=-2x^2+80x\\&=-2(x-20)^2+800\end{aligned}$
$\because -2＜0$，二次函数图象开口向下，且$x=20$满足$0＜x＜30$，
$\therefore$ 当$x=20$时，$y$取得最大值，最大值为$800$。
【答案】
$\boxed{800\ \mathrm{m^2}}$
【知识点】
二次函数的最值，图形面积计算，函数关系式建立
【点评】
本题是几何与函数结合的典型应用题，核心是通过割补法将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差关系列式，再利用二次函数的性质求解最值，解题时要注意验证自变量的取值是否符合实际几何意义。
【难度系数】
0.7
1.用一根长 40 cm 的绳子围成的矩形的最大面积为(
A.$50\ \mathrm{cm}^2$
B.$100\ \mathrm{cm}^2$
C.$200\ \mathrm{cm}^2$
D.$250\ \mathrm{cm}^2$
B
)。A.$50\ \mathrm{cm}^2$
B.$100\ \mathrm{cm}^2$
C.$200\ \mathrm{cm}^2$
D.$250\ \mathrm{cm}^2$
答案
1.B
解析
【分析】
要解决周长固定的矩形最大面积问题，首先可以通过设未知数的方式，将矩形的面积转化为关于边长的函数，再利用函数的性质求最值。第一步，设矩形的一边长为自变量，根据周长公式表示出相邻边的长度；第二步，根据矩形面积公式列出面积关于自变量的表达式，可得到二次函数；第三步，利用二次函数的最值性质（开口向下的二次函数在顶点处取最大值）计算出最大面积即可，也可以用配方法直接求最值。
【解析】
设围成的矩形的一边长为$ x \, \mathrm{cm} $，已知矩形周长为$ 40 \, \mathrm{cm} $，则其相邻边长为$ \frac{40}{2} - x = (20 - x) \, \mathrm{cm} $，边长取值范围为$ 0 ＜ x ＜ 20 $。
设矩形面积为$ S \, \mathrm{cm}^2 $，根据矩形面积公式可得：
$ S = x(20 - x) $
整理得二次函数表达式：$ S = -x^2 + 20x $
用配方法变形：
$ S = -(x^2 - 20x + 100) + 100 = -(x - 10)^2 + 100 $
因为二次项系数$ -1 ＜ 0 $，所以该函数图象开口向下，当$ x = 10 $时，$ S $取得最大值，最大值为$ 100 \, \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；矩形的周长与面积；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数解决几何最值的基础题型，解题关键是结合几何公式建立正确的二次函数表达式，再利用二次函数的性质求最值，也可直接记住“周长固定的矩形中，正方形的面积最大”这一结论快速得到答案。
【难度系数】
0.75
要解决周长固定的矩形最大面积问题，首先可以通过设未知数的方式，将矩形的面积转化为关于边长的函数，再利用函数的性质求最值。第一步，设矩形的一边长为自变量，根据周长公式表示出相邻边的长度；第二步，根据矩形面积公式列出面积关于自变量的表达式，可得到二次函数；第三步，利用二次函数的最值性质（开口向下的二次函数在顶点处取最大值）计算出最大面积即可，也可以用配方法直接求最值。
【解析】
设围成的矩形的一边长为$ x \, \mathrm{cm} $，已知矩形周长为$ 40 \, \mathrm{cm} $，则其相邻边长为$ \frac{40}{2} - x = (20 - x) \, \mathrm{cm} $，边长取值范围为$ 0 ＜ x ＜ 20 $。
设矩形面积为$ S \, \mathrm{cm}^2 $，根据矩形面积公式可得：
$ S = x(20 - x) $
整理得二次函数表达式：$ S = -x^2 + 20x $
用配方法变形：
$ S = -(x^2 - 20x + 100) + 100 = -(x - 10)^2 + 100 $
因为二次项系数$ -1 ＜ 0 $，所以该函数图象开口向下，当$ x = 10 $时，$ S $取得最大值，最大值为$ 100 \, \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；矩形的周长与面积；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数解决几何最值的基础题型，解题关键是结合几何公式建立正确的二次函数表达式，再利用二次函数的性质求最值，也可直接记住“周长固定的矩形中，正方形的面积最大”这一结论快速得到答案。
【难度系数】
0.75
2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B = 90°$，$AB = 12\ \mathrm{mm}$，$BC = 24\ \mathrm{mm}$。动点$P$从点$A$出发，以$2\ \mathrm{mm/s}$的速度沿边$AB$向终点$B$运动；同时，动点$Q$从点$B$出发，以$4\ \mathrm{mm/s}$的速度沿边$BC$向点$C$运动。设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，当$1≤ t≤5$时，$△ BPQ$面积的最大值为（
A.$20\ \mathrm{mm}^2$
B.$32\ \mathrm{mm}^2$
C.$36\ \mathrm{mm}^2$
D.$40\ \mathrm{mm}^2$
C
）。A.$20\ \mathrm{mm}^2$
B.$32\ \mathrm{mm}^2$
C.$36\ \mathrm{mm}^2$
D.$40\ \mathrm{mm}^2$
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确△BPQ是直角三角形，面积为两直角边乘积的一半。第一步先用运动时间t表示出两条直角边BP、BQ的长度，再根据面积公式得到面积关于t的函数表达式，发现为二次函数；接下来结合二次函数的开口方向、对称轴位置，以及题目给出的t的取值范围1≤t≤5，即可求出面积的最大值。
【解析】
解：由题意得：
$AP = 2t\ \mathrm{mm}$，$BQ = 4t\ \mathrm{mm}$，
∴ $BP = AB - AP = (12 - 2t)\ \mathrm{mm}$，
∵ $∠B = 90°$，
∴ △BPQ的面积$S=\frac{1}{2} · BP · BQ$
代入得：
$S=\frac{1}{2} × (12-2t) × 4t = -4t^2 +24t$
这是开口向下的二次函数，其对称轴为$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{2×(-4)}=3$，
∵ t=3在取值范围$1≤ t≤5$内，
∴ 当t=3时，S取得最大值，
代入t=3得：$S_{max}=-4× 3^2 +24× 3=36\ \mathrm{mm^2}$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的最值；动点问题；三角形面积计算
【点评】
本题是动点与二次函数结合的应用题，解题核心是将动点运动的路程转化为对应线段的长度，建立面积的二次函数模型，再结合二次函数的性质求解最值，解题时需注意验证对称轴是否在自变量的取值范围内。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确△BPQ是直角三角形，面积为两直角边乘积的一半。第一步先用运动时间t表示出两条直角边BP、BQ的长度，再根据面积公式得到面积关于t的函数表达式，发现为二次函数；接下来结合二次函数的开口方向、对称轴位置，以及题目给出的t的取值范围1≤t≤5，即可求出面积的最大值。
【解析】
解：由题意得：
$AP = 2t\ \mathrm{mm}$，$BQ = 4t\ \mathrm{mm}$，
∴ $BP = AB - AP = (12 - 2t)\ \mathrm{mm}$，
∵ $∠B = 90°$，
∴ △BPQ的面积$S=\frac{1}{2} · BP · BQ$
代入得：
$S=\frac{1}{2} × (12-2t) × 4t = -4t^2 +24t$
这是开口向下的二次函数，其对称轴为$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{2×(-4)}=3$，
∵ t=3在取值范围$1≤ t≤5$内，
∴ 当t=3时，S取得最大值，
代入t=3得：$S_{max}=-4× 3^2 +24× 3=36\ \mathrm{mm^2}$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的最值；动点问题；三角形面积计算
【点评】
本题是动点与二次函数结合的应用题，解题核心是将动点运动的路程转化为对应线段的长度，建立面积的二次函数模型，再结合二次函数的性质求解最值，解题时需注意验证对称轴是否在自变量的取值范围内。
【难度系数】
0.7
3.【数学应用】如图所示的是一个长20 m、宽16 m的矩形花园，现要将它的长缩短x m，宽增加x m，则修改后花园的最大面积为（
A.$320\ \mathrm{m}^2$
B.$322\ \mathrm{m}^2$
C.$323\ \mathrm{m}^2$
D.$324\ \mathrm{m}^2$
D
）。A.$320\ \mathrm{m}^2$
B.$322\ \mathrm{m}^2$
C.$323\ \mathrm{m}^2$
D.$324\ \mathrm{m}^2$
答案
3.D
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要根据题意表示出修改后花园的长和宽，再根据矩形面积公式列出面积关于x的函数关系式，结合二次函数的性质求最大值即可。思考步骤：1. 确定修改后的长为(20-x)m，宽为(16+x)m，注意x的取值范围需满足长和宽均为正数，即$0≤ x＜20$；2. 列出面积表达式后整理为二次函数的标准形式；3. 利用配方法或顶点坐标公式求二次函数的最大值，判断取最大值时x是否在取值范围内即可。
【解析】
设修改后花园的面积为$ S\ \mathrm{m^2} $。
根据题意，修改后花园的长为$ (20-x)\ \mathrm{m} $，宽为$ (16+x)\ \mathrm{m} $，其中$ 0≤ x＜20 $。
由矩形面积公式得：
$\begin{aligned}S&=(20-x)(16+x)\\&=320+20x-16x-x^2\\&=-x^2+4x+320\\&=-(x^2-4x)+320\\&=-(x^2-4x+4-4)+320\\&=-(x-2)^2+4+320\\&=-(x-2)^2+324\end{aligned}$
因为二次项系数$ -1＜0 $，所以该二次函数图象开口向下，当$ x=2 $时，$ S $取得最大值，最大值为$ 324\ \mathrm{m^2} $，且$ x=2 $符合$ 0≤ x＜20 $的实际意义。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；配方法
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的典型题型，解题的核心是正确结合题意列出函数关系式，再利用二次函数的性质求解，需要注意自变量的取值要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要根据题意表示出修改后花园的长和宽，再根据矩形面积公式列出面积关于x的函数关系式，结合二次函数的性质求最大值即可。思考步骤：1. 确定修改后的长为(20-x)m，宽为(16+x)m，注意x的取值范围需满足长和宽均为正数，即$0≤ x＜20$；2. 列出面积表达式后整理为二次函数的标准形式；3. 利用配方法或顶点坐标公式求二次函数的最大值，判断取最大值时x是否在取值范围内即可。
【解析】
设修改后花园的面积为$ S\ \mathrm{m^2} $。
根据题意，修改后花园的长为$ (20-x)\ \mathrm{m} $，宽为$ (16+x)\ \mathrm{m} $，其中$ 0≤ x＜20 $。
由矩形面积公式得：
$\begin{aligned}S&=(20-x)(16+x)\\&=320+20x-16x-x^2\\&=-x^2+4x+320\\&=-(x^2-4x)+320\\&=-(x^2-4x+4-4)+320\\&=-(x-2)^2+4+320\\&=-(x-2)^2+324\end{aligned}$
因为二次项系数$ -1＜0 $，所以该二次函数图象开口向下，当$ x=2 $时，$ S $取得最大值，最大值为$ 324\ \mathrm{m^2} $，且$ x=2 $符合$ 0≤ x＜20 $的实际意义。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；配方法
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的典型题型，解题的核心是正确结合题意列出函数关系式，再利用二次函数的性质求解，需要注意自变量的取值要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
4. 一块梯形木板ABCD，AD//BC，∠BCD＝90°，AD＝4，BC＝10，CD＝6，按如图所示的方式设计一个矩形桌面EFCG，则当EF=
（第4题）
5
时，矩形桌面面积最大。（第4题）答案
4.5
