登录
12. 一个立方体的棱长是5 cm，再做一个立方体，使它的体积是原正方体体积的8倍，求所做的立方体的棱长。
答案
12. 10 cm
解析
【分析】
解题时首先回忆正方体体积计算公式：正方体体积=棱长的立方。要求新做立方体的棱长，第一步先计算原立方体的体积，第二步根据新体积是原体积的8倍求出新体积，第三步对新体积开立方即可得到新棱长；也可利用“立方体体积比等于棱长比的立方”的规律，直接推出新棱长是原棱长的2倍，简化计算。
【解析】
解：根据正方体体积公式$V=a^3$（$a$为棱长）计算：
1. 计算原立方体体积：
原棱长为$5\mathrm{cm}$，则原体积$V_{\mathrm{原}}=5^3=125(\mathrm{cm}^3)$
2. 计算新立方体体积：
由题意得新体积$V_{\mathrm{新}}=8× V_{\mathrm{原}}=8×125=1000(\mathrm{cm}^3)$
3. 求新立方体的棱长：
设新棱长为$x$，则$x^3=1000$，对等式两边开立方得：
$x=\sqrt[3]{1000}=10(\mathrm{cm})$
【答案】
10 cm
【知识点】
正方体体积计算；立方根运算
【点评】
本题属于基础应用型题目，将立体图形体积公式和实数开立方运算结合考查，熟练掌握相关公式和运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆正方体体积计算公式：正方体体积=棱长的立方。要求新做立方体的棱长，第一步先计算原立方体的体积，第二步根据新体积是原体积的8倍求出新体积，第三步对新体积开立方即可得到新棱长；也可利用“立方体体积比等于棱长比的立方”的规律，直接推出新棱长是原棱长的2倍，简化计算。
【解析】
解：根据正方体体积公式$V=a^3$（$a$为棱长）计算：
1. 计算原立方体体积：
原棱长为$5\mathrm{cm}$，则原体积$V_{\mathrm{原}}=5^3=125(\mathrm{cm}^3)$
2. 计算新立方体体积：
由题意得新体积$V_{\mathrm{新}}=8× V_{\mathrm{原}}=8×125=1000(\mathrm{cm}^3)$
3. 求新立方体的棱长：
设新棱长为$x$，则$x^3=1000$，对等式两边开立方得：
$x=\sqrt[3]{1000}=10(\mathrm{cm})$
【答案】
10 cm
【知识点】
正方体体积计算；立方根运算
【点评】
本题属于基础应用型题目，将立体图形体积公式和实数开立方运算结合考查，熟练掌握相关公式和运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.9
13. 已知一个数的5倍与2的差的立方根是－3，则这个数为
-5
。答案
13. -5
解析
【分析】
遇到这类文字叙述的求数问题，我们可以先设所求数为未知数，再将文字描述逐步转化为数学方程：首先，“一个数的5倍与2的差”可表示为$5x-2$，其次根据立方根的定义：若$a$的立方根是$b$，则$a=b^3$，就可以列出关于$x$的一元一次方程，最后解方程即可得到结果，也可代入原式验证答案是否正确。
【解析】
解：设这个数为$x$，根据题意列方程得：
$\sqrt[3]{5x - 2} = -3$
根据立方与立方根互为逆运算，方程两边同时立方，得：
$5x - 2 = (-3)^3$
计算得：
$5x - 2 = -27$
移项合并同类项：
$5x = -25$
系数化为1：
$x = -5$
代入验证：$5×(-5)-2=-27$，$\sqrt[3]{-27}=-3$，符合题意。
【答案】
$-5$
【知识点】
立方根的定义；一元一次方程的解法
【点评】
本题侧重考察文字语言转化为数学表达式的能力，解题核心是利用立方和立方根的互逆运算去掉根号求解，计算时需注意负数的立方仍为负数。
【难度系数】
0.8
遇到这类文字叙述的求数问题，我们可以先设所求数为未知数，再将文字描述逐步转化为数学方程：首先，“一个数的5倍与2的差”可表示为$5x-2$，其次根据立方根的定义：若$a$的立方根是$b$，则$a=b^3$，就可以列出关于$x$的一元一次方程，最后解方程即可得到结果，也可代入原式验证答案是否正确。
【解析】
解：设这个数为$x$，根据题意列方程得：
$\sqrt[3]{5x - 2} = -3$
根据立方与立方根互为逆运算，方程两边同时立方，得：
$5x - 2 = (-3)^3$
计算得：
$5x - 2 = -27$
移项合并同类项：
$5x = -25$
系数化为1：
$x = -5$
代入验证：$5×(-5)-2=-27$，$\sqrt[3]{-27}=-3$，符合题意。
【答案】
$-5$
【知识点】
立方根的定义；一元一次方程的解法
【点评】
本题侧重考察文字语言转化为数学表达式的能力，解题核心是利用立方和立方根的互逆运算去掉根号求解，计算时需注意负数的立方仍为负数。
【难度系数】
0.8
14.已知数轴上点A表示的数是$-\sqrt{2}$，点B表示的数是1，在数轴上有一点C(与点A不重合)，它到点B的距离与点A到点B的距离相等，求点C表示的数。
答案
14. $2+\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时先回忆数轴上两点间距离的计算方法：数轴上两点间的距离等于两点所表示数的差的绝对值，也可用右侧点表示的数减去左侧点表示的数直接计算。第一步先计算点A到点B的距离，第二步根据“点C到点B的距离与点A到点B的距离相等，且C与A不重合”判断点C的位置在点B的右侧，第三步用点B表示的数加上AB的距离即可求出点C表示的数。
【解析】
首先计算点A到点B的距离：
∵点A表示的数是$-\sqrt{2}$，点B表示的数是1，
∴AB的距离为$1 - (-\sqrt{2}) = 1 + \sqrt{2}$。
由题意可知点C到点B的距离也为$1 + \sqrt{2}$，且点C与点A不重合，因此点C位于点B的右侧，
∴点C表示的数为$1 + (1 + \sqrt{2}) = 2 + \sqrt{2}$。
【答案】
$2+\sqrt{2}$
【知识点】
1. 数轴上两点距离计算
2. 实数的加减运算
【点评】
本题重点考查数轴上两点距离的实际应用，解题时需结合数轴判断点的位置，排除与点A重合的情况，即可快速得出结果，核心是对数轴距离公式的灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆数轴上两点间距离的计算方法：数轴上两点间的距离等于两点所表示数的差的绝对值，也可用右侧点表示的数减去左侧点表示的数直接计算。第一步先计算点A到点B的距离，第二步根据“点C到点B的距离与点A到点B的距离相等，且C与A不重合”判断点C的位置在点B的右侧，第三步用点B表示的数加上AB的距离即可求出点C表示的数。
【解析】
首先计算点A到点B的距离：
∵点A表示的数是$-\sqrt{2}$，点B表示的数是1，
∴AB的距离为$1 - (-\sqrt{2}) = 1 + \sqrt{2}$。
由题意可知点C到点B的距离也为$1 + \sqrt{2}$，且点C与点A不重合，因此点C位于点B的右侧，
∴点C表示的数为$1 + (1 + \sqrt{2}) = 2 + \sqrt{2}$。
【答案】
$2+\sqrt{2}$
【知识点】
1. 数轴上两点距离计算
2. 实数的加减运算
【点评】
本题重点考查数轴上两点距离的实际应用，解题时需结合数轴判断点的位置，排除与点A重合的情况，即可快速得出结果，核心是对数轴距离公式的灵活运用。
【难度系数】
0.7
15. 小丽想用一张面积为$400\ \mathrm{cm}^2$的正方形纸片，裁出一张面积为$288\ \mathrm{cm}^2$的长方形纸片。
(1)请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；
(2)若使长方形的长宽之比为$3:2$，小丽能用这张纸片裁出符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由。
(1)请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；
(2)若使长方形的长宽之比为$3:2$，小丽能用这张纸片裁出符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由。
答案
15. (1)在正方形一组邻边上取16 cm与18 cm作为长、宽，即可裁出符合要求的长方形 (2)$3×\sqrt{288÷3÷2}=3×\sqrt{48}＞20$，所以不能
解析
【分析】
首先计算原正方形纸片的边长：面积为400cm²的正方形，边长为√400=20cm，裁剪的长方形的长和宽均不能超过20cm。
(1) 要裁剪出面积为288cm²的长方形，只需找到两个乘积为288且均不大于20的正数作为长方形的长和宽即可，方案不唯一；
(2) 已知长宽比为3:2，可设长为3x cm、宽为2x cm，根据面积列方程求出x的值，进而得到长的大小，再和正方形边长20cm比较，若长大于20则无法裁剪，反之则可以。
【解析】
解：首先计算正方形纸片的边长：
∵正方形面积为400cm²，
∴正方形边长=√400=20cm。
(1) 要使长方形面积为288cm²，可取长为18cm，对应宽为288÷18=16cm，18cm＜20cm，16cm＜20cm，均小于正方形边长，符合要求。因此裁剪方案为：在正方形的一组邻边上分别截取16cm、18cm作为长方形的宽和长，沿截线裁剪即可。
(2) 设长方形的长为3x cm，宽为2x cm（x＞0），根据长方形面积公式可得：
$3x·2x=288$
整理得$6x²=288$，即$x²=48$
∵x＞0，
∴$x=\sqrt{288÷3÷2}=\sqrt{48}$
则长方形的长为$3\sqrt{48}$ cm
∵$\sqrt{48}＞\frac{20}{3}$，
∴$3\sqrt{48}＞20$，即长方形的长大于正方形的边长
因此小丽不能裁出符合要求的纸片。
【答案】
(1) 在正方形一组邻边上取16 cm与18 cm作为长、宽，即可裁出符合要求的长方形（方案合理即可）；
(2) 不能，$3×\sqrt{288÷3÷2}=3×\sqrt{48}＞20$，长方形的长超过正方形的边长。
【知识点】
正方形面积计算，算术平方根的应用，实数大小比较
【点评】
本题是实数运算在实际裁剪问题中的应用，解题核心是先确定原正方形的边长上限，再结合长方形的面积、比例条件推导长的取值，通过对比边长判断方案是否可行，需要注意实际问题中图形边长的取值限制。
【难度系数】
0.7
首先计算原正方形纸片的边长：面积为400cm²的正方形，边长为√400=20cm，裁剪的长方形的长和宽均不能超过20cm。
(1) 要裁剪出面积为288cm²的长方形，只需找到两个乘积为288且均不大于20的正数作为长方形的长和宽即可，方案不唯一；
(2) 已知长宽比为3:2，可设长为3x cm、宽为2x cm，根据面积列方程求出x的值，进而得到长的大小，再和正方形边长20cm比较，若长大于20则无法裁剪，反之则可以。
【解析】
解：首先计算正方形纸片的边长：
∵正方形面积为400cm²，
∴正方形边长=√400=20cm。
(1) 要使长方形面积为288cm²，可取长为18cm，对应宽为288÷18=16cm，18cm＜20cm，16cm＜20cm，均小于正方形边长，符合要求。因此裁剪方案为：在正方形的一组邻边上分别截取16cm、18cm作为长方形的宽和长，沿截线裁剪即可。
(2) 设长方形的长为3x cm，宽为2x cm（x＞0），根据长方形面积公式可得：
$3x·2x=288$
整理得$6x²=288$，即$x²=48$
∵x＞0，
∴$x=\sqrt{288÷3÷2}=\sqrt{48}$
则长方形的长为$3\sqrt{48}$ cm
∵$\sqrt{48}＞\frac{20}{3}$，
∴$3\sqrt{48}＞20$，即长方形的长大于正方形的边长
因此小丽不能裁出符合要求的纸片。
【答案】
(1) 在正方形一组邻边上取16 cm与18 cm作为长、宽，即可裁出符合要求的长方形（方案合理即可）；
(2) 不能，$3×\sqrt{288÷3÷2}=3×\sqrt{48}＞20$，长方形的长超过正方形的边长。
【知识点】
正方形面积计算，算术平方根的应用，实数大小比较
【点评】
本题是实数运算在实际裁剪问题中的应用，解题核心是先确定原正方形的边长上限，再结合长方形的面积、比例条件推导长的取值，通过对比边长判断方案是否可行，需要注意实际问题中图形边长的取值限制。
【难度系数】
0.7
