7.(2024·宜兴一模)如图,AB是$\odot O$的直径,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,弦CD与AB的延长线交于点E,AD,BC交于点F.若$CD=DE$,则$∠ AFC$的度数为 （ ）
A.$52.5°$
B.$60°$
C.$67.5°$
D.$75°$

B

8.如图,半径为 10 的$\odot A$中,弦 BC,ED 所对的圆心角分别是$∠BAC,∠EAD$.已知$DE=12$,$∠BAC+∠EAD=180°$,则弦 BC 的长为______.

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9.如图,矩形ABCD的宽为10,长为12,E是矩形内的动点,AE⊥BE,则CE长的最小值为________.

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10. 如图，AB为$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，连接BC并延长至点D，使$CD=BC$，连接DA并延长交$\odot O$于点E，连接AC，CE.
(1)求证：$∠ E=∠ D$；
(2)若$AB=5$，$BC-AC=1$，求CE的长.

证明：(1)因为$AB$是直径，所以$∠ACB = 90°，$即$AC\perp BD。$ 因为$CD = BC，$
所以$AD = AB$所以​$∠B=∠D$​ 又因为$∠E=∠B$（同弧所对的圆周角相等），所以$∠E=∠D。$ (2)解：因为$\triangle ACB$是直角三角形，所以$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}。$ 已知$AB = 5，$则$AB^{2}=25，$
又因为$BC - AC = 1，$
所以$BC=AC + 1。$ 将$BC=AC + 1$代入$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$中，得到$AC^{2}+(AC + 1)^{2}=25。$ 展开式子得$AC^{2}+AC^{2}+2AC + 1 = 25，$
即$2AC^{2}+2AC-24 = 0，$
化简为$AC^{2}+AC - 12 = 0。$ 因式分解得$(AC - 3)(AC + 4)=0，$
解得$AC = 3$或$AC=-4$（边长不能为负，舍去）。 所以$BC=AC + 1=4，$则$DC = BC = 4。$ 因为$∠D=∠E，$
所以$CE = CD = 4。$

11. 如图,以 AB 为直径的$\odot O$经过$△ ABC$的顶点 C,AE,BE 分别平分$∠ BAC$和$∠ ABC$,AE 的延长线交$\odot O$于点 D,连接 BD.
(1)判断$△ BDE$的形状,并证明你的结论;
(2)若$AB=10,BE=\sqrt{10}$,求 BC 的长.

; 解:(1)$\triangle BDE$为等腰直角三角形。 证明：因为$AE$平分$∠BAC，$$BE$平分$∠ABC，$
所以$∠BAE=∠CAD=∠CBD，$$∠ABE=∠EBC。$ 因为$∠BED=∠BAE+∠ABE，$$∠DBE=∠DBC+∠CBE，$
所以$∠BED=∠DBE，$
所以$BD = ED。$ 又因为$AB$为直径，所以$∠ADB = 90°，$
所以$\triangle BDE$为等腰直角三角形。 (2)连接$OC，$$CD，$$OD，$$OD$交$BC$于点$F。$ 因为$∠DBC=∠CAD=∠BAD=∠BCD，$
所以$BD = DC。$ 又因为$OB = OC，$所以$OD$垂直平分$BC。$ 因为$\triangle BDE$是等腰直角三角形，$BE=\sqrt{10}，$
所以$BD=\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{10}=\sqrt{5}。$ 因为$AB = 10，$所以$OB = OD = 5。$ 设$OF = t，$则$DF = 5 - t。$ 在$Rt\triangle BOF$和$Rt\triangle BDF$中，根据勾股定理可得$5^{2}-t^{2}=(\sqrt{5})^{2}-(5 - t)^{2}。$ 展开式子得$25-t^{2}=5-(25 - 10t+t^{2})，$
即$25-t^{2}=5 - 25 + 10t - t^{2}。$ 移项化简得$10t = 45，$解得$t = 4.5。$ 所以$BF=\sqrt{5^{2}-4.5^{2}}=\sqrt{25 - 20.25}=\sqrt{4.75}=\frac{\sqrt{19}}{2}，$
则$BC = 2BF=\sqrt{19}。$