登录
6. 如图,为了估算河的宽度,可以在河对岸选定一个目标P,在近岸取点Q和S,使点P,Q,S共线,且直线PS与河岸垂直。接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,设PT交过点Q且垂直于PS的直线b于点R。测得$QS=45\ \mathrm{m},ST=90\ \mathrm{m},QR=60\ \mathrm{m}$,求河的宽度PQ。
答案
6. $PQ=90\ \mathrm{m}$
解析
【分析】
要估算河宽PQ，可利用相似三角形的性质求解。首先观察图形，QR、ST均垂直于PS，可得QR与ST平行，进而推出△PQR和△PST相似，再结合已知线段长度代入相似三角形的对应边比例式，即可列方程求出PQ的长度。
【解析】
解：
∵ $QR⊥ PS$，$ST⊥ PS$，
∴ $∠ PQR = ∠ PST = 90°$，
又
∵ $∠ P = ∠ P$（公共角），
∴ $△ PQR ∽ △ PST$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{PQ}{PS}=\frac{QR}{ST}$。
∵ $PS = PQ + QS$，且$QS=45\ \mathrm{m}$，$ST=90\ \mathrm{m}$，$QR=60\ \mathrm{m}$，
代入得：$\frac{PQ}{PQ+45}=\frac{60}{90}$，
化简得$\frac{PQ}{PQ+45}=\frac{2}{3}$，
交叉相乘得：$3PQ=2(PQ+45)$，
解得：$PQ=90\ \mathrm{m}$。
【答案】
$PQ=90\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形解决实际测量问题的基础题型，解题核心是通过垂直关系判定三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质建立方程求解，掌握相似三角形的相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7
要估算河宽PQ，可利用相似三角形的性质求解。首先观察图形，QR、ST均垂直于PS，可得QR与ST平行，进而推出△PQR和△PST相似，再结合已知线段长度代入相似三角形的对应边比例式，即可列方程求出PQ的长度。
【解析】
解：
∵ $QR⊥ PS$，$ST⊥ PS$，
∴ $∠ PQR = ∠ PST = 90°$，
又
∵ $∠ P = ∠ P$（公共角），
∴ $△ PQR ∽ △ PST$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{PQ}{PS}=\frac{QR}{ST}$。
∵ $PS = PQ + QS$，且$QS=45\ \mathrm{m}$，$ST=90\ \mathrm{m}$，$QR=60\ \mathrm{m}$，
代入得：$\frac{PQ}{PQ+45}=\frac{60}{90}$，
化简得$\frac{PQ}{PQ+45}=\frac{2}{3}$，
交叉相乘得：$3PQ=2(PQ+45)$，
解得：$PQ=90\ \mathrm{m}$。
【答案】
$PQ=90\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形解决实际测量问题的基础题型，解题核心是通过垂直关系判定三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质建立方程求解，掌握相似三角形的相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在△ABC中,AB=AC。在AC上取点D,使∠CBD=∠A,延长BC至点E,使DE=DB。若$\frac{BE}{BC}=k$,则$\frac{AD}{AB}$等于(
A.$k-1$
B.$\frac{1}{k-1}$
C.$k$
D.$\frac{1}{k}$
A
)。A.$k-1$
B.$\frac{1}{k-1}$
C.$k$
D.$\frac{1}{k}$
答案
7. A。提示:因为$AB=AC$,所以$∠ BCD=∠ ABC$。
因为$∠ CBD=∠ A$,所以$∠ BDC=∠ ABD+∠ A=∠ ABD+∠ CBD=∠ ABC$,
所以$∠ BDC=∠ BCD$,所以$DB=BC$。
因为$DE=DB$,所以$DE=DB=BC$,$∠ CBD=∠ E$,所以$∠ A=∠ E$。
因为$∠ ADB+∠ BDC=180°$,$∠ ECD+∠ BCD=180°$,所以$∠ ADB=∠ ECD$,
所以$△ ADB ∽ △ ECD$,所以$\frac{AD}{EC}=\frac{AB}{DE}=\frac{AB}{BC}$,
所以$\frac{AD}{AB}=\frac{EC}{BC}=\frac{BE-BC}{BC}=\frac{BE}{BC}-1=k-1$。故选A。
因为$∠ CBD=∠ A$,所以$∠ BDC=∠ ABD+∠ A=∠ ABD+∠ CBD=∠ ABC$,
所以$∠ BDC=∠ BCD$,所以$DB=BC$。
因为$DE=DB$,所以$DE=DB=BC$,$∠ CBD=∠ E$,所以$∠ A=∠ E$。
因为$∠ ADB+∠ BDC=180°$,$∠ ECD+∠ BCD=180°$,所以$∠ ADB=∠ ECD$,
所以$△ ADB ∽ △ ECD$,所以$\frac{AD}{EC}=\frac{AB}{DE}=\frac{AB}{BC}$,
所以$\frac{AD}{AB}=\frac{EC}{BC}=\frac{BE-BC}{BC}=\frac{BE}{BC}-1=k-1$。故选A。
解析
【分析】
解题时首先从已知的等腰△ABC入手，利用等腰三角形两底角相等的性质得到角的等量关系，结合∠CBD=∠A和三角形外角的性质，推导得出DB=BC，再结合DE=DB得到DE与BC相等，进一步得到∠A=∠E；接下来通过补角的性质推导∠ADB=∠ECD，证明△ADB与△ECD相似，利用相似三角形对应边成比例将所求的$\frac{AD}{AB}$转化为$\frac{EC}{BC}$，最后结合$\frac{BE}{BC}=k$的条件，把EC用BE和BC表示后代入计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$。
$\because ∠ BDC$是$△ ABD$的外角，$\therefore ∠ BDC=∠ A+∠ ABD$，
又$\because ∠ CBD=∠ A$，$\therefore ∠ BDC=∠ CBD+∠ ABD=∠ ABC$，
$\therefore ∠ BDC=∠ ACB$，$\therefore DB=BC$。
$\because DE=DB$，$\therefore DE=DB=BC$，且$∠ CBD=∠ E$，
$\therefore ∠ A=∠ E$。
$\because ∠ ADB+∠ BDC=180°$，$∠ ECD+∠ ACB=180°$，且$∠ BDC=∠ ACB$，
$\therefore ∠ ADB=∠ ECD$，
$\therefore △ ADB ∽ △ ECD \ (\mathrm{AA})$，
$\therefore \frac{AD}{EC}=\frac{AB}{DE}$，代入$DE=BC$得$\frac{AD}{EC}=\frac{AB}{BC}$，
变形得$\frac{AD}{AB}=\frac{EC}{BC}$。
$\because EC=BE-BC$，$\frac{BE}{BC}=k$即$BE=k· BC$，
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{BE-BC}{BC}=\frac{BE}{BC}-1=k-1$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形性质，相似三角形判定与性质，三角形外角定理
【点评】
本题是几何综合类常考题，将等腰三角形的边角关系和相似三角形的应用结合考查，解题的核心是通过角的等量代换推导等边关系、证明相似三角形，再结合已知线段比完成转化计算。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知的等腰△ABC入手，利用等腰三角形两底角相等的性质得到角的等量关系，结合∠CBD=∠A和三角形外角的性质，推导得出DB=BC，再结合DE=DB得到DE与BC相等，进一步得到∠A=∠E；接下来通过补角的性质推导∠ADB=∠ECD，证明△ADB与△ECD相似，利用相似三角形对应边成比例将所求的$\frac{AD}{AB}$转化为$\frac{EC}{BC}$，最后结合$\frac{BE}{BC}=k$的条件，把EC用BE和BC表示后代入计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$。
$\because ∠ BDC$是$△ ABD$的外角，$\therefore ∠ BDC=∠ A+∠ ABD$，
又$\because ∠ CBD=∠ A$，$\therefore ∠ BDC=∠ CBD+∠ ABD=∠ ABC$，
$\therefore ∠ BDC=∠ ACB$，$\therefore DB=BC$。
$\because DE=DB$，$\therefore DE=DB=BC$，且$∠ CBD=∠ E$，
$\therefore ∠ A=∠ E$。
$\because ∠ ADB+∠ BDC=180°$，$∠ ECD+∠ ACB=180°$，且$∠ BDC=∠ ACB$，
$\therefore ∠ ADB=∠ ECD$，
$\therefore △ ADB ∽ △ ECD \ (\mathrm{AA})$，
$\therefore \frac{AD}{EC}=\frac{AB}{DE}$，代入$DE=BC$得$\frac{AD}{EC}=\frac{AB}{BC}$，
变形得$\frac{AD}{AB}=\frac{EC}{BC}$。
$\because EC=BE-BC$，$\frac{BE}{BC}=k$即$BE=k· BC$，
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{BE-BC}{BC}=\frac{BE}{BC}-1=k-1$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形性质，相似三角形判定与性质，三角形外角定理
【点评】
本题是几何综合类常考题，将等腰三角形的边角关系和相似三角形的应用结合考查，解题的核心是通过角的等量代换推导等边关系、证明相似三角形，再结合已知线段比完成转化计算。
【难度系数】
0.6
8. 土圭之法是在平台中央竖立一根8尺长的杆子，观察杆子的日影长度。古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季。如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻太阳光线与杆的夹角$∠ BAC$和第二时刻太阳光线与地面的夹角$∠ ADB$相等，测得第一时刻的影长$BC$为1.6尺，则第二时刻的影长$BD$为
40尺
尺。答案
8. 40尺。提示:由$∠ ABC=∠ DBA$,$∠ BAC=∠ ADB$,得$△ ABC ∽ △ DBA$,所以$\frac{BD}{AB}=\frac{AB}{BC}$,所以$BD=\frac{AB^2}{BC}=\frac{8^2}{1.6}=40$。
解析
【分析】
首先观察图形，垂直地面的杆子AB与地面形成的∠ABC、∠DBA均为直角，结合题目给出的∠BAC=∠ADB的条件，根据两角对应相等的两个三角形相似，可判定△ABC与△DBA相似。再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的杆长AB和第一时刻影长BC，即可求出第二时刻的影长BD。
【解析】
解：
∵ 杆子AB垂直于地面，
∴ $∠ ABC = ∠ DBA = 90°$，
又
∵ $∠ BAC = ∠ ADB$，
∴ $△ ABC ∽ △ DBA$（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形的性质，对应边成比例可得：
$\frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BA}$，
变形得：$BD = \frac{AB^2}{BC}$，
将$AB=8$尺，$BC=1.6$尺代入得：
$BD = \frac{8^2}{1.6} = \frac{64}{1.6} = 40$（尺）。
【答案】
40
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题以古代“土圭之法”的传统文化为背景，考查相似三角形在实际测量中的应用，解题的关键是准确识别相似三角形，对应好边的比例关系，既考查了数学知识的应用，也体现了我国古代劳动人民的智慧。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，垂直地面的杆子AB与地面形成的∠ABC、∠DBA均为直角，结合题目给出的∠BAC=∠ADB的条件，根据两角对应相等的两个三角形相似，可判定△ABC与△DBA相似。再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的杆长AB和第一时刻影长BC，即可求出第二时刻的影长BD。
【解析】
解：
∵ 杆子AB垂直于地面，
∴ $∠ ABC = ∠ DBA = 90°$，
又
∵ $∠ BAC = ∠ ADB$，
∴ $△ ABC ∽ △ DBA$（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形的性质，对应边成比例可得：
$\frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BA}$，
变形得：$BD = \frac{AB^2}{BC}$，
将$AB=8$尺，$BC=1.6$尺代入得：
$BD = \frac{8^2}{1.6} = \frac{64}{1.6} = 40$（尺）。
【答案】
40
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题以古代“土圭之法”的传统文化为背景，考查相似三角形在实际测量中的应用，解题的关键是准确识别相似三角形，对应好边的比例关系，既考查了数学知识的应用，也体现了我国古代劳动人民的智慧。
【难度系数】
0.7
