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7. 在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下统计表，由表估计该麦种的发芽概率是（
试验种子数$n$ | 50 | 200 | 500 | 1 000 | 3 000
| --- | --- | --- | --- | ---
发芽频数$m$ | 45 |
| 476 | 951 | 2 850
发芽频率$\frac{m}{n}$ | 0.9 | 0.94 | 0.952 | 0.951 | 0.95
A.0.8
B.0.9
C.0.95
D.1
C
）。试验种子数$n$ | 50 | 200 | 500 | 1 000 | 3 000
| --- | --- | --- | --- | ---
发芽频数$m$ | 45 |
| 476 | 951 | 2 850发芽频率$\frac{m}{n}$ | 0.9 | 0.94 | 0.952 | 0.951 | 0.95
A.0.8
B.0.9
C.0.95
D.1
答案
7.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆用频率估计概率的核心知识：在大量重复试验中，某事件发生的频率会逐渐稳定在一个固定数值附近，这个固定数值就是该事件的概率。所以我们只需观察表格中试验种子数不断增大时，发芽频率的稳定值，该值就是麦种发芽概率的估计值。
【解析】
观察表格中的数据：随着试验种子数n从50逐步增加到3000，发芽频率依次为0.9、0.94、0.952、0.951、0.95，可见当试验次数足够大时，发芽频率稳定在0.95附近。根据用频率估计概率的规则，可估计该麦种的发芽概率为0.95，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率；频率的意义
【点评】
本题是用频率估计概率的基础应用题，解题关键是理解大量重复试验下频率的稳定值即为概率的估计值，只需关注大试验量下的频率稳定值即可，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆用频率估计概率的核心知识：在大量重复试验中，某事件发生的频率会逐渐稳定在一个固定数值附近，这个固定数值就是该事件的概率。所以我们只需观察表格中试验种子数不断增大时，发芽频率的稳定值，该值就是麦种发芽概率的估计值。
【解析】
观察表格中的数据：随着试验种子数n从50逐步增加到3000，发芽频率依次为0.9、0.94、0.952、0.951、0.95，可见当试验次数足够大时，发芽频率稳定在0.95附近。根据用频率估计概率的规则，可估计该麦种的发芽概率为0.95，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率；频率的意义
【点评】
本题是用频率估计概率的基础应用题，解题关键是理解大量重复试验下频率的稳定值即为概率的估计值，只需关注大试验量下的频率稳定值即可，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.9
8.为了估计鱼塘中鱼的条数,养鱼者首先从鱼塘中捕获30条鱼,在每条鱼身上做好记号后,把这些鱼放回鱼塘,再从鱼塘中打捞200条鱼。如果在这200条鱼中有5条鱼是有记号的,那么鱼塘中大约有鱼
1 200
条。答案
8.1 200
解析
【分析】
这是用频率估计概率的典型实际应用题，解题思路如下：我们将再次打捞的200条鱼作为抽样样本，假设鱼塘内的鱼均匀分布，那么有记号的鱼占鱼塘总鱼数的比例，和样本中有记号的鱼占抽样总数的比例近似相等，根据这个等量关系列比例式即可求出鱼塘总鱼数。
【解析】
设鱼塘中大约有鱼$ x $条。
根据“有记号的鱼在总体中的占比 = 样本中有记号的鱼的占比”，可列方程：
$\frac{30}{x}=\frac{5}{200}$
交叉相乘得：
$ 5x = 30×200 $
计算得：
$ 5x = 6000 $
解得：
$ x = 1200 $
经检验，$ x=1200 $是原方程的解，且符合实际情况。
【答案】
1200
【知识点】
用频率估计概率，样本估计总体，比例计算
【点评】
本题是统计概率知识在实际生活中的应用，解题关键是明确标记重捕法中总体和样本的比例对应关系，题目贴近生活场景，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
这是用频率估计概率的典型实际应用题，解题思路如下：我们将再次打捞的200条鱼作为抽样样本，假设鱼塘内的鱼均匀分布，那么有记号的鱼占鱼塘总鱼数的比例，和样本中有记号的鱼占抽样总数的比例近似相等，根据这个等量关系列比例式即可求出鱼塘总鱼数。
【解析】
设鱼塘中大约有鱼$ x $条。
根据“有记号的鱼在总体中的占比 = 样本中有记号的鱼的占比”，可列方程：
$\frac{30}{x}=\frac{5}{200}$
交叉相乘得：
$ 5x = 30×200 $
计算得：
$ 5x = 6000 $
解得：
$ x = 1200 $
经检验，$ x=1200 $是原方程的解，且符合实际情况。
【答案】
1200
【知识点】
用频率估计概率，样本估计总体，比例计算
【点评】
本题是统计概率知识在实际生活中的应用，解题关键是明确标记重捕法中总体和样本的比例对应关系，题目贴近生活场景，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
9.某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了九年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间$ t $(单位:h)进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：
请根据图表信息回答下列问题：
(1)统计表中，$ a= $
(2)扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是
(3)请估算该校600名九年级学生中睡眠不足7h的人数。
(4)研究表明，初中生每天睡眠时长低于7h，会严重影响学习效率。请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议。
请根据图表信息回答下列问题：
(1)统计表中，$ a= $
0.2
，$ b= $7
。(2)扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是
72
°。(3)请估算该校600名九年级学生中睡眠不足7h的人数。
(4)研究表明，初中生每天睡眠时长低于7h，会严重影响学习效率。请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议。
答案
9.(1)0.2 7
(2)72
(3)解:0.08+0.16=0.24，
600×0.24=144(名)，
∴该校600名九年级学生中睡眠不足7 h的约有144名。
(4)解:建议学校尽量让学生在学校完成作业,课后适当布置作业。(言之有理即可)
(2)72
(3)解:0.08+0.16=0.24，
600×0.24=144(名)，
∴该校600名九年级学生中睡眠不足7 h的约有144名。
(4)解:建议学校尽量让学生在学校完成作业,课后适当布置作业。(言之有理即可)
解析
【分析】
解答本题的核心是熟练掌握统计中频数、频率、总人数的关系，以及扇形统计图圆心角的计算方法、用样本估计总体的思想。解题步骤思路如下：第一步，先根据已知组的频数和对应频率计算出本次抽样调查的总人数；第二步，利用总人数结合“频率=频数÷总人数”的公式分别求出a、b的值；第三步，计算C组扇形圆心角时，用C组的频率乘以360°即可；第四步，估算睡眠不足7h的人数时，先求出样本中睡眠不足7h的频率之和，再乘以该校九年级总人数即可；第五步，结合调查反映的睡眠不足问题提出合理建议即可。
【解析】
首先计算抽样调查的总人数：由统计图表可知，A组频数为4，对应频率为0.08，因此总人数=4÷0.08=50（人）。
(1) 若a对应组的频数为10，则a=10÷50=0.2；b对应组的频率为0.14，因此b=50×0.14=7。
(2) C组的频率为0.2，因此C组所在扇形的圆心角度数=360°×0.2=72°。
(3) 睡眠不足7h的学生对应睡眠时间t＜7的组别，即A组和B组，两组的频率之和为0.08+0.16=0.24，因此该校600名九年级学生中睡眠不足7h的人数约为600×0.24=144（名）。
(4) 结合调查结果可围绕保障学生睡眠时间提出合理建议即可。
【答案】
(1)0.2；7
(2)72
(3)144名
(4)建议学校尽量让学生在学校完成作业，课后适当布置作业（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
频数与频率；扇形统计图；用样本估计总体
【点评】
本题属于统计基础应用题，结合学生睡眠的实际场景设置问题，主要考查学生对统计基础公式的掌握和应用能力，以及结合统计结果分析解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
解答本题的核心是熟练掌握统计中频数、频率、总人数的关系，以及扇形统计图圆心角的计算方法、用样本估计总体的思想。解题步骤思路如下：第一步，先根据已知组的频数和对应频率计算出本次抽样调查的总人数；第二步，利用总人数结合“频率=频数÷总人数”的公式分别求出a、b的值；第三步，计算C组扇形圆心角时，用C组的频率乘以360°即可；第四步，估算睡眠不足7h的人数时，先求出样本中睡眠不足7h的频率之和，再乘以该校九年级总人数即可；第五步，结合调查反映的睡眠不足问题提出合理建议即可。
【解析】
首先计算抽样调查的总人数：由统计图表可知，A组频数为4，对应频率为0.08，因此总人数=4÷0.08=50（人）。
(1) 若a对应组的频数为10，则a=10÷50=0.2；b对应组的频率为0.14，因此b=50×0.14=7。
(2) C组的频率为0.2，因此C组所在扇形的圆心角度数=360°×0.2=72°。
(3) 睡眠不足7h的学生对应睡眠时间t＜7的组别，即A组和B组，两组的频率之和为0.08+0.16=0.24，因此该校600名九年级学生中睡眠不足7h的人数约为600×0.24=144（名）。
(4) 结合调查结果可围绕保障学生睡眠时间提出合理建议即可。
【答案】
(1)0.2；7
(2)72
(3)144名
(4)建议学校尽量让学生在学校完成作业，课后适当布置作业（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
频数与频率；扇形统计图；用样本估计总体
【点评】
本题属于统计基础应用题，结合学生睡眠的实际场景设置问题，主要考查学生对统计基础公式的掌握和应用能力，以及结合统计结果分析解决实际问题的意识。
【难度系数】
0.7
10.小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC，如图所示。为了求其面积，小明在封闭的图形中找出了一个半径为1 m的圆，在不远处向圆内掷石子，且记录如下表：
你能否求出封闭图形ABC的面积？试试看。
你能否求出封闭图形ABC的面积？试试看。
答案
10.解:由记录得$\frac{m}{n}≈\frac{1}{2}$，
∴$P(石子落在圆内)=\frac{m}{m+n}=\frac{1}{3}$。
又$P(石子落在圆内)=\frac{圆的面积}{圆的面积+阴影的面积}$，
∴$\frac{S_{圆}}{S_{封闭图形ABC}}=\frac{1}{3}$。
∵$S_{圆}=π×1^2=π(m^2)$，
∴$S_{封闭图形ABC}=3π m^2$。
∴$P(石子落在圆内)=\frac{m}{m+n}=\frac{1}{3}$。
又$P(石子落在圆内)=\frac{圆的面积}{圆的面积+阴影的面积}$，
∴$\frac{S_{圆}}{S_{封闭图形ABC}}=\frac{1}{3}$。
∵$S_{圆}=π×1^2=π(m^2)$，
∴$S_{封闭图形ABC}=3π m^2$。
解析
【分析】
本题是利用频率估计概率求解不规则图形面积的问题，解题思路如下：首先，根据大量重复试验中频率的稳定值可估计事件发生的概率，先通过试验记录得到石子落在圆内的概率的估计值；其次，明确几何概率的计算规则：随机事件发生的概率等于该事件对应的区域面积与总区域面积的比值，本题中石子落在圆内的概率就等于圆的面积与封闭图形ABC的面积的比值；最后，先计算出已知半径的圆的面积，结合上述概率关系列等式，即可求出封闭图形ABC的面积。
【解析】
由多次试验的记录可知，石子落在圆内的次数m与落在封闭图形内圆外区域的次数n的比值稳定在$\frac{1}{2}$左右，因此可估计石子落在圆内的概率为：
$P(石子落在圆内)=\frac{m}{m+n}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$
根据几何概率的意义，$P(石子落在圆内)=\frac{圆的面积}{封闭图形ABC的面积}$。
已知圆的半径为1m，因此圆的面积为：
$S_{圆}=π×1^2=π\ \mathrm{m}^2$
将$S_{圆}=π$、$P(石子落在圆内)=\frac{1}{3}$代入上述概率公式可得：
$\frac{π}{S_{封闭图形ABC}}=\frac{1}{3}$
解得$S_{封闭图形ABC}=3π\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
$3π\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
用频率估计概率，几何概率计算，圆的面积计算
【点评】
本题结合实际操作场景，考查了概率的实际应用，解题的核心是理解大量重复试验下频率可估计概率，以及几何概率中概率与区域面积的对应关系，能够帮助同学们掌握用概率方法求解不规则图形面积的思路。
【难度系数】
0.7
本题是利用频率估计概率求解不规则图形面积的问题，解题思路如下：首先，根据大量重复试验中频率的稳定值可估计事件发生的概率，先通过试验记录得到石子落在圆内的概率的估计值；其次，明确几何概率的计算规则：随机事件发生的概率等于该事件对应的区域面积与总区域面积的比值，本题中石子落在圆内的概率就等于圆的面积与封闭图形ABC的面积的比值；最后，先计算出已知半径的圆的面积，结合上述概率关系列等式，即可求出封闭图形ABC的面积。
【解析】
由多次试验的记录可知，石子落在圆内的次数m与落在封闭图形内圆外区域的次数n的比值稳定在$\frac{1}{2}$左右，因此可估计石子落在圆内的概率为：
$P(石子落在圆内)=\frac{m}{m+n}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$
根据几何概率的意义，$P(石子落在圆内)=\frac{圆的面积}{封闭图形ABC的面积}$。
已知圆的半径为1m，因此圆的面积为：
$S_{圆}=π×1^2=π\ \mathrm{m}^2$
将$S_{圆}=π$、$P(石子落在圆内)=\frac{1}{3}$代入上述概率公式可得：
$\frac{π}{S_{封闭图形ABC}}=\frac{1}{3}$
解得$S_{封闭图形ABC}=3π\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
$3π\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
用频率估计概率，几何概率计算，圆的面积计算
【点评】
本题结合实际操作场景，考查了概率的实际应用，解题的核心是理解大量重复试验下频率可估计概率，以及几何概率中概率与区域面积的对应关系，能够帮助同学们掌握用概率方法求解不规则图形面积的思路。
【难度系数】
0.7
