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1.下列结论正确的是()
A.相等的圆周角所对的弦相等
B.相等的弧所对的弦相等
C.相等的弦所对的弧相等
D.相等的圆心角所对的弧相等
A.相等的圆周角所对的弦相等
B.相等的弧所对的弦相等
C.相等的弦所对的弧相等
D.相等的圆心角所对的弧相等
答案
B
解析
【分析】
本题考查圆中圆心角、弧、弦、圆周角的对应关系，解题核心是明确：除“等弧”本身自带同圆或等圆的属性外，其余“相等的角/弦对应相等”的结论都必须满足“在同圆或等圆中”的前提，我们可通过逐一验证选项是否符合前提、结论是否成立来解题。
【解析】
我们对四个选项逐一判断：
A选项：相等的圆周角所对的弦相等，缺少“在同圆或等圆中”的前提，半径不同的圆内，相等的圆周角所对的弦长度不相等，因此该选项错误；
B选项：相等的弧即等弧，定义是能够完全重合的弧，只有同圆或等圆中才存在等弧，因此等弧已经默认了同圆或等圆的前提，相等的弧所对的弦必然相等，该选项正确；
C选项：相等的弦所对的弧相等，一是缺少“在同圆或等圆中”的前提，二是即使在同圆中，一条弦对应优弧、劣弧两条弧，未明确弧的类型时结论不成立，因此该选项错误；
D选项：相等的圆心角所对的弧相等，缺少“在同圆或等圆中”的前提，半径不同的圆内，相同圆心角对应的弧长不相等，因此该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
1.圆心角、弧、弦的关系 2.圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础概念类易错题，解题关键是牢记各类量的对应关系成立的前提，尤其要注意“等弧”本身隐含同圆或等圆的条件，是这类题的高频设错点。
【难度系数】
0.6
本题考查圆中圆心角、弧、弦、圆周角的对应关系，解题核心是明确：除“等弧”本身自带同圆或等圆的属性外，其余“相等的角/弦对应相等”的结论都必须满足“在同圆或等圆中”的前提，我们可通过逐一验证选项是否符合前提、结论是否成立来解题。
【解析】
我们对四个选项逐一判断：
A选项：相等的圆周角所对的弦相等，缺少“在同圆或等圆中”的前提，半径不同的圆内，相等的圆周角所对的弦长度不相等，因此该选项错误；
B选项：相等的弧即等弧，定义是能够完全重合的弧，只有同圆或等圆中才存在等弧，因此等弧已经默认了同圆或等圆的前提，相等的弧所对的弦必然相等，该选项正确；
C选项：相等的弦所对的弧相等，一是缺少“在同圆或等圆中”的前提，二是即使在同圆中，一条弦对应优弧、劣弧两条弧，未明确弧的类型时结论不成立，因此该选项错误；
D选项：相等的圆心角所对的弧相等，缺少“在同圆或等圆中”的前提，半径不同的圆内，相同圆心角对应的弧长不相等，因此该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
1.圆心角、弧、弦的关系 2.圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础概念类易错题，解题关键是牢记各类量的对应关系成立的前提，尤其要注意“等弧”本身隐含同圆或等圆的条件，是这类题的高频设错点。
【难度系数】
0.6
2.如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CA}$。下列结论不正确的是()
A.$AB=CD$
B.$∠ BOC=∠ BOD$
C.$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$
D.$S_{△ AOB}=S_{△ COD}$
A.$AB=CD$
B.$∠ BOC=∠ BOD$
C.$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$
D.$S_{△ AOB}=S_{△ COD}$
答案
B
解析
【分析】
本题可利用同圆中弧、弦、圆心角的关系解题。首先根据已知$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CA}$，将两条弧同时减去公共部分$\overset{\frown}{AD}$，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，再结合同圆中“等弧对等弦、等弧对等圆心角”的性质，以及全等三角形的相关知识，逐一判断各选项即可。
【解析】
已知在$\odot O$中，$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CA}$，
1. 推导弧的关系：$\overset{\frown}{BD}-\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CA}-\overset{\frown}{AD}$，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，故C选项结论正确，不符合题意；
2. 推导弦的关系：根据同圆中等弧对等弦，可得$AB=CD$，故A选项结论正确，不符合题意；
3. 推导面积关系：根据同圆中等弧所对的圆心角相等，可得$∠ AOB=∠ COD$，又OA、OB、OC、OD均为$\odot O$的半径，即$OA=OC$，$OB=OD$，因此$△ AOB≌△ COD$（SAS），则$S_{△ AOB}=S_{△ COD}$，故D选项结论正确，不符合题意；
4. 分析B选项：无已知条件可证明$∠ BOC=∠ BOD$，该结论不成立，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
弧弦圆心角的关系；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于圆性质的基础考查题，解题核心是熟练掌握同圆中弧、弦、圆心角三者的对应关系，做题时注意审题，明确题目要求选择错误的结论，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.8
本题可利用同圆中弧、弦、圆心角的关系解题。首先根据已知$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CA}$，将两条弧同时减去公共部分$\overset{\frown}{AD}$，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，再结合同圆中“等弧对等弦、等弧对等圆心角”的性质，以及全等三角形的相关知识，逐一判断各选项即可。
【解析】
已知在$\odot O$中，$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CA}$，
1. 推导弧的关系：$\overset{\frown}{BD}-\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CA}-\overset{\frown}{AD}$，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，故C选项结论正确，不符合题意；
2. 推导弦的关系：根据同圆中等弧对等弦，可得$AB=CD$，故A选项结论正确，不符合题意；
3. 推导面积关系：根据同圆中等弧所对的圆心角相等，可得$∠ AOB=∠ COD$，又OA、OB、OC、OD均为$\odot O$的半径，即$OA=OC$，$OB=OD$，因此$△ AOB≌△ COD$（SAS），则$S_{△ AOB}=S_{△ COD}$，故D选项结论正确，不符合题意；
4. 分析B选项：无已知条件可证明$∠ BOC=∠ BOD$，该结论不成立，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
弧弦圆心角的关系；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于圆性质的基础考查题，解题核心是熟练掌握同圆中弧、弦、圆心角三者的对应关系，做题时注意审题，明确题目要求选择错误的结论，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.8
3.如图，AB是$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$。若$∠ BEO=52.5°$，则$∠ AOC$的度数为。
答案
$\boldsymbol{35}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先，同圆的半径相等，可得OE=OB，△OBE是等腰三角形，结合已知∠BEO=52.5°，利用等腰三角形性质和三角形内角和可算出∠BOE的度数；其次，AB是直径，平角为180°，可求出∠AOE的度数；最后，根据等弧所对的圆心角相等，可知∠AOC、∠COD、∠DOE相等，将∠AOE三等分即可得到∠AOC的度数。
【解析】
解：
∵ OE、OB都是$\odot O$的半径
∴ $OE=OB$，$△ OBE$为等腰三角形
∴ $∠ OBE=∠ BEO=52.5°$
由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BOE=180° - ∠ OBE - ∠ BEO=180° - 52.5° × 2=75°$
∵ AB是$\odot O$的直径，$∠ AOB=180°$
∴ $∠ AOE=∠ AOB - ∠ BOE=180° - 75°=105°$
又
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，等弧所对的圆心角相等
∴ $∠ AOC=∠ COD=∠ DOE$
∴ $∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOE=\frac{1}{3}×105°=35°$
【答案】
$\boldsymbol{35}$
【知识点】
等腰三角形性质，弧与圆心角关系，三角形内角和
【点评】
本题是圆的基础计算题，解题关键是熟练掌握圆的基本性质和等腰三角形的性质，通过等弧对等角的关系将未知角转化为已知角求解，计算过程较为简单。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先，同圆的半径相等，可得OE=OB，△OBE是等腰三角形，结合已知∠BEO=52.5°，利用等腰三角形性质和三角形内角和可算出∠BOE的度数；其次，AB是直径，平角为180°，可求出∠AOE的度数；最后，根据等弧所对的圆心角相等，可知∠AOC、∠COD、∠DOE相等，将∠AOE三等分即可得到∠AOC的度数。
【解析】
解：
∵ OE、OB都是$\odot O$的半径
∴ $OE=OB$，$△ OBE$为等腰三角形
∴ $∠ OBE=∠ BEO=52.5°$
由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BOE=180° - ∠ OBE - ∠ BEO=180° - 52.5° × 2=75°$
∵ AB是$\odot O$的直径，$∠ AOB=180°$
∴ $∠ AOE=∠ AOB - ∠ BOE=180° - 75°=105°$
又
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，等弧所对的圆心角相等
∴ $∠ AOC=∠ COD=∠ DOE$
∴ $∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOE=\frac{1}{3}×105°=35°$
【答案】
$\boldsymbol{35}$
【知识点】
等腰三角形性质，弧与圆心角关系，三角形内角和
【点评】
本题是圆的基础计算题，解题关键是熟练掌握圆的基本性质和等腰三角形的性质，通过等弧对等角的关系将未知角转化为已知角求解，计算过程较为简单。
【难度系数】
0.7
4.如图，AB是$\odot O$的直径，点D，C在$\odot O$上。若$∠ DOC=90°$，$AD=\sqrt{2}$，$BC=1$，则$\odot O$的半径为。
答案
解：设$\odot O$的半径为$r$，
$\because OA=OD=OC=OB=r$，$∠ DOC=90°$，且$∠ AOD+∠ DOC+∠ COB=180°$，
$\therefore ∠ AOD+∠ COB=90°$。
过点$O$作$OE⊥ AD$于$E$，
$\because OA=OD$，$OE⊥ AD$，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AD=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOD$，
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，$\sin∠ AOE=\frac{AE}{OA}=\frac{\sqrt{2}}{2r}$，即$\sin\frac{∠ AOD}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2r}$。
过点$O$作$OF⊥ BC$于$F$，
$\because OB=OC$，$OF⊥ BC$，
$\therefore BF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}$，$∠ BOF=\frac{1}{2}∠ COB$，
在$\mathrm{Rt}△ BOF$中，$\sin∠ BOF=\frac{BF}{OB}=\frac{1}{2r}$，即$\sin\frac{∠ COB}{2}=\frac{1}{2r}$。
令$β=\frac{∠ AOD}{2}$，则$\frac{∠ COB}{2}=45°-β$，
$\therefore \sinβ=\frac{\sqrt{2}}{2r}$，$\sin(45°-β)=\frac{1}{2r}$。
由三角函数差角公式展开：
$\sin(45°-β)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cosβ-\sinβ)=\frac{1}{2r}$，
将$\sinβ=\frac{\sqrt{2}}{2r}$代入上式，整理得$\cosβ=\frac{\sqrt{2}}{r}$。
由$\sin^2β+\cos^2β=1$，得：
$(\frac{\sqrt{2}}{2r})^2+(\frac{\sqrt{2}}{r})^2=1$
化简得$\frac{1}{2r^2}+\frac{2}{r^2}=1$，即$2r^2=5$，
$\because r＞0$，$\therefore r=\frac{\sqrt{10}}{2}$。
$\odot O$的半径为$\boldsymbol{\frac{\sqrt{10}}{2}}$。
$\because OA=OD=OC=OB=r$，$∠ DOC=90°$，且$∠ AOD+∠ DOC+∠ COB=180°$，
$\therefore ∠ AOD+∠ COB=90°$。
过点$O$作$OE⊥ AD$于$E$，
$\because OA=OD$，$OE⊥ AD$，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AD=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOD$，
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，$\sin∠ AOE=\frac{AE}{OA}=\frac{\sqrt{2}}{2r}$，即$\sin\frac{∠ AOD}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2r}$。
过点$O$作$OF⊥ BC$于$F$，
$\because OB=OC$，$OF⊥ BC$，
$\therefore BF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}$，$∠ BOF=\frac{1}{2}∠ COB$，
在$\mathrm{Rt}△ BOF$中，$\sin∠ BOF=\frac{BF}{OB}=\frac{1}{2r}$，即$\sin\frac{∠ COB}{2}=\frac{1}{2r}$。
令$β=\frac{∠ AOD}{2}$，则$\frac{∠ COB}{2}=45°-β$，
$\therefore \sinβ=\frac{\sqrt{2}}{2r}$，$\sin(45°-β)=\frac{1}{2r}$。
由三角函数差角公式展开：
$\sin(45°-β)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cosβ-\sinβ)=\frac{1}{2r}$，
将$\sinβ=\frac{\sqrt{2}}{2r}$代入上式，整理得$\cosβ=\frac{\sqrt{2}}{r}$。
由$\sin^2β+\cos^2β=1$，得：
$(\frac{\sqrt{2}}{2r})^2+(\frac{\sqrt{2}}{r})^2=1$
化简得$\frac{1}{2r^2}+\frac{2}{r^2}=1$，即$2r^2=5$，
$\because r＞0$，$\therefore r=\frac{\sqrt{10}}{2}$。
$\odot O$的半径为$\boldsymbol{\frac{\sqrt{10}}{2}}$。
解析
【分析】
要计算$\odot O$的半径，我们可以先设半径为$r$，利用圆的基本性质可知同圆的所有半径长度都为$r$。首先由平角的定义，结合$∠ DOC=90°$，可推出$∠ AOD+∠ COB=90°$。因为$△ AOD$和$△ BOC$都是等腰三角形，我们可以分别过圆心作两条弦的垂线，利用等腰三角形三线合一的性质，得到半弦长和半圆心角，再结合角的数量关系和三角函数公式列出关于$r$的方程，求解即可得到半径。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OD=OC=OB=r$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$∠ DOC=90°$，且$∠ AOD+∠ DOC+∠ COB=180°$，
$\therefore ∠ AOD+∠ COB=90°$。
过点$O$作$OE⊥ AD$于$E$，
$\because OA=OD$，$OE⊥ AD$，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AD=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOD$。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，$\sin∠ AOE=\frac{AE}{OA}=\frac{\sqrt{2}}{2r}$，即$\sin\frac{∠ AOD}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2r}$。
过点$O$作$OF⊥ BC$于$F$，
$\because OB=OC$，$OF⊥ BC$，
$\therefore BF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}$，$∠ BOF=\frac{1}{2}∠ COB$。
在$\mathrm{Rt}△ BOF$中，$\sin∠ BOF=\frac{BF}{OB}=\frac{1}{2r}$，即$\sin\frac{∠ COB}{2}=\frac{1}{2r}$。
令$β=\frac{∠ AOD}{2}$，则$\frac{∠ COB}{2}=45°-β$，
$\therefore \sinβ=\frac{\sqrt{2}}{2r}$，$\sin(45°-β)=\frac{1}{2r}$。
由正弦差角公式展开得：
$\sin(45°-β)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cosβ-\sinβ)=\frac{1}{2r}$，
将$\sinβ=\frac{\sqrt{2}}{2r}$代入上式，整理得$\cosβ=\frac{\sqrt{2}}{r}$。
根据同角三角函数的平方关系$\sin^2β+\cos^2β=1$，代入得：
$(\frac{\sqrt{2}}{2r})^2+(\frac{\sqrt{2}}{r})^2=1$
化简得$\frac{1}{2r^2}+\frac{2}{r^2}=1$，即$2r^2=5$，
$\because r＞0$，$\therefore r=\frac{\sqrt{10}}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{10}}{2}}$
【知识点】
1. 圆的基本性质
2. 等腰三角形三线合一
3. 三角函数计算
【点评】
本题综合考查了圆的性质、等腰三角形性质与三角函数的综合应用，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形，找到角之间的数量关系，再结合三角函数公式建立方程求解，对几何分析和代数运算能力都有一定要求。
【难度系数】
0.3
要计算$\odot O$的半径，我们可以先设半径为$r$，利用圆的基本性质可知同圆的所有半径长度都为$r$。首先由平角的定义，结合$∠ DOC=90°$，可推出$∠ AOD+∠ COB=90°$。因为$△ AOD$和$△ BOC$都是等腰三角形，我们可以分别过圆心作两条弦的垂线，利用等腰三角形三线合一的性质，得到半弦长和半圆心角，再结合角的数量关系和三角函数公式列出关于$r$的方程，求解即可得到半径。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OD=OC=OB=r$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$∠ DOC=90°$，且$∠ AOD+∠ DOC+∠ COB=180°$，
$\therefore ∠ AOD+∠ COB=90°$。
过点$O$作$OE⊥ AD$于$E$，
$\because OA=OD$，$OE⊥ AD$，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AD=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOD$。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，$\sin∠ AOE=\frac{AE}{OA}=\frac{\sqrt{2}}{2r}$，即$\sin\frac{∠ AOD}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2r}$。
过点$O$作$OF⊥ BC$于$F$，
$\because OB=OC$，$OF⊥ BC$，
$\therefore BF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}$，$∠ BOF=\frac{1}{2}∠ COB$。
在$\mathrm{Rt}△ BOF$中，$\sin∠ BOF=\frac{BF}{OB}=\frac{1}{2r}$，即$\sin\frac{∠ COB}{2}=\frac{1}{2r}$。
令$β=\frac{∠ AOD}{2}$，则$\frac{∠ COB}{2}=45°-β$，
$\therefore \sinβ=\frac{\sqrt{2}}{2r}$，$\sin(45°-β)=\frac{1}{2r}$。
由正弦差角公式展开得：
$\sin(45°-β)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cosβ-\sinβ)=\frac{1}{2r}$，
将$\sinβ=\frac{\sqrt{2}}{2r}$代入上式，整理得$\cosβ=\frac{\sqrt{2}}{r}$。
根据同角三角函数的平方关系$\sin^2β+\cos^2β=1$，代入得：
$(\frac{\sqrt{2}}{2r})^2+(\frac{\sqrt{2}}{r})^2=1$
化简得$\frac{1}{2r^2}+\frac{2}{r^2}=1$，即$2r^2=5$，
$\because r＞0$，$\therefore r=\frac{\sqrt{10}}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{\sqrt{10}}{2}}$
【知识点】
1. 圆的基本性质
2. 等腰三角形三线合一
3. 三角函数计算
【点评】
本题综合考查了圆的性质、等腰三角形性质与三角函数的综合应用，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形，找到角之间的数量关系，再结合三角函数公式建立方程求解，对几何分析和代数运算能力都有一定要求。
【难度系数】
0.3
5. 提升题 在$\odot O$中，若$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，则弦AB和2CD的大小关系是。
答案
$\boldsymbol{AB＜2CD}$
解析
【分析】
要判断弦AB和2CD的大小关系，不能直接由弧的2倍关系推导弦也为2倍关系。我们可以通过构造等弧，将2倍的弧CD转化为一段和弧AB相等的弧，得到对应的等弦，再结合三角形三边关系比较大小。具体思路：首先在圆上截取一段和弧CD相等的弧，得到2倍弧CD对应的弦，再将该弦与两条CD弦放入同一个三角形中，利用三边关系推导大小。
【解析】
在$\odot O$上截取$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CD}$，则：
$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DE}=2\overset{\frown}{CD}$
已知$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，因此$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{AB}$。
根据同圆中相等的弧对应的弦相等，可得$CE=AB$。
在$△ CDE$中，由三角形三边关系“两边之和大于第三边”得：
$CD+DE＞CE$
又因为$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CD}$，所以$DE=CD$，代入上式得：
$CD+CD＞CE$，即$2CD＞CE$
结合$CE=AB$，可得$AB＜2CD$。
【答案】
$\boldsymbol{AB＜2CD}$
【知识点】
弧与弦的关系、三角形三边关系
【点评】
本题易错误认为弧的倍数关系等价于弦的倍数关系，通过构造等弧将分散的条件整合到三角形中，利用三角形三边关系即可得到正确结论，解题时要注意圆中弧、弦关系的适用条件。
【难度系数】
0.6
要判断弦AB和2CD的大小关系，不能直接由弧的2倍关系推导弦也为2倍关系。我们可以通过构造等弧，将2倍的弧CD转化为一段和弧AB相等的弧，得到对应的等弦，再结合三角形三边关系比较大小。具体思路：首先在圆上截取一段和弧CD相等的弧，得到2倍弧CD对应的弦，再将该弦与两条CD弦放入同一个三角形中，利用三边关系推导大小。
【解析】
在$\odot O$上截取$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CD}$，则：
$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DE}=2\overset{\frown}{CD}$
已知$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，因此$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{AB}$。
根据同圆中相等的弧对应的弦相等，可得$CE=AB$。
在$△ CDE$中，由三角形三边关系“两边之和大于第三边”得：
$CD+DE＞CE$
又因为$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{CD}$，所以$DE=CD$，代入上式得：
$CD+CD＞CE$，即$2CD＞CE$
结合$CE=AB$，可得$AB＜2CD$。
【答案】
$\boldsymbol{AB＜2CD}$
【知识点】
弧与弦的关系、三角形三边关系
【点评】
本题易错误认为弧的倍数关系等价于弦的倍数关系，通过构造等弧将分散的条件整合到三角形中，利用三角形三边关系即可得到正确结论，解题时要注意圆中弧、弦关系的适用条件。
【难度系数】
0.6
6.如图，在$\odot O$中，$CD⊥ OA$于点$D$，$CE⊥ OB$于点$E$，且$OD=OE$。求证：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。
答案
证明：连接OC。
∵ $CD⊥OA$，$CE⊥OB$，
∴ $∠ CDO = ∠ CEO = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CDO$和$\mathrm{Rt}△ CEO$中，
$\begin{cases}OD = OE \\OC = OC\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ CDO ≌ \mathrm{Rt}△ CEO$（HL）。
∴ $∠ AOC = ∠ BOC$。
∵ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。
∵ $CD⊥OA$，$CE⊥OB$，
∴ $∠ CDO = ∠ CEO = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CDO$和$\mathrm{Rt}△ CEO$中，
$\begin{cases}OD = OE \\OC = OC\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ CDO ≌ \mathrm{Rt}△ CEO$（HL）。
∴ $∠ AOC = ∠ BOC$。
∵ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。
解析
【分析】
要证明同圆中两条弧相等，根据圆的基本性质，只需证明两条弧所对应的圆心角相等，即证∠AOC=∠BOC。结合已知条件：CD⊥OA、CE⊥OB，可得△CDO和△CEO都是直角三角形，又已知OD=OE，且两个三角形有公共斜边OC，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，得到对应角相等，进而推出弧相等。
【解析】
证明：连接OC。
∵ $CD⊥OA$，$CE⊥OB$，
∴ $∠ CDO = ∠ CEO = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CDO$和$\mathrm{Rt}△ CEO$中，
$\begin{cases}OD = OE \\OC = OC\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ CDO ≌ \mathrm{Rt}△ CEO$（HL）。
∴ $∠ AOC = ∠ BOC$。
∵ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。
【答案】
证明：连接OC。
∵ $CD⊥OA$，$CE⊥OB$，
∴ $∠ CDO = ∠ CEO = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CDO$和$\mathrm{Rt}△ CEO$中，
$\begin{cases}OD = OE \\OC = OC\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ CDO ≌ \mathrm{Rt}△ CEO$（HL）。
∴ $∠ AOC = ∠ BOC$。
∵ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。
【知识点】
1. 直角三角形全等判定
2. 圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于圆章节的基础证明题，解题核心是通过连接半径构造全等三角形，将弧相等的证明转化为圆心角相等的证明，考察的都是基础知识点，需熟练掌握该类转化思路和辅助线作法。
【难度系数】
0.8
要证明同圆中两条弧相等，根据圆的基本性质，只需证明两条弧所对应的圆心角相等，即证∠AOC=∠BOC。结合已知条件：CD⊥OA、CE⊥OB，可得△CDO和△CEO都是直角三角形，又已知OD=OE，且两个三角形有公共斜边OC，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，得到对应角相等，进而推出弧相等。
【解析】
证明：连接OC。
∵ $CD⊥OA$，$CE⊥OB$，
∴ $∠ CDO = ∠ CEO = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CDO$和$\mathrm{Rt}△ CEO$中，
$\begin{cases}OD = OE \\OC = OC\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ CDO ≌ \mathrm{Rt}△ CEO$（HL）。
∴ $∠ AOC = ∠ BOC$。
∵ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。
【答案】
证明：连接OC。
∵ $CD⊥OA$，$CE⊥OB$，
∴ $∠ CDO = ∠ CEO = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CDO$和$\mathrm{Rt}△ CEO$中，
$\begin{cases}OD = OE \\OC = OC\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ CDO ≌ \mathrm{Rt}△ CEO$（HL）。
∴ $∠ AOC = ∠ BOC$。
∵ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。
【知识点】
1. 直角三角形全等判定
2. 圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于圆章节的基础证明题，解题核心是通过连接半径构造全等三角形，将弧相等的证明转化为圆心角相等的证明，考察的都是基础知识点，需熟练掌握该类转化思路和辅助线作法。
【难度系数】
0.8
7. 如图，O为等腰三角形ABC的底边AB的中点，以AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E。
(1) 求证：$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}$。
(2) 求证：$CD=CE$。
(1) 求证：$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}$。
(2) 求证：$CD=CE$。
答案
证明：(1) ∵ △ABC为等腰三角形，AB是底边，
∴ AC=BC，∠A=∠B。
∵ OA、OD、OE、OB都是半圆O的半径，
∴ OA=OD，OB=OE，
∴ ∠ODA=∠A，∠OEB=∠B，
∴ ∠AOD = 180° - ∠A - ∠ODA = 180° - 2∠A，
∠BOE = 180° - ∠B - ∠OEB = 180° - 2∠B，
∴ ∠AOD = ∠BOE，
∴ 相等的圆心角所对的弧相等，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}$。
(2) ∵ 在同圆中，等弧所对的弦相等，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}$，
∴ AD=BE。
又∵ AC=BC，
∴ AC - AD = BC - BE，
即 CD=CE。
∴ AC=BC，∠A=∠B。
∵ OA、OD、OE、OB都是半圆O的半径，
∴ OA=OD，OB=OE，
∴ ∠ODA=∠A，∠OEB=∠B，
∴ ∠AOD = 180° - ∠A - ∠ODA = 180° - 2∠A，
∠BOE = 180° - ∠B - ∠OEB = 180° - 2∠B，
∴ ∠AOD = ∠BOE，
∴ 相等的圆心角所对的弧相等，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}$。
(2) ∵ 在同圆中，等弧所对的弦相等，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}$，
∴ AD=BE。
又∵ AC=BC，
∴ AC - AD = BC - BE，
即 CD=CE。
解析
【分析】
(1) 要证弧相等，依据同圆中相等的圆心角对应相等的弧的性质，只需证明$\overset{\frown}{AD}$、$\overset{\frown}{BE}$所对的圆心角∠AOD和∠BOE相等即可。先利用等腰三角形ABC的性质得∠A=∠B，再结合半径相等推出△OAD、△OBE均为等腰三角形，最终推导得到两个圆心角相等，即可证得弧相等。
(2) 要证CD=CE，已知等腰三角形ABC中AC=BC，只需证AD=BE即可。结合(1)的结论，利用同圆中等弧对等弦的性质得AD=BE，通过线段作差即可推出CD=CE。
【解析】
(1)
∵ △ABC为等腰三角形，AB是底边，
∴ AC=BC，∠A=∠B。
∵ OA、OD、OE、OB都是半圆O的半径，
∴ OA=OD，OB=OE，
∴ ∠ODA=∠A，∠OEB=∠B，
∴ ∠AOD = 180° - ∠A - ∠ODA = 180° - 2∠A，
∠BOE = 180° - ∠B - ∠OEB = 180° - 2∠B，
∴ ∠AOD = ∠BOE，
∴ 相等的圆心角所对的弧相等，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}$。
(2)
∵ 在同圆中，等弧所对的弦相等，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}$，
∴ AD=BE。
又
∵ AC=BC，
∴ AC - AD = BC - BE，
即 CD=CE。
【答案】
(1) $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}$；(2) $CD=CE$
【知识点】
等腰三角形性质、圆心角与弧的关系、弧弦关系
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考查等腰三角形和圆的基础性质，解题核心是熟练掌握同圆中圆心角、弧、弦三者的等量转化规律，能有效锻炼学生的几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证弧相等，依据同圆中相等的圆心角对应相等的弧的性质，只需证明$\overset{\frown}{AD}$、$\overset{\frown}{BE}$所对的圆心角∠AOD和∠BOE相等即可。先利用等腰三角形ABC的性质得∠A=∠B，再结合半径相等推出△OAD、△OBE均为等腰三角形，最终推导得到两个圆心角相等，即可证得弧相等。
(2) 要证CD=CE，已知等腰三角形ABC中AC=BC，只需证AD=BE即可。结合(1)的结论，利用同圆中等弧对等弦的性质得AD=BE，通过线段作差即可推出CD=CE。
【解析】
(1)
∵ △ABC为等腰三角形，AB是底边，
∴ AC=BC，∠A=∠B。
∵ OA、OD、OE、OB都是半圆O的半径，
∴ OA=OD，OB=OE，
∴ ∠ODA=∠A，∠OEB=∠B，
∴ ∠AOD = 180° - ∠A - ∠ODA = 180° - 2∠A，
∠BOE = 180° - ∠B - ∠OEB = 180° - 2∠B，
∴ ∠AOD = ∠BOE，
∴ 相等的圆心角所对的弧相等，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}$。
(2)
∵ 在同圆中，等弧所对的弦相等，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}$，
∴ AD=BE。
又
∵ AC=BC，
∴ AC - AD = BC - BE，
即 CD=CE。
【答案】
(1) $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BE}$；(2) $CD=CE$
【知识点】
等腰三角形性质、圆心角与弧的关系、弧弦关系
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考查等腰三角形和圆的基础性质，解题核心是熟练掌握同圆中圆心角、弧、弦三者的等量转化规律，能有效锻炼学生的几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
