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将两数和(差)的平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$适当地变形可以解决很多数学问题.
例如:若$a+b=3,ab=1$,求$a^2+b^2$的值.
解:∵ $a+b=3$,
∴ $(a+b)^2=9$,即$a^2+2ab+b^2=9$.
又∵ $ab=1$,
∴ $a^2+b^2=7$.
根据上面的解题思路与方法,解决下列问题:
(1)若$x+y=8,x^2+y^2=40$,求$xy$的值.
(2)①若$(4-x)x=5$,则$(4-x)^2+x^2=$
②若$(4-x)(5-x)=8$,则$(4-x)^2+(5-x)^2=$
(3)如图所示,C是线段AB上的一点,分别以AC、BC为边向两边作正方形,设$AB=6$,正方形ACDE与正方形CFGB的面积分别为$S_1$、$S_2$,已知$S_1+S_2=18$,求图中阴影部分的面积.
例如:若$a+b=3,ab=1$,求$a^2+b^2$的值.
解:∵ $a+b=3$,
∴ $(a+b)^2=9$,即$a^2+2ab+b^2=9$.
又∵ $ab=1$,
∴ $a^2+b^2=7$.
根据上面的解题思路与方法,解决下列问题:
(1)若$x+y=8,x^2+y^2=40$,求$xy$的值.
(2)①若$(4-x)x=5$,则$(4-x)^2+x^2=$
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;②若$(4-x)(5-x)=8$,则$(4-x)^2+(5-x)^2=$
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.(3)如图所示,C是线段AB上的一点,分别以AC、BC为边向两边作正方形,设$AB=6$,正方形ACDE与正方形CFGB的面积分别为$S_1$、$S_2$,已知$S_1+S_2=18$,求图中阴影部分的面积.
答案
(1)
∵ $x+y=8$,
∴ $(x+y)^2=64$,
即 $x^2+2xy+y^2=64$.
又
∵ $x^2+y^2=40$,
∴ $2xy=24$.
∴ $xy=12$.
(2)①6 ②17
(3)设 $AC=a,BC=b$,
则 $S_1=a^2,S_2=b^2$.
由 $S_1+S_2=18$,得 $a^2+b^2=18$.
而 $a+b=AB=6,S_{阴影部分}=\dfrac{1}{2}ab$,
∴ $a^2+2ab+b^2=36$.
又
∵ $a^2+b^2=18$,
∴ $2ab=18$.
∴ $S_{阴影部分}=\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{18}{4}=\dfrac{9}{2}$,
即阴影部分的面积为$\dfrac{9}{2}$.
∵ $x+y=8$,
∴ $(x+y)^2=64$,
即 $x^2+2xy+y^2=64$.
又
∵ $x^2+y^2=40$,
∴ $2xy=24$.
∴ $xy=12$.
(2)①6 ②17
(3)设 $AC=a,BC=b$,
则 $S_1=a^2,S_2=b^2$.
由 $S_1+S_2=18$,得 $a^2+b^2=18$.
而 $a+b=AB=6,S_{阴影部分}=\dfrac{1}{2}ab$,
∴ $a^2+2ab+b^2=36$.
又
∵ $a^2+b^2=18$,
∴ $2ab=18$.
∴ $S_{阴影部分}=\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{18}{4}=\dfrac{9}{2}$,
即阴影部分的面积为$\dfrac{9}{2}$.
