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22.下面是小华学习数学的一篇日记,请认真阅读,并解决后面的问题.
2025年12月12日 阴转晴
今天我有一个新发现,通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍,我发现在因式分解中有一类形如二次三项式$x^2+(p+q)x+pq$的分解因式的方法叫“十字相乘法”,因式分解二次三项式的公式为$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$.例如:将二次三项式$x^2+7x+10$因式分解,这个式子的二次项系数是1,常数项$10=2×5$,一次项系数$7=2+5$,则$x^2+7x+10=(x+2)(x+5)$,如图所示.
(1)分解因式:$x^2 -8x +15$.
(2)若二次三项式$x^2 +ax -8$可以分解成两个一次因式乘积的形式,求整数$a$的所有可能的值.
2025年12月12日 阴转晴
今天我有一个新发现,通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍,我发现在因式分解中有一类形如二次三项式$x^2+(p+q)x+pq$的分解因式的方法叫“十字相乘法”,因式分解二次三项式的公式为$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$.例如:将二次三项式$x^2+7x+10$因式分解,这个式子的二次项系数是1,常数项$10=2×5$,一次项系数$7=2+5$,则$x^2+7x+10=(x+2)(x+5)$,如图所示.
(1)分解因式:$x^2 -8x +15$.
(2)若二次三项式$x^2 +ax -8$可以分解成两个一次因式乘积的形式,求整数$a$的所有可能的值.
答案
22.(1)一次系数为$(-3)+(-5)=-8$,则常数项为$(-3)×(-5)=15$,
则 $x^2-8x+15=(x-3)(x-5)$.
(2)若 $x^2+ax-8$ 可分解为两个一次因式的积,则整数 $a$ 的所有可能的值是
$-8+1=-7$;$-1+8=7$;$-2+4=2$;$-4+2=-2$,
即整数 $a$ 的所有可能的值是$\pm7,\pm2$.
则 $x^2-8x+15=(x-3)(x-5)$.
(2)若 $x^2+ax-8$ 可分解为两个一次因式的积,则整数 $a$ 的所有可能的值是
$-8+1=-7$;$-1+8=7$;$-2+4=2$;$-4+2=-2$,
即整数 $a$ 的所有可能的值是$\pm7,\pm2$.
解析
【分析】
本题考查十字相乘法分解因式，解题核心是掌握十字相乘法的原理：对于二次三项式$x^2+bx+c$，若能找到两个整数$p、q$，使得$pq=c$且$p+q=b$，则$x^2+bx+c=(x+p)(x+q)$。
(1) 针对$x^2-8x+15$，我们需要找到两个数，乘积为15，和为-8，即可完成因式分解；
(2) 针对$x^2+ax-8$，先将常数项-8拆分为两个整数乘积的所有可能情况，再分别计算每组整数的和，即可得到$a$的所有可能整数值，注意要分类讨论，避免漏解。
【解析】
(1) 观察二次三项式$x^2-8x+15$：
二次项系数为1，常数项$15=(-3)×(-5)$，一次项系数$-8=(-3)+(-5)$，符合十字相乘法的分解条件，因此：
$x^2-8x+15=(x-3)(x-5)$
(2) 要将$x^2+ax-8$分解为两个一次因式的乘积，需先找出所有乘积为-8的整数对：
① $-8=1×(-8)$，此时两数和为$1+(-8)=-7$，即$a=-7$；
② $-8=(-1)×8$，此时两数和为$-1+8=7$，即$a=7$；
③ $-8=2×(-4)$，此时两数和为$2+(-4)=-2$，即$a=-2$；
④ $-8=(-2)×4$，此时两数和为$-2+4=2$，即$a=2$；
综上，整数$a$的所有可能值为$\pm7、\pm2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x-3)(x-5)}$
(2) $\boldsymbol{\pm7,\pm2}$
【知识点】
1. 十字相乘法分解因式
2. 有理数乘法运算
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是十字相乘法的基础应用题型，第一题直接套用十字相乘法规则即可求解，第二题需要对常数项的整数拆分情况进行全面分类讨论，避免遗漏正负情况，能有效考查学生对十字相乘法的掌握程度和思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
本题考查十字相乘法分解因式，解题核心是掌握十字相乘法的原理：对于二次三项式$x^2+bx+c$，若能找到两个整数$p、q$，使得$pq=c$且$p+q=b$，则$x^2+bx+c=(x+p)(x+q)$。
(1) 针对$x^2-8x+15$，我们需要找到两个数，乘积为15，和为-8，即可完成因式分解；
(2) 针对$x^2+ax-8$，先将常数项-8拆分为两个整数乘积的所有可能情况，再分别计算每组整数的和，即可得到$a$的所有可能整数值，注意要分类讨论，避免漏解。
【解析】
(1) 观察二次三项式$x^2-8x+15$：
二次项系数为1，常数项$15=(-3)×(-5)$，一次项系数$-8=(-3)+(-5)$，符合十字相乘法的分解条件，因此：
$x^2-8x+15=(x-3)(x-5)$
(2) 要将$x^2+ax-8$分解为两个一次因式的乘积，需先找出所有乘积为-8的整数对：
① $-8=1×(-8)$，此时两数和为$1+(-8)=-7$，即$a=-7$；
② $-8=(-1)×8$，此时两数和为$-1+8=7$，即$a=7$；
③ $-8=2×(-4)$，此时两数和为$2+(-4)=-2$，即$a=-2$；
④ $-8=(-2)×4$，此时两数和为$-2+4=2$，即$a=2$；
综上，整数$a$的所有可能值为$\pm7、\pm2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x-3)(x-5)}$
(2) $\boldsymbol{\pm7,\pm2}$
【知识点】
1. 十字相乘法分解因式
2. 有理数乘法运算
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是十字相乘法的基础应用题型，第一题直接套用十字相乘法规则即可求解，第二题需要对常数项的整数拆分情况进行全面分类讨论，避免遗漏正负情况，能有效考查学生对十字相乘法的掌握程度和思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
23.阅读下列材料.
常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法等.但有的多项式只用上述方法无法分解，如$x^2 -4y^2 +2x -4y$，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
$\begin{aligned}&x^2 -4y^2 +2x -4y\\=&(x^2 -4y^2)+(2x -4y) ··· ··· 分组\\=&(x -2y)(x +2y)+2(x -2y) ··· ··· 组内分解因式\\=&(x -2y)(x +2y +2) ··· ··· 整体思想提公因式\end{aligned}$
这种分解因式的方法叫作分组分解法，利用这种方法解决下列问题.
(1)分解因式：$9x^2 -9x +3y -y^2$.
(2)已知$△ ABC$的三边长为$a,b,c$，判断$a^2 -c^2 +2ab +b^2$的值的符号.
常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法等.但有的多项式只用上述方法无法分解，如$x^2 -4y^2 +2x -4y$，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
$\begin{aligned}&x^2 -4y^2 +2x -4y\\=&(x^2 -4y^2)+(2x -4y) ··· ··· 分组\\=&(x -2y)(x +2y)+2(x -2y) ··· ··· 组内分解因式\\=&(x -2y)(x +2y +2) ··· ··· 整体思想提公因式\end{aligned}$
这种分解因式的方法叫作分组分解法，利用这种方法解决下列问题.
(1)分解因式：$9x^2 -9x +3y -y^2$.
(2)已知$△ ABC$的三边长为$a,b,c$，判断$a^2 -c^2 +2ab +b^2$的值的符号.
答案
23.(1)$9x^2-9x+3y-y^2$
$=(9x^2-y^2)+(-9x+3y)$
$=(3x+y)(3x-y)-3(3x-y)$
$=(3x-y)(3x+y-3)$.
(2)$a^2-c^2+2ab+b^2=(a^2+2ab+b^2)-c^2$
$=(a+b)^2-c^2=(a+b+c)(a+b-c)$.
又 $a,b,c$ 为三角形的三边,$\therefore a+b+c＞0,a+b-c＞0$.
$\therefore(a+b+c)(a+b-c)＞0$.
故 $a^2-c^2+2ab+b^2$ 的值的符号为$+$.
$=(9x^2-y^2)+(-9x+3y)$
$=(3x+y)(3x-y)-3(3x-y)$
$=(3x-y)(3x+y-3)$.
(2)$a^2-c^2+2ab+b^2=(a^2+2ab+b^2)-c^2$
$=(a+b)^2-c^2=(a+b+c)(a+b-c)$.
又 $a,b,c$ 为三角形的三边,$\therefore a+b+c＞0,a+b-c＞0$.
$\therefore(a+b+c)(a+b-c)＞0$.
故 $a^2-c^2+2ab+b^2$ 的值的符号为$+$.
解析
【分析】
(1) 对于多项式$9x^2 -9x +3y -y^2$，用分组分解法思考：先观察式子特征，将能运用平方差公式的$9x^2$和$-y^2$分为一组，剩余含公因式的$-9x$和$3y$分为另一组；先对两组分别因式分解，再提取两组共有的公因式即可完成分解。
(2) 要判断$a^2 -c^2 +2ab +b^2$的符号，先对式子分组因式分解：将$a^2$、$2ab$、$b^2$分为一组，可运用完全平方公式分解，再结合剩余的$-c^2$用平方差公式分解；最后根据三角形三边关系判断两个因式的正负，即可得到原式的符号。
【解析】
(1) $\begin{aligned}&9x^2 -9x +3y -y^2\\=&(9x^2 - y^2)+(-9x + 3y)\\=&(3x + y)(3x - y) - 3(3x - y)\\=&(3x - y)(3x + y - 3)\end{aligned}$
(2) 先对式子因式分解：
$\begin{aligned}&a^2 -c^2 +2ab +b^2\\=&(a^2 + 2ab + b^2) - c^2\\=&(a + b)^2 - c^2\\=&(a + b + c)(a + b - c)\end{aligned}$
∵$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，
∴$a + b + c ＞ 0$，$a + b - c ＞ 0$，
∴两个正因式的乘积为正，即$(a + b + c)(a + b - c) ＞ 0$。
【答案】
(1) $\boxed{(3x - y)(3x + y - 3)}$
(2) 符号为$\boxed{+}$（正号）
【知识点】
分组分解法、因式分解、三角形三边关系
【点评】
本题重点考查分组分解法的实际应用，解题关键是观察多项式的结构特征合理分组，再结合学过的因式分解公式完成分解；第二问结合三角形三边性质判断式子符号，综合性不强，重在对基础方法的灵活运用。
【难度系数】
0.7
(1) 对于多项式$9x^2 -9x +3y -y^2$，用分组分解法思考：先观察式子特征，将能运用平方差公式的$9x^2$和$-y^2$分为一组，剩余含公因式的$-9x$和$3y$分为另一组；先对两组分别因式分解，再提取两组共有的公因式即可完成分解。
(2) 要判断$a^2 -c^2 +2ab +b^2$的符号，先对式子分组因式分解：将$a^2$、$2ab$、$b^2$分为一组，可运用完全平方公式分解，再结合剩余的$-c^2$用平方差公式分解；最后根据三角形三边关系判断两个因式的正负，即可得到原式的符号。
【解析】
(1) $\begin{aligned}&9x^2 -9x +3y -y^2\\=&(9x^2 - y^2)+(-9x + 3y)\\=&(3x + y)(3x - y) - 3(3x - y)\\=&(3x - y)(3x + y - 3)\end{aligned}$
(2) 先对式子因式分解：
$\begin{aligned}&a^2 -c^2 +2ab +b^2\\=&(a^2 + 2ab + b^2) - c^2\\=&(a + b)^2 - c^2\\=&(a + b + c)(a + b - c)\end{aligned}$
∵$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，
∴$a + b + c ＞ 0$，$a + b - c ＞ 0$，
∴两个正因式的乘积为正，即$(a + b + c)(a + b - c) ＞ 0$。
【答案】
(1) $\boxed{(3x - y)(3x + y - 3)}$
(2) 符号为$\boxed{+}$（正号）
【知识点】
分组分解法、因式分解、三角形三边关系
【点评】
本题重点考查分组分解法的实际应用，解题关键是观察多项式的结构特征合理分组，再结合学过的因式分解公式完成分解；第二问结合三角形三边性质判断式子符号，综合性不强，重在对基础方法的灵活运用。
【难度系数】
0.7
