1. 在同一平面直角坐标系中,直线$y = 4x+1与直线y= -x + b$的交点不可能在( )

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

D

联立两直线方程：$\begin{cases}y = 4x + 1 \\ y = -x + b\end{cases}$
解得：$4x + 1=-x + b$，$5x=b - 1$，$x=\frac{b - 1}{5}$
$y=-x + b=-\frac{b - 1}{5}+b=\frac{-b + 1 + 5b}{5}=\frac{4b + 1}{5}$
交点坐标为$(\frac{b - 1}{5},\frac{4b + 1}{5})$
分析$\frac{4b + 1}{5}$：
当$b＞-\frac{1}{4}$时，$\frac{4b + 1}{5}＞0$；当$b=-\frac{1}{4}$时，$\frac{4b + 1}{5}=0$；当$b＜-\frac{1}{4}$时，$\frac{4b + 1}{5}＜0$
当$\frac{4b + 1}{5}＞0$，即$b＞-\frac{1}{4}$：
若$b＞1$，$x=\frac{b - 1}{5}＞0$，交点在第一象限；
若$-\frac{1}{4}＜b＜1$，$x=\frac{b - 1}{5}＜0$，交点在第二象限；
若$b=1$，$x=0$，交点在y轴
当$\frac{4b + 1}{5}=0$，即$b=-\frac{1}{4}$：
$x=\frac{-\frac{1}{4}-1}{5}=-\frac{1}{4}$，交点$(-\frac{1}{4},0)$在x轴
当$\frac{4b + 1}{5}＜0$，即$b＜-\frac{1}{4}$：
$x=\frac{b - 1}{5}＜0$，交点在第三象限
综上，交点不可能在第四象限
D

2. 方程$2x-y = 2$的解有______组,用$x表示y$为______,此时$y是x$的______函数.

无数 y=2x-2 一次

3. (2024·宿城期末)已知一次函数$y = 3x-b与y= kx(k\neq0)图象的交点的坐标是(1,2)$,则关于$x$,$y的方程组\begin{cases}3x-y = b\\kx-y = 0\end{cases} $的解为______.

{x=1,y=2}

$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$

4. 两条直线$y = 2x-1和y = 2x-3$的位置关系为______.由此可知,方程组$\begin{cases}2x-y = 1\\2x-y = 3\end{cases} $的解的情况为______.

平行 无解

5. 在平面直角坐标系中,$O$为坐标原点.若直线$y= x + 3分别与x$轴、直线$y= -2x交于点A$,$B$,则$\triangle AOB$的面积为______.

3

求点A坐标：令$y=0$，则$0=x + 3$，解得$x=-3$，所以$A(-3,0)$，$OA=|-3|=3$。
求点B坐标：联立$\begin{cases}y=x + 3\\y=-2x\end{cases}$，解得$x + 3=-2x$，$3x=-3$，$x=-1$，代入$y=-2x$得$y=2$，所以$B(-1,2)$。
点B到x轴距离为$|y|=2$，即$\triangle AOB$中OA边上的高为2。
$\triangle AOB$面积：$\frac{1}{2}× OA× 高=\frac{1}{2}× 3× 2=3$。
3

6. 用图象法解下面的二元一次方程组：
(1)$\begin{cases}x + y= 2\\2x-y = 1\end{cases} $；
(2)$\begin{cases}x-2y-2 = 0\\2x-6y-6 = 0\end{cases} $.

（1）如图①,二元一次方程组的解为{x=1,y=1}（2）如图②,二元一次方程组的解为{x=0,y=-1}

7. 在同一平面直角坐标系中,一次函数$y= ax + a^{2}与y= a^{2}x + a$的图象可能是( )
]

D

当$a＞0$时，$a^{2}＞0$，两函数均过一、二、三象限，且$y = ax + a^{2}$的截距$a^{2}$大于$y = a^{2}x + a$的截距$a$（当$a＞1$时）或小于（当$0 ＜ a ＜ 1$时）。联立方程$ax + a^{2}=a^{2}x + a$，解得$x = 1$，交点横坐标为$1$。选项D符合$a＞1$时的情况，两直线过一、二、三象限，截距$a^{2}＞a$，交点在$x = 1$处。
D

8. (2024·兴安盟)点$P(m,n)在直线y= -\frac{3}{4}x + 4$上,且$\begin{cases}x = m\\y = n\end{cases} 是二元一次方程5x-6y = 33$的解,则点$P$的位置在( )

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

D

因为点$P(m,n)$在直线$y = -\frac{3}{4}x + 4$上，所以$n=-\frac{3}{4}m + 4$。
又因为$\begin{cases}x = m\\y = n\end{cases}$是二元一次方程$5x - 6y = 33$的解，所以$5m - 6n=33$。
将$n=-\frac{3}{4}m + 4$代入$5m - 6n=33$，得：
$5m-6\left(-\frac{3}{4}m + 4\right)=33$
$5m+\frac{9}{2}m - 24=33$
$\frac{10}{2}m+\frac{9}{2}m=33 + 24$
$\frac{19}{2}m=57$
$m=57×\frac{2}{19}=6$
将$m = 6$代入$n=-\frac{3}{4}m + 4$，得$n=-\frac{3}{4}×6 + 4=-\frac{9}{2}+4=-\frac{1}{2}$
所以点$P$的坐标为$(6,-\frac{1}{2})$，在第四象限。
D

9. 已知三条直线$y = 2x-3$,$y= kx-2$,$y= -2x + 1$相交于同一点,则$k$的值为______.

1

联立$y = 2x - 3$与$y = -2x + 1$，得：
$\begin{cases}y = 2x - 3 \\y = -2x + 1\end{cases}$
将两式联立：$2x - 3 = -2x + 1$，解得$4x = 4$，$x = 1$。
把$x = 1$代入$y = 2x - 3$，得$y = 2×1 - 3 = -1$。
所以交点坐标为$(1, -1)$。
将$(1, -1)$代入$y = kx - 2$，得$-1 = k×1 - 2$，解得$k = 1$。
1

10. (2024·滨州)如图,四边形$AOBC四个顶点的坐标分别是A(-1,3)$,$O(0,0)$,$B(3,-1)$,$C(5,4)$,在该平面内找一点$P$,使它到四个顶点的距离之和$PA + PO+PB + PC$最小,则点$P$的坐标为______.
]

$\left( \dfrac{10}{9},\dfrac{8}{9} \right)$ 解析:根据“两点之间线段最短”,得 PO+PC 的最小值就是线段 OC 的长,PA+PB 的最小值就是线段 AB 的长,
∴ 到四个顶点的距离之和 PA+PO+PB+PC 最小的点就是直线 AB,OC 的交点 P.易得直线 OC 对应的函数表达式为 $y=\dfrac{4}{5}x$,直线 AB 对应的函数表达式为 $y=-x+2$,联立方程组,即可得点 P 的坐标为 $\left( \dfrac{10}{9},\dfrac{8}{9} \right)$.