7.如图，AB//CD，E为CD上一点，射线EF经过点A，EC=EA.若∠CAE=30°，则∠BAF的度数为()


A.30°
B.40°
C.50°
D.60°

D

【分析】
解题时先从已知条件入手：①由EC=EA可知△EAC是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可求出∠C的度数；②∠AED是△ACE的外角，利用三角形外角的性质可求出∠AED的度数；③最后结合AB//CD的条件，根据平行线的同位角相等即可求出∠BAF的度数。
【解析】
解：
∵EC=EA，
∴△EAC是等腰三角形，∠C=∠CAE=30°。
∵∠AED是△ACE的外角，
∴∠AED=∠C+∠CAE=30°+30°=60°。
又
∵AB//CD，
∴∠BAF=∠AED=60°（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，综合考查了等腰三角形、三角形外角、平行线的相关性质，解题的关键是找准角之间的数量关系，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

8.如图,在△ABC中,AB=AC,以点B为圆心,BC的长为半径画弧交AC于点C,E,再分别以点C与点E为圆心,大于$\frac{1}{2}CE$长为半径画弧,两弧交于点F,连接BF交AC于点D.若∠A=50°,则∠CBD=()


A.25°
B.40°
C.50°
D.65°

A

【分析】
解题时先从已知的等腰△ABC入手，结合顶角∠A的度数先求出底角∠ACB的度数；再识别尺规作图的结论：由作图步骤可得BF是线段CE的垂直平分线，因此BD⊥AC，得到∠BDC=90°；最后在Rt△BDC中利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠CBD的度数。
【解析】
1. 求∠ACB的度数：
∵AB=AC，△ABC是等腰三角形，∠A=50°
∴∠ACB=∠ABC=$\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-50°}{2}=65°$
2. 判断BD与AC的位置关系：
由作图可知，BE=BC（同圆的半径相等），且点B、F到点C、E的距离均相等，因此BF是线段CE的垂直平分线，可得BD⊥AC，即∠BDC=90°。
3. 计算∠CBD的度数：
在Rt△BDC中，∠CBD+∠ACB=90°，因此：
∠CBD=90°-∠ACB=90°-65°=25°
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，尺规作图的应用，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，核心是先识别尺规作图得到的垂直关系，再结合等腰三角形的角度计算性质求解，需要学生熟练掌握基本尺规作图的结论和特殊三角形的角度性质。
【难度系数】
0.7

9.在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，$∠ B=∠ B'=30°$，$AB=A'B'=6$，$AC=A'C'=4$，已知$∠ C=n°$，则$∠ C'=(\quad)$

A.$30°$
B.$n°$
C.$n°$或$180° -n°$
D.$30°$或$150°$

C

【分析】
首先回忆三角形全等的判定规则，我们知道两边及其中一边的对角（SSA）相等是不能判定两个三角形全等的，因此满足题设条件的△A'B'C'存在两种不同的形状。我们可以通过尺规作图的思路分析两种情况对应的∠C'与∠C的关系，就能推出最终结果。
【解析】
解：已知△ABC和△A'B'C'满足∠B=∠B'=30°，AB=A'B'=6，AC=A'C'=4，这组条件属于“两边及其中一边的对角相等（SSA）”，SSA无法判定两个三角形全等，因此△A'B'C'的形状不唯一。
我们通过作图验证：先作∠B'=30°，在∠B'的一条边上截取A'B'=6，再以点A'为圆心、4为半径画弧，该弧会和∠B'的另一条边交于两个不同的点，这两个点都可作为C'，得到两个符合条件的△A'B'C'。
第一种情况的△A'B'C'和△ABC全等，此时∠C'=∠C=n°；第二种情况中，因为A'到两个交点的距离都是4，形成等腰三角形，等腰三角形两底角相等，因此此时的∠C'与n°互补，即∠C'=180°-n°。
综上，∠C'的度数为n°或180°-n°，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 等腰三角形的性质
【点评】
本题易错点是误以为SSA可以判定三角形全等，直接认为两个三角形全等错选B。解题时要明确两边及其中一边对角相等时，三角形存在两种构型，需要分类讨论。
【难度系数】
0.6

10.如图,在$△ ABC$中,$AB=AE$,且$AD⊥ BC$,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E.
(1)若$∠ BAE=30°$,求$∠ C$的度数;
(2)若$AC=6\ \mathrm{cm}$,$DC=5\ \mathrm{cm}$,求$△ ABC$的周长.

解：(1) ∵ AB=AE，∠BAE=30°
∴ ∠B=∠AEB=$\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$
∵ EF垂直平分AC
∴ AE=CE
∴ ∠C=∠EAC
∵ ∠AEB是△AEC的外角
∴ ∠AEB=∠C+∠EAC=2∠C
∴ 2∠C=75°
∴ ∠C=37.5°
(2) ∵ EF垂直平分AC
∴ AE=CE
又∵ AB=AE
∴ AB=CE
∵ AD⊥BC，AB=AE
∴ BD=DE（等腰三角形三线合一）
∴ AB+BD=CE+DE=DC=5 cm
∴ △ABC的周长=AB+BC+AC
=AB+BD+DC+AC
=5+5+6=16 cm
答：(1) ∠C的度数为$37.5°$；(2) △ABC的周长为16 cm。

【分析】
(1) 求解∠C的度数时，先从已知的等腰△ABE入手，已知顶角∠BAE，可利用等腰三角形两底角相等的性质先算出底角∠AEB的度数；再根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，得到AE=CE，推出△AEC也是等腰三角形，可得∠C=∠EAC；最后利用三角形外角的性质，∠AEB是△AEC的外角，等于两个不相邻内角和即∠C+∠EAC=2∠C，代入∠AEB的度数就能求出∠C。
(2) 求解△ABC的周长时，周长公式为AB+BC+AC，已知AC的长度，只需算出AB+BC的和即可。首先由线段垂直平分线性质得AE=CE，结合已知AB=AE可推出AB=CE；再利用等腰三角形三线合一的性质，AD是等腰△ABE底边上的高，可得BD=DE，由此可将AB+BD转化为CE+DE=DC，进而求出AB+BC的长度，最终算出周长。
【解析】
(1)
∵ AB=AE，∠BAE=30°
∴ ∠B=∠AEB=$\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$
∵ EF垂直平分AC
∴ AE=CE
∴ ∠C=∠EAC
∵ ∠AEB是△AEC的外角
∴ ∠AEB=∠C+∠EAC=2∠C
∴ 2∠C=75°
∴ ∠C=37.5°
(2)
∵ EF垂直平分AC
∴ AE=CE
又
∵ AB=AE
∴ AB=CE
∵ AD⊥BC，AB=AE
∴ BD=DE（等腰三角形三线合一）
∴ AB+BD=CE+DE=DC=5 cm
∴ △ABC的周长=AB+BC+AC
=AB+BD+DC+AC
=5+5+6=16 cm
【答案】
(1) $\boldsymbol{37.5°}$；(2) $\boldsymbol{16\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题关键是灵活运用等腰三角形、线段垂直平分线的性质完成边角的等量转化，梳理清楚各边角之间的关联即可快速求解。
【难度系数】
0.7

11.已知，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$BD⊥ AC$于点$D$，求证：$∠ A=2∠ CBD$.

证明：
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C，
∴ ∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-2∠C。
∵ BD⊥AC，
∴ ∠BDC=90°，
∴ ∠CBD+∠C=90°，
∴ 2∠CBD+2∠C=180°，
即2∠CBD=180°-2∠C，
∴ ∠A=2∠CBD。

【分析】要证明∠A=2∠CBD，首先根据已知条件AB=AC，想到等腰三角形等边对等角的性质，得到两个底角∠ABC=∠C，结合三角形内角和定理可以把∠A用∠C表示出来；再根据BD⊥AC的条件，可知△BDC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质得到∠CBD和∠C的数量关系，最后通过等量代换就能推出待证结论。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C，
∴ ∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-2∠C。
∵ BD⊥AC，
∴ ∠BDC=90°，
∴ ∠CBD+∠C=90°，
∴ 2∠CBD+2∠C=180°，
即2∠CBD=180°-2∠C，
∴ ∠A=2∠CBD。
【答案】
证明：
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C，
∴ ∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-2∠C。
∵ BD⊥AC，
∴ ∠BDC=90°，
∴ ∠CBD+∠C=90°，
∴ 2∠CBD+2∠C=180°，
即2∠CBD=180°-2∠C，
∴ ∠A=2∠CBD。
【知识点】
等腰三角形等边对等角；三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是等腰三角形角度证明的典型基础题，核心是通过等腰三角形和直角三角形的性质找到角度间的等量关系，熟练掌握角度代换的技巧即可快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7