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典例2 如图，$CD=CA=CB$，找出图中的等腰三角形. 
答案
解
∵ CD = CA = CB，
∴ △ABC，△BCD，△ACD为等腰三角形。
∵ CD = CA = CB，
∴ △ABC，△BCD，△ACD为等腰三角形。
解析
【分析】
解题首先要明确等腰三角形的判定标准：有两条边相等的三角形是等腰三角形。已知条件给出了三条相等的线段CD=CA=CB，我们只需要两两分组这三条相等的线段，判断每组相等的线段是否为同一个三角形的两条边，对应的三角形就是要找的等腰三角形，排查时注意不要遗漏组合。
【解析】
解：
∵ CD = CA = CB，
在△ABC中，CA和CB是它的两条边且CA=CB，故△ABC是等腰三角形；
在△BCD中，CB和CD是它的两条边且CB=CD，故△BCD是等腰三角形；
在△ACD中，CA和CD是它的两条边且CA=CD，故△ACD是等腰三角形；
∴ △ABC，△BCD，△ACD为等腰三角形。
【答案】
△ABC、△BCD、△ACD
【知识点】
1. 等腰三角形的判定
2. 三角形的识别
【点评】
本题是基础类题目，核心考查对等腰三角形定义的理解和运用，解题时紧扣“两边相等的三角形为等腰三角形”的判定依据，结合已知相等线段逐一核对即可，需要注意不要漏掉任意一组相等边对应的三角形。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确等腰三角形的判定标准：有两条边相等的三角形是等腰三角形。已知条件给出了三条相等的线段CD=CA=CB，我们只需要两两分组这三条相等的线段，判断每组相等的线段是否为同一个三角形的两条边，对应的三角形就是要找的等腰三角形，排查时注意不要遗漏组合。
【解析】
解：
∵ CD = CA = CB，
在△ABC中，CA和CB是它的两条边且CA=CB，故△ABC是等腰三角形；
在△BCD中，CB和CD是它的两条边且CB=CD，故△BCD是等腰三角形；
在△ACD中，CA和CD是它的两条边且CA=CD，故△ACD是等腰三角形；
∴ △ABC，△BCD，△ACD为等腰三角形。
【答案】
△ABC、△BCD、△ACD
【知识点】
1. 等腰三角形的判定
2. 三角形的识别
【点评】
本题是基础类题目，核心考查对等腰三角形定义的理解和运用，解题时紧扣“两边相等的三角形为等腰三角形”的判定依据，结合已知相等线段逐一核对即可，需要注意不要漏掉任意一组相等边对应的三角形。
【难度系数】
0.9
举一反三 如图，在三角形按边的相等关系分类图中，M，N分别表示的是（
A.等边三角形、等腰三角形
B.等腰三角形、等边三角形
C.锐角三角形、等腰三角形
D.等腰三角形、锐角三角形
B
）。A.等边三角形、等腰三角形
B.等腰三角形、等边三角形
C.锐角三角形、等腰三角形
D.等腰三角形、锐角三角形
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形按边的相等关系的分类规则：三角形整体分为两大类，一类是三边都不相等的三角形，另一类是等腰三角形；其中等边三角形是三条边都相等的特殊等腰三角形，属于等腰三角形的子集。结合图示来看，整个大圆代表所有三角形，左侧已经标注为三边都不相等的三角形，因此右侧的M对应另一大类等腰三角形；N是包含在M内部的类别，对应等腰三角形里特殊的等边三角形，据此匹配选项即可。
【解析】
三角形按边的相等关系可分为：
①三边都不相等的三角形；
②等腰三角形：包括只有两条边相等的等腰三角形、三条边都相等的等边三角形，等边三角形属于特殊的等腰三角形。
结合题图：整个大圆代表全部三角形，左半部分是三边都不相等的三角形，因此右半部分M表示等腰三角形；N是M的子集，是等腰三角形中的特殊类型，即等边三角形。因此M为等腰三角形，N为等边三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形按边分类；等腰三角形；等边三角形
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查三角形按边分类的层级关系，解题的关键是明确等边三角形是特殊的等腰三角形，二者是包含而非并列关系。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆三角形按边的相等关系的分类规则：三角形整体分为两大类，一类是三边都不相等的三角形，另一类是等腰三角形；其中等边三角形是三条边都相等的特殊等腰三角形，属于等腰三角形的子集。结合图示来看，整个大圆代表所有三角形，左侧已经标注为三边都不相等的三角形，因此右侧的M对应另一大类等腰三角形；N是包含在M内部的类别，对应等腰三角形里特殊的等边三角形，据此匹配选项即可。
【解析】
三角形按边的相等关系可分为：
①三边都不相等的三角形；
②等腰三角形：包括只有两条边相等的等腰三角形、三条边都相等的等边三角形，等边三角形属于特殊的等腰三角形。
结合题图：整个大圆代表全部三角形，左半部分是三边都不相等的三角形，因此右半部分M表示等腰三角形；N是M的子集，是等腰三角形中的特殊类型，即等边三角形。因此M为等腰三角形，N为等边三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形按边分类；等腰三角形；等边三角形
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查三角形按边分类的层级关系，解题的关键是明确等边三角形是特殊的等腰三角形，二者是包含而非并列关系。
【难度系数】
0.85
1. 下面是欣欣用三根火柴棒拼成的图形，其中符合三角形概念的是（
C
）。答案
1.C
解析
【分析】
要判断哪个图形符合三角形概念，首先要明确三角形的定义核心：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形。解题时我们对照这个定义的三个关键要求：①由三条线段组成；②三条线段首尾顺次连接，没有超出端点的部分；③组成封闭图形，逐一排查每个选项即可得出答案。
【解析】
根据三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的封闭图形叫做三角形。
选项A：三根火柴棒均存在超出交点的部分，不是首尾顺次相接，不符合三角形概念；
选项B：上方火柴棒、右侧火柴棒都有超出交点的部分，不是首尾顺次相接，不符合三角形概念；
选项C：三根火柴棒恰好首尾顺次连接，形成封闭图形，完全符合三角形的定义；
选项D：竖直火柴棒、水平底边都有超出顶点的部分，不是首尾顺次相接，不符合三角形概念。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的定义
【点评】
本题是基础的概念辨析题，重点考查对三角形核心定义的掌握程度，只要抓住三角形“三条线段首尾顺次相接、封闭”的特征，仔细观察图形就能快速做出判断。
【难度系数】
0.9
要判断哪个图形符合三角形概念，首先要明确三角形的定义核心：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形。解题时我们对照这个定义的三个关键要求：①由三条线段组成；②三条线段首尾顺次连接，没有超出端点的部分；③组成封闭图形，逐一排查每个选项即可得出答案。
【解析】
根据三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的封闭图形叫做三角形。
选项A：三根火柴棒均存在超出交点的部分，不是首尾顺次相接，不符合三角形概念；
选项B：上方火柴棒、右侧火柴棒都有超出交点的部分，不是首尾顺次相接，不符合三角形概念；
选项C：三根火柴棒恰好首尾顺次连接，形成封闭图形，完全符合三角形的定义；
选项D：竖直火柴棒、水平底边都有超出顶点的部分，不是首尾顺次相接，不符合三角形概念。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的定义
【点评】
本题是基础的概念辨析题，重点考查对三角形核心定义的掌握程度，只要抓住三角形“三条线段首尾顺次相接、封闭”的特征，仔细观察图形就能快速做出判断。
【难度系数】
0.9
2. 下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是(
C
).答案
2.C
解析
【分析】
要判断三角形的类型，首先明确三角形按角分类的依据：有一个角是钝角的是钝角三角形，有一个角是直角的是直角三角形，三个角都是锐角的是锐角三角形，判断的核心是确定三角形最大内角的类型。我们逐个分析选项：若露出的角是钝角或直角，那这个角就是三角形的最大角，可直接确定三角形类型；若露出的仅为锐角，则无法判断剩余两个角是否存在更大的直角或钝角，也就无法确定三角形类型。
【解析】
解：三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三类，判断类型只需确定其最大内角的类别：
选项A：露出的角是钝角，因此该三角形为钝角三角形，可判断类型；
选项B：露出的角是直角，因此该三角形为直角三角形，可判断类型；
选项C：露出的角是锐角，剩余两个角可能均为锐角，也可能存在一个直角或一个钝角，无法确定最大角的类别，因此不能判断三角形类型；
选项D：露出的角是钝角，因此该三角形为钝角三角形，可判断类型。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的分类，三角形内角特征
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查三角形按角分类的判断逻辑，解题时需注意：仅知道三角形的一个锐角，无法确定三角形的类型，只有明确最大角的类型才能确定三角形的类别。
【难度系数】
0.8
要判断三角形的类型，首先明确三角形按角分类的依据：有一个角是钝角的是钝角三角形，有一个角是直角的是直角三角形，三个角都是锐角的是锐角三角形，判断的核心是确定三角形最大内角的类型。我们逐个分析选项：若露出的角是钝角或直角，那这个角就是三角形的最大角，可直接确定三角形类型；若露出的仅为锐角，则无法判断剩余两个角是否存在更大的直角或钝角，也就无法确定三角形类型。
【解析】
解：三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三类，判断类型只需确定其最大内角的类别：
选项A：露出的角是钝角，因此该三角形为钝角三角形，可判断类型；
选项B：露出的角是直角，因此该三角形为直角三角形，可判断类型；
选项C：露出的角是锐角，剩余两个角可能均为锐角，也可能存在一个直角或一个钝角，无法确定最大角的类别，因此不能判断三角形类型；
选项D：露出的角是钝角，因此该三角形为钝角三角形，可判断类型。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的分类，三角形内角特征
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查三角形按角分类的判断逻辑，解题时需注意：仅知道三角形的一个锐角，无法确定三角形的类型，只有明确最大角的类型才能确定三角形的类别。
【难度系数】
0.8
3.如图,在△ABC中,点D,F分别在线段AB,AC上,点E在线段BF上.
(1)图中共有多少个三角形?请用符号表示.
(2)写出以E为顶点的三角形.
(3)写出以E为顶点的角.
(1)图中共有多少个三角形?请用符号表示.
(2)写出以E为顶点的三角形.
(3)写出以E为顶点的角.
答案
3. 解 （1）7 个，△AEF，△ADE，△DEB，△ABF，△BCF，△ABC，△ABE.
(2)△AEF，△ADE，△BED，△AEB.
(3)∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF.
(2)△AEF，△ADE，△BED，△AEB.
(3)∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF.
解析
【分析】
解决这类图形计数问题，核心是按固定顺序分类计数，避免重复或遗漏：
(1)数三角形时，可以先数单独的小三角形，再数由多个小三角形组合成的大三角形，逐一列举；
(2)找以E为顶点的三角形，只需筛选所有顶点包含E的三角形即可；
(3)找以E为顶点的角，要以E为端点，按固定方向依次组合不同的射线，列举所有符合条件的角。
【解析】
(1)按从小到大的顺序数三角形：
①单个小三角形：△ADE、△DEB、△AEF，共3个；
②由2个小三角形组成的三角形：△ABE、△ABF，共2个；
③更大的组合三角形：△BCF、△ABC，共2个；
总计3+2+2=7个，分别为△AEF，△ADE，△DEB，△ABF，△BCF，△ABC，△ABE。
(2)筛选顶点包含E的三角形，可得对应三角形。
(3)以E为顶点，依次组合射线EF、EA、ED、EB，可得所有以E为顶点的角。
【答案】
（1）7个，分别是△AEF，△ADE，△DEB，△ABF，△BCF，△ABC，△ABE；
(2)△AEF，△ADE，△BED，△AEB；
(3)∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF。
【知识点】
三角形的概念，角的表示，图形计数
【点评】
本题属于几何基础题，重点考查对三角形、角的识别能力，解题的核心是养成有序计数的习惯，避免出现重复计数或漏数的情况。
【难度系数】
0.9
解决这类图形计数问题，核心是按固定顺序分类计数，避免重复或遗漏：
(1)数三角形时，可以先数单独的小三角形，再数由多个小三角形组合成的大三角形，逐一列举；
(2)找以E为顶点的三角形，只需筛选所有顶点包含E的三角形即可；
(3)找以E为顶点的角，要以E为端点，按固定方向依次组合不同的射线，列举所有符合条件的角。
【解析】
(1)按从小到大的顺序数三角形：
①单个小三角形：△ADE、△DEB、△AEF，共3个；
②由2个小三角形组成的三角形：△ABE、△ABF，共2个；
③更大的组合三角形：△BCF、△ABC，共2个；
总计3+2+2=7个，分别为△AEF，△ADE，△DEB，△ABF，△BCF，△ABC，△ABE。
(2)筛选顶点包含E的三角形，可得对应三角形。
(3)以E为顶点，依次组合射线EF、EA、ED、EB，可得所有以E为顶点的角。
【答案】
（1）7个，分别是△AEF，△ADE，△DEB，△ABF，△BCF，△ABC，△ABE；
(2)△AEF，△ADE，△BED，△AEB；
(3)∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF。
【知识点】
三角形的概念，角的表示，图形计数
【点评】
本题属于几何基础题，重点考查对三角形、角的识别能力，解题的核心是养成有序计数的习惯，避免出现重复计数或漏数的情况。
【难度系数】
0.9
