4.如图，点D，F在线段AB上，$∠ ACD = 90°$，$∠ AEF = 90°$，且$∠ ADE$是锐角，写出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

4. 解 锐角三角形为△AED，直角三角形为△ACD，△AEF，钝角三角形为△ABC，△BDC，△DEF.

【分析】
解题时首先要明确三角形按角分类的标准：三个角都是锐角的是锐角三角形，有一个角是直角的是直角三角形，有一个角是钝角的是钝角三角形。第一步先找全图中所有的三角形，再结合已知的直角条件、补角的性质以及题目给出的∠ADE是锐角的条件，逐个判断每个三角形的最大内角属于锐角、直角还是钝角，对应归类即可。
【解析】
我们先明确三角形按角分类的规则：
① 三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形；
② 有一个内角是直角的三角形是直角三角形；
③ 有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形。
首先列出图中所有三角形：△ACD、△ABC、△BDC、△AED、△AEF、△DEF，再逐个判断：
1. 直角三角形判断：
已知∠ACD=90°，因此△ACD有1个直角，属于直角三角形；
已知∠AEF=90°，因此△AEF有1个直角，属于直角三角形。
2. 锐角三角形判断：
对于△AED，∠EAD是锐角，题目已知∠ADE是锐角，又因为∠AED＜∠AEF=90°，也为锐角，三个内角都是锐角，因此△AED是锐角三角形。
3. 钝角三角形判断：
△ABC中，∠ACB=∠ACD+∠DCB＞90°，有1个钝角，属于钝角三角形；
△BDC中，在Rt△ACD中∠ADC为锐角，∠BDC=180°-∠ADC＞90°，有1个钝角，属于钝角三角形；
△DEF中，在Rt△AEF中∠AFE为锐角，∠DFE=180°-∠AFE＞90°，有1个钝角，属于钝角三角形。
【答案】
锐角三角形为△AED，直角三角形为△ACD，△AEF，钝角三角形为△ABC，△BDC，△DEF。
【知识点】
三角形按角分类；直角的定义；补角的性质
【点评】
本题考查三角形按角分类的相关知识，解题的关键是先不重不漏地找出所有三角形，再结合已知条件判断每个三角形最大内角的类型，需要注意结合邻补角的性质推导钝角，避免判断错误。
【难度系数】
0.7

5.若$△ ABC$三条边的长度分别为$m,n,p$，且$|m-n|+(n-p)^2=0$，则$△ ABC$为().

A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形

5. B 解析
∵|m−n|+(n−p)²=0，
∴m−n=0,n−p=0，
∴m=n,n=p，
∴m=n=p，
∴△ABC 为等边三角形.
故选 B.

【分析】
解题时首先观察已知等式的构成：等式包含绝对值和平方项，我们学过绝对值和实数的平方都具有非负性（即≥0），两个非负数的和为0时，只有这两个非负数同时为0才能成立。据此我们可以先列出关于三边长度的等量关系，再根据三边的关系判断三角形的类型。
【解析】
∵ |m−n|和(n−p)²均为非负数，且|m−n|+(n−p)²=0，
∴ m−n=0，n−p=0，
∴ m=n，n=p，
∴ m=n=p，即三角形的三条边长度相等，
∴ △ABC为等边三角形。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是基础题型，将非负数的性质与三角形分类的知识点相结合，解题的关键是熟练掌握绝对值与平方的非负性，准确推导三边的数量关系即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9

6. 假定有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以 BC 为公共边的“共边三角形”有对.

6. 3 解析 以线段 BC 为公共边的“共边三角形”有△ABC，△DBC，△EBC，故组成 3 对“共边三角形”.

【分析】
解题时首先要准确理解题目给出的“共边三角形”新定义，明确我们需要找的是公共边为BC的两个三角形组成的配对。第一步先找出图中所有以BC为边的三角形，第二步再统计这些三角形两两组合的总对数，每一组都符合“共边三角形”的要求，即可得到结果。
【解析】
首先根据“共边三角形”的定义，先列出所有以BC为边的三角形：观察图形可得，分别是△ABC、△EBC、△DBC，共3个。
从这3个三角形中任选2个，都满足以BC为公共边，对应的配对为：
1. △ABC和△DBC；
2. △ABC和△EBC；
3. △DBC和△EBC。
因此总共有3对符合要求的共边三角形。
【答案】
3
【知识点】
三角形的识别、新定义理解、有序计数
【点评】
本题是新定义类基础题型，解题的核心是先准确理解新定义的要求，再按照先找符合条件的三角形、再计数配对的步骤求解，计数时要注意避免重复或遗漏。
【难度系数】
0.8

7. 如图,以A,B,C,D,E五个点中的任意三个点为顶点画三角形.
(1)一共可以画出几个三角形? 用符号表示这些三角形.
(2)以AB为一边可以画出哪几个三角形? 以C为顶点可以画出哪几个三角形?
(3)从画出的三角形中分别找出1个直角三角形和1个钝角三角形.

7. 解 （1）10 个，△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，△BCD，△BCE，△BDE，△CDE.
(2)以 AB 为一边的三角形有△ABC，△ABD，△ABE；
以 C 为顶点的三角形有△ABC，△ACD，△ACE，△BCD，△BCE，△CDE.
(3)找出的三角形分别为△ABD，△ABC.(答案不唯一)

【分析】
解决本题首先要明确三角形的构成条件：不在同一直线上的三个点可以构成一个三角形。
对于第(1)问，可按顺序枚举5个点中所有3个点的组合，经判断本题中五个点没有三点共线的情况，列举时用固定顶点排序的方法可避免重复或漏解。
对于第(2)问，以AB为边时，只需找出除A、B外的第三个顶点即可；以C为顶点时，只需从剩下的4个点中任选2个作为另外两个顶点，再对应写出三角形即可。
对于第(3)问，结合网格的垂直特征可快速找到直角三角形，再根据钝角大于90°的特征找到钝角三角形即可，答案不唯一，符合要求即可。
【解析】
(1) 从A、B、C、D、E五个点中任取3个点，按固定第一个顶点的顺序有序枚举：
①含顶点A的三角形：△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE；
②不含顶点A、含顶点B的三角形：△BCD，△BCE，△BDE；
③不含顶点A、B的三角形：△CDE。
统计可得共10个三角形。
(2) 以AB为一边时，第三个顶点可选C、D、E，对应三角形为△ABC，△ABD，△ABE；
以C为顶点时，另外两个顶点从A、B、D、E中任选2个，对应三角形为△ABC，△ACD，△ACE，△BCD，△BCE，△CDE。
(3) 观察网格：AB为水平线段，BD为竖直线段，∠ABD=90°，故△ABD是直角三角形；△ABC中∠ABC为钝角，故△ABC是钝角三角形，答案不唯一，符合特征即可。
【答案】
(1) 10个，分别为△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，△BCD，△BCE，△BDE，△CDE。
(2) 以AB为一边的三角形有△ABC，△ABD，△ABE；以C为顶点的三角形有△ABC，△ACD，△ACE，△BCD，△BCE，△CDE。
(3) 示例：直角三角形为△ABD，钝角三角形为△ABC（答案不唯一）。
【知识点】
三角形的构成条件，三角形的分类，有序枚举法
【点评】
本题属于三角形的基础应用题，解题核心是掌握三角形的定义，有序枚举可避免计数时漏解或重复，结合网格的垂直、水平特征可快速判断三角形的类型。
【难度系数】
0.8

8. 已知$△ ABC$.
(1)如图①,在边BC上取一个点D,连接AD,则图中共有多少个三角形?
(2)如图②,在边BC上取两个点D,E,连接AD,AE,则图中共有多少个三角形?
(3)如图③,在边BC上取三个点D,E,F,连接AD,AE,AF,则图中共有多少个三角形?
(4)如图④,在边BC上取$n$个点D,E,F,…,连接AD,AE,AF,…,则图中共有多少个三角形?

8. 解 (1)2+1=3(个).
(2)3+2+1=6(个).
(3)4+3+2+1=10(个).
(4)由前 3 问可推导得(n+1)+n+(n−1)+…+1= $\frac{[(n+1)+1](n+1)}{2}$ = $\frac{(n+2)(n+1)}{2}$ (个).

【分析】
解这类计数三角形的问题，可观察到所有三角形共享顶点A，因此三角形的总个数等于底边BC上的线段总条数：每一条BC上的线段与顶点A都能构成一个三角形。先分别计算前3问中BC上的线段数得到对应三角形个数，再归纳规律推导取n个点时的通用表达式即可。
【解析】
(1) 图①中BC边上共有B、D、C3个点，线段总条数为$2+1=3$，因此共有3个三角形；
(2) 图②中BC边上共有B、D、E、C4个点，线段总条数为$3+2+1=6$，因此共有6个三角形；
(3) 图③中BC边上共有B、D、E、F、C5个点，线段总条数为$4+3+2+1=10$，因此共有10个三角形；
(4) 当BC边上取n个点时，加上端点B、C，BC上总共有$(n+2)$个点，线段总条数为$(n+1)+n+(n-1)+\dots+1$，用首尾相加法求和：
原式$=\frac{[(n+1)+1]×(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$，因此共有$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$个三角形。
【答案】
(1)3个；(2)6个；(3)10个；(4)$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$个
【知识点】
三角形的概念，线段计数，规律探究
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心技巧是将三角形计数转化为底边线段的计数，简化了计数过程，同时考查了学生从特殊情况归纳通用规律的能力，掌握计数的有序性、避免重复遗漏是解题关键。
【难度系数】
0.7