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举一反三 解下列方程：
(1)$\frac{1}{x}=\frac{3}{x-2}$；(2)$\frac{2}{x-3}=1-\frac{2}{3-x}$。
所以，原分式方程的解为$x=9$。
(2)方程两边乘$(x+1)(x-1)$，得
$(x+1)^2 - (x^2 -1)=4$。
解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=0$，
因此$x=1$不是原分式方程的解。
所以，原分式方程无解。
(1)$\frac{1}{x}=\frac{3}{x-2}$；(2)$\frac{2}{x-3}=1-\frac{2}{3-x}$。
所以，原分式方程的解为$x=9$。
(2)方程两边乘$(x+1)(x-1)$，得
$(x+1)^2 - (x^2 -1)=4$。
解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=0$，
因此$x=1$不是原分式方程的解。
所以，原分式方程无解。
答案
解 (1)方程两边乘$x(x-2)$,得 $x-2=3x$。
解得$x=-1$。
检验:当$x=-1$时,$x(x-2)≠0$,
所以,原分式方程的解为$x=-1$。
(2)方程两边乘$(x-3)$,得
$2=x-3+2$。
解得$x=3$。
检验:当$x=3$时,$x-3=0$,
因此$x=3$不是原分式方程的解。
所以,原分式方程无解。
解得$x=-1$。
检验:当$x=-1$时,$x(x-2)≠0$,
所以,原分式方程的解为$x=-1$。
(2)方程两边乘$(x-3)$,得
$2=x-3+2$。
解得$x=3$。
检验:当$x=3$时,$x-3=0$,
因此$x=3$不是原分式方程的解。
所以,原分式方程无解。
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验解是否使原分式的分母为0。具体步骤：①找各分式的最简公分母；②方程两边同乘最简公分母去分母，得到整式方程；③解整式方程；④检验：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则该解是原分式方程的解，若为0则是增根，原分式方程无解。
对于(1)，两个分式的分母分别是x和x-2，最简公分母为x(x-2)；对于(2)，注意3-x=-(x-3)，因此最简公分母为x-3，去分母时要注意符号变化。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$x(x-2)$，约去分母得：
$x-2=3x$
移项得$x-3x=2$，合并同类项得$-2x=2$，系数化为1得$x=-1$。
检验：当$x=-1$时，$x(x-2)=(-1)×(-1-2)=3≠0$，因此$x=-1$是原分式方程的解。
(2) 先将方程变形为$\frac{2}{x-3}=1+\frac{2}{x-3}$，方程两边同乘最简公分母$(x-3)$，约去分母得：
$2=x-3+2$
移项、合并同类项得$x=3$。
检验：当$x=3$时，$x-3=0$，因此$x=3$是增根，不是原分式方程的解。
【答案】
(1) $x=-1$；(2) 原分式方程无解。
【知识点】
分式方程的解法,分式方程的检验,增根的判定
【点评】
本题是分式方程解法的基础题，解题的易错点有两个：一是去分母时漏乘不含分母的项，二是忽略检验步骤，或者处理互为相反数的分母时符号出错，牢记解分式方程最后必须检验是得分的关键。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是先将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验解是否使原分式的分母为0。具体步骤：①找各分式的最简公分母；②方程两边同乘最简公分母去分母，得到整式方程；③解整式方程；④检验：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则该解是原分式方程的解，若为0则是增根，原分式方程无解。
对于(1)，两个分式的分母分别是x和x-2，最简公分母为x(x-2)；对于(2)，注意3-x=-(x-3)，因此最简公分母为x-3，去分母时要注意符号变化。
【解析】
(1) 方程两边同乘最简公分母$x(x-2)$，约去分母得：
$x-2=3x$
移项得$x-3x=2$，合并同类项得$-2x=2$，系数化为1得$x=-1$。
检验：当$x=-1$时，$x(x-2)=(-1)×(-1-2)=3≠0$，因此$x=-1$是原分式方程的解。
(2) 先将方程变形为$\frac{2}{x-3}=1+\frac{2}{x-3}$，方程两边同乘最简公分母$(x-3)$，约去分母得：
$2=x-3+2$
移项、合并同类项得$x=3$。
检验：当$x=3$时，$x-3=0$，因此$x=3$是增根，不是原分式方程的解。
【答案】
(1) $x=-1$；(2) 原分式方程无解。
【知识点】
分式方程的解法,分式方程的检验,增根的判定
【点评】
本题是分式方程解法的基础题，解题的易错点有两个：一是去分母时漏乘不含分母的项，二是忽略检验步骤，或者处理互为相反数的分母时符号出错，牢记解分式方程最后必须检验是得分的关键。
【难度系数】
0.7
1. 下列方程中，是分式方程的是(
A.$\frac{1}{5}+\frac{x}{4}=3$
B.$x-4y=7$
C.$2x=3(x-5)$
D.$\frac{4}{x-2}=1$
D
).A.$\frac{1}{5}+\frac{x}{4}=3$
B.$x-4y=7$
C.$2x=3(x-5)$
D.$\frac{4}{x-2}=1$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断一个方程是否为分式方程，首先回忆分式方程的核心判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时只需用这个标准逐一核对四个选项即可，注意要区分含分数系数的整式方程和分式方程，只要分母是常数，哪怕方程里有分数，也不属于分式方程。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程为分式方程，逐一分析选项：
A选项：方程$\frac{1}{5}+\frac{x}{4}=3$的分母为5和4，均为常数，无未知数，属于一元一次整式方程，不符合要求；
B选项：方程$x-4y=7$是二元一次整式方程，所有项的分母都没有未知数，不符合要求；
C选项：方程$2x=3(x-5)$是一元一次整式方程，不存在含未知数的分母，不符合要求；
D选项：方程$\frac{4}{x-2}=1$的分母为$x-2$，含有未知数$x$，符合分式方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
1.分式方程的定义
2.整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，解题的关键是牢牢抓住“分母含未知数”这一分式方程的核心判定特征，不要将分母为常数的分数系数整式方程误判为分式方程，熟练掌握概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
要判断一个方程是否为分式方程，首先回忆分式方程的核心判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解题时只需用这个标准逐一核对四个选项即可，注意要区分含分数系数的整式方程和分式方程，只要分母是常数，哪怕方程里有分数，也不属于分式方程。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程为分式方程，逐一分析选项：
A选项：方程$\frac{1}{5}+\frac{x}{4}=3$的分母为5和4，均为常数，无未知数，属于一元一次整式方程，不符合要求；
B选项：方程$x-4y=7$是二元一次整式方程，所有项的分母都没有未知数，不符合要求；
C选项：方程$2x=3(x-5)$是一元一次整式方程，不存在含未知数的分母，不符合要求；
D选项：方程$\frac{4}{x-2}=1$的分母为$x-2$，含有未知数$x$，符合分式方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
1.分式方程的定义
2.整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，解题的关键是牢牢抓住“分母含未知数”这一分式方程的核心判定特征，不要将分母为常数的分数系数整式方程误判为分式方程，熟练掌握概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 解分式方程 $1 - \frac{1}{3x - 1} = -\frac{5}{2 - 6x}$ 时，去分母变形正确的是（
A.$2 - 6x + 2 = -5$
B.$6x - 2 - 2 = -5$
C.$2 - 6x - 1 = 5$
D.$6x - 2 + 1 = 5$
A
）。A.$2 - 6x + 2 = -5$
B.$6x - 2 - 2 = -5$
C.$2 - 6x - 1 = 5$
D.$6x - 2 + 1 = 5$
答案
2.A
解析
【分析】
要解决分式方程去分母的问题，首先需要确定各分式分母的最简公分母，再将方程两边每一项都乘以最简公分母，约掉分母即可。解题时要注意两点：一是不含分母的常数项不能漏乘公分母，二是要注意分母符号带来的运算符号变化。本题中先观察分母：3x-1和2-6x，可发现2-6x=-2(3x-1)，因此最简公分母可以取2-6x，两边同时乘2-6x进行计算即可。
【解析】
步骤1：分析分母关系
观察两个分式的分母：$3x-1$和$2-6x$，变形得$2-6x=-2(3x-1)$，因此最简公分母为$2-6x$。
步骤2：方程两边同时乘最简公分母（每一项都要乘，$2-6x≠0$）
原方程$1 - \frac{1}{3x - 1} = -\frac{5}{2 - 6x}$两边同时乘$2-6x$：
第一项：$1×(2-6x)=2-6x$
第二项：$-\frac{1}{3x-1}×(2-6x) = -\frac{1}{3x-1}×[-2(3x-1)] = 2$
右边：$-\frac{5}{2-6x}×(2-6x) = -5$
步骤3：合并得到去分母后的式子
将各项结果合并，得$2 - 6x + 2 = -5$，与选项A一致。
【答案】
A
【知识点】
分式方程去分母、最简公分母确定、符号运算
【点评】
本题属于分式方程的基础考查题，易错点在于去分母时常数项漏乘公分母，或者处理负分母时符号计算错误，解题时先梳理清楚分母的倍数关系，再逐项计算核对即可避免出错。
【难度系数】
0.7
要解决分式方程去分母的问题，首先需要确定各分式分母的最简公分母，再将方程两边每一项都乘以最简公分母，约掉分母即可。解题时要注意两点：一是不含分母的常数项不能漏乘公分母，二是要注意分母符号带来的运算符号变化。本题中先观察分母：3x-1和2-6x，可发现2-6x=-2(3x-1)，因此最简公分母可以取2-6x，两边同时乘2-6x进行计算即可。
【解析】
步骤1：分析分母关系
观察两个分式的分母：$3x-1$和$2-6x$，变形得$2-6x=-2(3x-1)$，因此最简公分母为$2-6x$。
步骤2：方程两边同时乘最简公分母（每一项都要乘，$2-6x≠0$）
原方程$1 - \frac{1}{3x - 1} = -\frac{5}{2 - 6x}$两边同时乘$2-6x$：
第一项：$1×(2-6x)=2-6x$
第二项：$-\frac{1}{3x-1}×(2-6x) = -\frac{1}{3x-1}×[-2(3x-1)] = 2$
右边：$-\frac{5}{2-6x}×(2-6x) = -5$
步骤3：合并得到去分母后的式子
将各项结果合并，得$2 - 6x + 2 = -5$，与选项A一致。
【答案】
A
【知识点】
分式方程去分母、最简公分母确定、符号运算
【点评】
本题属于分式方程的基础考查题，易错点在于去分母时常数项漏乘公分母，或者处理负分母时符号计算错误，解题时先梳理清楚分母的倍数关系，再逐项计算核对即可避免出错。
【难度系数】
0.7
3. 解分式方程：
(1)$\frac{5}{x+3}=\frac{4}{x}$；
(2)$1-\frac{x}{x-1}=\frac{4}{(x-5)(x-1)}$。
(1)$\frac{5}{x+3}=\frac{4}{x}$；
(2)$1-\frac{x}{x-1}=\frac{4}{(x-5)(x-1)}$。
答案
解 (1)方程两边乘$x(x+3)$,得
$5x=4x+12$。
解得$x=12$。
检验:当$x=12$时,$x(x+3)≠0$,
所以,原分式方程的解为$x=12$。
(2)方程两边乘$(x-5)(x-1)$,得
$(x-5)(x-1)-x(x-5)=4$。
解得$x=1$。
检验:当$x=1$时,$(x-5)(x-1)=0$,
因此$x=1$不是原分式方程的解。
所以,原分式方程无解。
$5x=4x+12$。
解得$x=12$。
检验:当$x=12$时,$x(x+3)≠0$,
所以,原分式方程的解为$x=12$。
(2)方程两边乘$(x-5)(x-1)$,得
$(x-5)(x-1)-x(x-5)=4$。
解得$x=1$。
检验:当$x=1$时,$(x-5)(x-1)=0$,
因此$x=1$不是原分式方程的解。
所以,原分式方程无解。
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是转化思想，将分式方程转化为已学的整式方程求解，具体思考步骤如下：①找各分母的最简公分母：第(1)问分母为$x+3$和$x$，最简公分母是$x(x+3)$；第(2)问分母为$x-1$和$(x-5)(x-1)$，最简公分母是$(x-5)(x-1)$。②方程两边同时乘最简公分母消去分母，注意不要漏乘不含分母的项（如第(2)问的常数项1也要乘公分母）。③解得到的整式方程。④必须检验：去分母会扩大未知数的取值范围，可能产生增根，将求得的解代入最简公分母，若公分母不为0则是原方程的解，若为0则是增根，原方程无解。
【解析】
(1) 方程两边乘最简公分母$x(x+3)$，得：
$5x=4(x+3)$，即$5x=4x+12$
移项解得$x=12$
检验：当$x=12$时，$x(x+3)=12×15=180≠0$，符合分式方程解的要求
所以原分式方程的解为$x=12$。
(2) 方程两边乘最简公分母$(x-5)(x-1)$，得：
$(x-5)(x-1)-x(x-5)=4$
展开左边化简得$-x +5 =4$，解得$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x-5)(x-1)=(-4)×0=0$，因此$x=1$是增根，不是原分式方程的解
所以原分式方程无解。
【答案】
(1)$x=12$；(2)原分式方程无解
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的验根，增根的概念
【点评】
本题是分式方程解法的基础常规题，重点考查转化思想的应用，解题易错点有两个：一是去分母时漏乘不含分母的常数项，二是忘记检验导致误把增根当作原方程的解，牢记验根是分式方程求解必不可少的步骤。
【难度系数】
0.8
解分式方程的核心思路是转化思想，将分式方程转化为已学的整式方程求解，具体思考步骤如下：①找各分母的最简公分母：第(1)问分母为$x+3$和$x$，最简公分母是$x(x+3)$；第(2)问分母为$x-1$和$(x-5)(x-1)$，最简公分母是$(x-5)(x-1)$。②方程两边同时乘最简公分母消去分母，注意不要漏乘不含分母的项（如第(2)问的常数项1也要乘公分母）。③解得到的整式方程。④必须检验：去分母会扩大未知数的取值范围，可能产生增根，将求得的解代入最简公分母，若公分母不为0则是原方程的解，若为0则是增根，原方程无解。
【解析】
(1) 方程两边乘最简公分母$x(x+3)$，得：
$5x=4(x+3)$，即$5x=4x+12$
移项解得$x=12$
检验：当$x=12$时，$x(x+3)=12×15=180≠0$，符合分式方程解的要求
所以原分式方程的解为$x=12$。
(2) 方程两边乘最简公分母$(x-5)(x-1)$，得：
$(x-5)(x-1)-x(x-5)=4$
展开左边化简得$-x +5 =4$，解得$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x-5)(x-1)=(-4)×0=0$，因此$x=1$是增根，不是原分式方程的解
所以原分式方程无解。
【答案】
(1)$x=12$；(2)原分式方程无解
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的验根，增根的概念
【点评】
本题是分式方程解法的基础常规题，重点考查转化思想的应用，解题易错点有两个：一是去分母时漏乘不含分母的常数项，二是忘记检验导致误把增根当作原方程的解，牢记验根是分式方程求解必不可少的步骤。
【难度系数】
0.8
