课堂解析
知识点一 等式的性质
1.关于等式的两个基本事实
(1)等式两边可以交换.如果$a=b$，那么.
(2)相等关系可以传递.如果$a=b,b=c$，那么.
2.等式的性质1:等式两边加(或减)，结果仍相等.
如果$a=b$，那么$a\pm c=$.
3.等式的性质2:等式两边乘，或除以，结果仍相等.
如果$a=b$，那么$ac=\_\_\_\_\_\_=\frac{b}{c}$.

1.(1) b=a (2) a=c
2. 同一个数(或式子)，$b\pm c$
3. 同一个数，同一个不为0的数，$bc$，$\frac{a}{c}$

【分析】
这道题考查等式的基本事实与等式的性质相关基础概念，所有填空内容均来自教材定义，解题时对应回忆相关知识点即可：①先回忆等式的两个基本事实：对称性、传递性，对应填写第1题的两个空；②再回忆等式性质1的内容，明确加减的是同一个数或式子，对应填写第2题的空；③最后回忆等式性质2的内容，注意除数不能为0的限制条件，对应填写第3题的空即可。
【解析】
1. (1) 等式具有对称性，等式两边可以交换位置，因此如果$a=b$，那么$b=a$；
(2) 相等关系具有传递性，如果$a=b$，$b=c$，那么$a=c$；
2. 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等，因此如果$a=b$，那么$a\pm c = b\pm c$；
3. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，因此如果$a=b$，那么$ac=bc$，$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$（$c≠0$）。
【答案】
1.(1) $b=a$ (2) $a=c$
2. 同一个数(或式子)，$b\pm c$
3. 同一个数，同一个不为0的数，$bc$，$\frac{a}{c}$
【知识点】
等式的基本事实，等式的性质1，等式的性质2
【点评】
本题属于基础概念识记类题型，主要考查对等式相关性质的掌握程度，相关内容是后续解方程的核心基础，熟练记忆教材定义即可快速得分。
【难度系数】
0.9

【例1】已知$a=b$，则下列等式不一定成立的是().

A.$ac=bc$
B.$-a+\frac{1}{2}=0.5-b$
C.$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$
D.$2a-5=-5+2b$
总结 当等式两边除以同一个数时，要先判断这个数是否为0，若确定该数不为0，则该变形正确，否则错误。

C

【分析】
本题考查等式的性质的应用，解题思路如下：首先明确等式的两个基本性质，尤其要注意等式两边同时除以同一个数时，该数不能为0，否则除法无意义。再逐个对选项中的等式变形进行验证，判断变形是否符合等式的性质，是否存在不成立的情况，即可选出正确答案。
【解析】
首先回顾等式的基本性质：
性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；
性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
我们逐个分析选项：
A选项：已知$a=b$，等式两边同时乘$c$，符合等式性质2，可得$ac=bc$，该等式一定成立，不符合题意。
B选项：已知$a=b$，先在等式两边同时乘$-1$，得$-a=-b$，再在两边同时加$0.5$（即$\frac{1}{2}$），符合等式性质1和2，可得$-a+\frac{1}{2}=0.5-b$，该等式一定成立，不符合题意。
C选项：若等式$\frac{a}{c}=\frac{b}{c}$成立，需要等式两边同时除以$c$，但当$c=0$时，分母为0，除法无意义，因此只有当$c≠0$时该等式成立，$c=0$时不成立，所以该等式不一定成立，符合题意。
D选项：已知$a=b$，先在等式两边同时乘2，得$2a=2b$，再在两边同时减5，符合等式性质1和2，可得$2a-5=-5+2b$，该等式一定成立，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
等式的基本性质、0不能作除数
【点评】
本题是等式性质的基础考查题型，易错点是容易忽略等式两边同时除以的数不能为0的要求，只要牢记这个限制条件，就能快速判断出正确选项。
【难度系数】
0.8

● 跟踪练习 1 说明下列等式变形的依据：
(1)若 $ x = 0.5 $，则 $ 2x = 1 $，依据是；
(2)若 $ x - 3 = 2 $，则 $ x - 3 + 3 = 2 + 3 $，依据是；
(3)若 $ 4x = 8 $，则 $ x = 2 $，依据是。

(1) 等式的性质 2
(2) 等式的性质 1
(3) 等式的性质 2

【分析】
解决本题首先要熟记等式的两个基本性质，明确二者的区别：等式性质1适用于等式两边加减同一个数（或式子）的变形，等式性质2适用于等式两边乘除同一个数（除数不为0）的变形。接下来逐个分析每个小题的变形操作：
1. 第(1)题是将原等式两边同时乘2，属于乘同一个数的变形，对应等式性质2；
2. 第(2)题是将原等式两边同时加3，属于加同一个数的变形，对应等式性质1；
3. 第(3)题是将原等式两边同时除以4（4不为0），属于除以同一个不为0的数的变形，对应等式性质2。
【解析】
首先明确等式的两个基本性质：
性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；
性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
(1) 由$x=0.5$变形得到$2x=1$，是将等式两边同时乘2，符合等式的性质2；
(2) 由$x-3=2$变形得到$x-3+3=2+3$，是将等式两边同时加3，符合等式的性质1；
(3) 由$4x=8$变形得到$x=2$，是将等式两边同时除以4（4≠0），符合等式的性质2。
【答案】
(1) 等式的性质 2
(2) 等式的性质 1
(3) 等式的性质 2
【知识点】
等式的性质1；等式的性质2；等式变形依据
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对等式基本性质的理解与区分，只要准确掌握两个性质的适用场景，就能快速判断变形依据，是后续解一元一次方程的重要基础。
【难度系数】
0.9

4.解以$x$为未知数的方程，就是把方程逐步转化为（$m$是常数）的形式。
是转化的重要依据。

4. x=m，等式的性质

【分析】
首先思考解方程的最终目标：解以x为未知数的方程，核心是求出x的取值，所以最终要把x单独放在等号的一侧，另一侧为常数，也就是x=m（m是常数）的形式。再思考变形的依据：对方程做每一步变形时，都要保证变形前后等式仍然成立、方程的解不变，这个变形的规则就是等式的性质，它是方程变形的核心依据。
【解析】
解以x为未知数的方程，最终目的是确定x的取值，需要通过逐步变形，将含x的项整理到等号一侧，常数项整理到另一侧，最终转化为x=m（m是常数）的形式；方程的每一步变形都需要符合等式的运算规律，因此等式的性质是转化的重要依据。
【答案】
x=m，等式的性质
【知识点】
1. 解方程的本质
2. 等式的性质
【点评】
本题是对解方程基础原理的考查，属于概念类基础题，掌握该内容是学习解各类方程的重要前提。
【难度系数】
0.9

【例2】 利用等式的性质解下列方程，
并检验：
(1)$2x+1=5$； (2)$-\dfrac{1}{2}x=-\dfrac{3}{2}x+4$.
总结 利用等式的性质解方程：
①利用等式的性质1，将含有未知数的项与常数项分别放在等号两边，即把方程转化为$ax=b\ (a≠0)$的形式；
②利用等式的性质2，将未知数的系数化为1，即把方程转化为$x=m\ (m是常数)$的形式。

解:(1)方程两边减 1,得 $2x=4$.
方程两边除以 2,得 $x=2$.
检验:当 $x=2$ 时,左边=5,方程左、右两边的值相等,
所以 $x=2$ 是方程的解.
(2)方程两边加$\frac{3}{2}x$,得 $x=4$.
检验:当 $x=4$ 时,左边$=-2$,右边$=-2$,方程左、右两边的值相等,
所以 $x=4$ 是方程的解.

【分析】
解题核心是依据等式的两个性质逐步化简方程：第一步先用等式的性质1，将含未知数的项和常数项分别移到等号两侧，转化为$ax=b(a≠0)$的形式；第二步用等式的性质2将未知数的系数化为1，得到方程的解；最后把解代入原方程，检验左右两边是否相等，确认解的正确性。
针对第(1)题：先消去左侧的常数项1，给方程两边同时减1得到$2x=4$，再给两边同时除以2将系数化为1即可；针对第(2)题：等号两侧都有含x的项，给两边同时加$\frac{3}{2}x$，消去右侧的含x项，合并同类项后直接得到x的值，最后分别检验两个解即可。
【解析】
(1)方程两边减 1，得 $2x=4$。
方程两边除以 2，得 $x=2$。
检验：当 $x=2$ 时，左边$=2×2+1=5$，右边$=5$，方程左、右两边的值相等，
所以 $x=2$ 是方程的解。
(2)方程两边加$\frac{3}{2}x$，得 $x=4$。
检验：当 $x=4$ 时，左边$=-\dfrac{1}{2}×4=-2$，右边$=-\dfrac{3}{2}×4+4=-2$，方程左、右两边的值相等，
所以 $x=4$ 是方程的解。
【答案】
(1)$x=2$；(2)$x=4$
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程；方程的检验
【点评】
本题是解方程的基础题型，重点考察等式性质的规范使用，解题时每一步变形都要符合等式性质的要求，养成解后检验的习惯，能有效减少计算错误。
【难度系数】
0.8

●跟踪练习2 利用等式的性质解下列方程：
(1)$3 - 2x = 9$；
(2)$\frac{1}{2}x - 2 = 4 + \frac{1}{3}x$。

(1) $x=-3$
(2) $x=36$

【分析】
解这类方程的核心是利用等式的两条基本性质，逐步将方程变形为“x=a”的最简形式。等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题时先将含x的项统一移到等式一侧，常数项移到另一侧，再将x的系数化为1即可得到方程的解。
【解析】
(1) 解方程$3 - 2x = 9$：
① 根据等式性质1，两边同时减去3，得：
$3 - 2x - 3 = 9 - 3$，化简得$-2x = 6$；
② 根据等式性质2，两边同时除以$-2$，得：
$\frac{-2x}{-2} = \frac{6}{-2}$，解得$x = -3$。
(2) 解方程$\frac{1}{2}x - 2 = 4 + \frac{1}{3}x$：
① 根据等式性质1，两边同时加上2，得：
$\frac{1}{2}x - 2 + 2 = 4 + \frac{1}{3}x + 2$，化简得$\frac{1}{2}x = 6 + \frac{1}{3}x$；
② 根据等式性质1，两边同时减去$\frac{1}{3}x$，得：
$\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x = 6 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}x$，合并同类项得$\frac{1}{6}x = 6$；
③ 根据等式性质2，两边同时乘以6，得：
$\frac{1}{6}x × 6 = 6 × 6$，解得$x = 36$。
【答案】
(1) $x=-3$；(2) $x=36$
【知识点】
等式的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是运用等式性质解方程的基础题型，解题过程中每一步变形都要严格遵循等式性质，合并同类项、系数化为1时注意符号和运算准确性即可。
【难度系数】
0.8