1. 若 $3a = 2b$，则下列变形正确的是（）.

A.$3a + a = 2b + b$
B.$3a + 2b = 0$
C.$2a - 3b = 0$
D.$4a = 2b + a$

1. D

【分析】
解题时需依据等式的基本性质来判断各选项的变形是否正确。已知条件为3a=2b，我们逐一验证每个选项的变形是否满足“等式两边同时加/减同一个数（或式子），等式仍然成立”的规则，若变形符合规则则正确，反之错误。
【解析】
已知$3a = 2b$，结合等式的性质逐一分析选项：
选项A：等式左边加$a$，右边加$b$，$a$和$b$不一定相等，不符合等式两边加同一个式子的要求，变形错误；
选项B：将$2b$移到等式左边应得$3a - 2b = 0$，而非$3a + 2b = 0$，变形错误；
选项C：由$3a=2b$移项可得$3a - 2b = 0$，与选项中$2a - 3b = 0$不符，变形错误；
选项D：等式两边同时加$a$，左边为$3a + a = 4a$，右边为$2b + a$，即$4a = 2b + a$，符合等式的性质，变形正确。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质；等式的变形
【点评】
本题重点考查等式性质的基础应用，需注意等式变形时两边必须进行完全相同的加减运算，移项时要注意符号变化，属于等式变形的基础训练题。
【难度系数】
0.8

2. 下列式子变形正确的是().

A.由 $8+x=10$, 得 $x=10+8$
B.由 $3x-5=4x$, 得 $3x-4x=5$
C.由 $5x=5$, 得 $x=5$
D.由 $6x=4-3x$, 得 $6x-3x=4$

2. B

【分析】
本题考查等式性质的应用，解题核心是掌握两个变形规则：一是移项变号，即将等式某一边的项移到另一边时，符号要变为相反；二是等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。我们可以用这两个规则逐一排查每个选项的变形是否正确。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 对于等式$8+x=10$，将左边的$+8$移到等式右边需变号为$-8$，得$x=10-8$，故A变形错误。
B. 对于等式$3x-5=4x$，将右边的$4x$移到左边变号为$-4x$，左边的$-5$移到右边变号为$+5$，得$3x-4x=5$，故B变形正确。
C. 对于等式$5x=5$，等式两边同时除以5，得$x=5÷5=1$，故C变形错误。
D. 对于等式$6x=4-3x$，将右边的$-3x$移到左边需变号为$+3x$，得$6x+3x=4$，故D变形错误。
综上，变形正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质；移项法则
【点评】
本题是等式变形的基础题型，易错点为移项时忽略变号，或者等式两边同时除以系数时计算出错，做题时要注意每一步变形都要符合等式的性质，避免凭直觉随意变形。
【难度系数】
0.8

3.将方程$-\frac{1}{2}x + y = 1$中$x$的系数变为5，则下列变形正确的是（）.

A.$5x + 10y = 10$
B.$5x - 10y = 10$
C.$5x + y = 1$
D.$5x - 10y = -10$

3. D

【分析】
要将方程中x的系数从$-\frac{1}{2}$变为5，首先计算需要给x项乘的数：$5÷(-\frac{1}{2})=-10$。根据等式的性质，等式两边同时乘同一个非零数，等式仍然成立，因此需要给原方程左右两边的每一项都同时乘-10，再化简判断选项即可。解题时注意不要漏乘不含x的项，也要注意符号的变化。
【解析】
原方程为 $-\frac{1}{2}x + y = 1$，
要将x的系数变为5，需给方程左右两边同时乘-10：
左边：$-\frac{1}{2}x × (-10) + y × (-10) = 5x - 10y$，
右边：$1 × (-10) = -10$，
变形后方程为 $5x - 10y = -10$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质，方程的变形
【点评】
本题考查方程的变形规则，解题的关键是明确变形时等式两边的每一项都要乘同一个非零数，避免出现漏乘常数项、漏乘其他未知数项或者符号处理错误的问题。
【难度系数】
0.7

4.在下列各题的横线上填上适当的数或整式,使所得结果仍是等式,并说明是根据等式的哪一条性质以及是怎样变形的.
(1)若$-2x=2y$,则$x=$,根据;
(2)若$\frac{2}{3}x=4$,则$x=$,根据;
(3)若$x=3x+2$,则$x-$$=2$,根据.

4.(1) $-y$，等式的性质 2,两边除以-2
(2) 6，等式的性质 2,两边乘$\frac{3}{2}$
(3) $3x$，等式的性质 1,两边减 3x

【分析】
本题考查等式性质的应用，解题思路为：首先明确等式的两条基本性质：性质1是等式两边加（或减）同一个数（或整式），等式仍成立；性质2是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立。再观察每个小题中等式到目标形式需要进行的运算，将等式两边同时做相同的运算即可，变形时注意符合性质的要求。
(1) 左边为-2x，要得到x，需两边同时除以-2，对应等式性质2；
(2) 左边为$\frac{2}{3}x$，要得到x，需两边同时乘$\frac{3}{2}$，对应等式性质2；
(3) 右边有3x，要得到右边为2的形式，需两边同时减去3x，对应等式性质1。
【解析】
(1) 根据等式的性质2，等式两边同时除以同一个不为0的数-2，等式仍然成立。将$-2x=2y$两边同时除以-2，可得$x = 2y÷(-2) = -y$；
(2) 根据等式的性质2，等式两边同时乘同一个数$\frac{3}{2}$，等式仍然成立。将$\frac{2}{3}x=4$两边同时乘$\frac{3}{2}$，可得$x = 4×\frac{3}{2} = 6$；
(3) 根据等式的性质1，等式两边同时减去同一个整式3x，等式仍然成立。将$x=3x+2$两边同时减去3x，可得$x - 3x = 2$。
【答案】
(1) $-y$，等式的性质 2,两边除以-2
(2) 6，等式的性质 2,两边乘$\frac{3}{2}$
(3) $3x$，等式的性质 1,两边减 3x
【知识点】
等式的性质1，等式的性质2，等式变形
【点评】
本题属于等式性质的基础应用类题目，重点考查对等式两条性质的理解和运用能力，解题时需注意变形要保证等式两边同时进行相同的运算，运用等式性质2时要确保除以的数不为0。
【难度系数】
0.85

5.如图，天平左边放5个小球，右边放8 g的砝码和2个小球，天平恰好平衡.如果设1个小球的质量为a g，请你列出一个含有未知数a的方程：，根据等式的性质解方程可得a=.

5. $5a=8+2a$，$\frac{8}{3}$

【分析】
解题时首先抓住天平平衡的核心特征：天平平衡说明左右托盘的总质量相等。先分别表示两边的总质量：左边有5个小球，每个质量为a g，总质量为5a g；右边有8g砝码和2个小球，总质量为(8+2a)g，根据两边质量相等即可列出方程。解方程时依据等式的性质，先消去一侧的含未知数项，再将未知数系数化为1，即可求出a的值。
【解析】
1. 列方程：
天平平衡时左右两边质量相等，左边总质量为$5a$ g，右边总质量为$(8+2a)$ g，因此可得方程：
$\boldsymbol{5a = 8 + 2a}$
2. 解方程：
根据等式的性质1，等式两边同时减去$2a$，得：
$5a - 2a = 8 + 2a - 2a$
化简得：$3a = 8$
再根据等式的性质2，等式两边同时除以3，得：
$\boldsymbol{a = \frac{8}{3}}$
【答案】
$5a=8+2a$；$\frac{8}{3}$
【知识点】
天平平衡原理、列一元一次方程、等式的性质
【点评】
本题结合天平的直观情境，考查学生找等量关系列方程、利用等式性质解方程的能力，解题关键是准确理解天平平衡的含义，正确表示两边总质量建立等量关系。
【难度系数】
0.8

6.已知$a=2b-1$，则下列式子中，一定成立的是().
①$a+2=2b+1$；②$\frac{a+1}{2}=b$；③$3a=6b-1$；④$a-2b-1=0$.

A.①②
B.①②③
C.①②④
D.①②③④

6. A

【分析】
本题考查等式性质的应用，解题思路为：根据已知的等式a=2b-1，利用等式的基本性质对四个式子逐一变形验证，判断每个式子是否成立，最终筛选出全部成立的选项即可。
【解析】
已知a=2b-1，逐一验证四个式子：
1. 验证①：等式两边同时加2，左边为a+2，右边为2b-1+2=2b+1，可得a+2=2b+1，故①成立；
2. 验证②：等式两边先同时加1，得a+1=2b，再两边同时除以2，可得$\frac{a+1}{2}=b$，故②成立；
3. 验证③：等式两边同时乘3，左边为3a，右边为3×(2b-1)=6b-3≠6b-1，故③不成立；
4. 验证④：将等式移项得a-2b+1=0≠a-2b-1=0，故④不成立。
综上，成立的是①②，对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
等式的基本性质，代数式变形
【点评】
本题属于等式性质的基础应用题型，解题核心是熟练掌握等式变形的规则，注意等式两边同时乘一个数时不要漏乘项，移项时要变号，避免因粗心导致错误。
【难度系数】
0.8

7.已知$8m + 3n + 2 = 4m + 7n$，利用等式的性质比较$m$与$n$的大小：$m$$n$（填“＞”“＜”或“=”）。

7. ＜

【分析】
要比较m和n的大小，我们可以利用等式的性质对已知等式进行变形，将含m、n的项分别移到等式两侧，整理得到m与n的数量关系，就能判断二者的大小。首先通过等式的性质1，把同类项移到等式对应侧，再化简得到m和n的差的正负性即可。
【解析】
已知等式：$8m + 3n + 2 = 4m + 7n$
1. 根据等式的性质1，等式两边同时减去$4m+3n$，得：
$8m + 3n + 2 - (4m + 3n) = 4m + 7n - (4m + 3n)$
化简后得到：$4m + 2 = 4n$
2. 整理式子得到m和n的差的关系：
将含m的项移到右侧，得$4n - 4m = 2$，提取公因式得$4(n - m) = 2$
3. 根据等式的性质2，等式两边同时除以4，得：
$n - m = 0.5$
因为$0.5＞0$，所以$n＞m$，即$m＜n$。
【答案】
＜
【知识点】
等式的性质；代数式大小比较
【点评】
本题核心是对等式性质的灵活运用，通过合理变形得到两个未知数的差的正负性即可判断大小，解题时注意移项要变号的规则，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8

8.小英学习了等式的性质后，对等式$5m - 2 = 3m - 2$进行变形，得出“$5 = 3$”的错误结论，但她找不到错误原因，你能帮助她找到原因吗？小英的具体计算过程如下图所示。

(1)哪一步等式变形开始出现错误？
(2)请你分析产生错误的原因。

8. 解:(1)第②步.
(2)第②步产生错误的原因:等式两边除以一个可能等于0的m,等式不成立.

【分析】
要判断等式变形的正误，需结合等式的性质逐步分析：首先看第①步，是等式两边同时加2，符合等式的性质1，变形是正确的，得到$5m=3m$后可推导得出$m=0$；第②步直接在等式两边同时除以$m$，此时要考虑$m$的取值是否符合等式性质2的要求：等式两边同时除以的数必须不为0，才能保证等式仍然成立，由此即可找到错误步骤和原因。
【解析】
(1) 对两步变形逐一验证：
第①步：等式$5m-2=3m-2$两边同时加2，根据等式的性质1，可得$5m=3m$，变形正确；
第②步：对$5m=3m$两边同时除以$m$得到$5=3$，该步变形错误，因此第②步开始出现错误。
(2) 错误原因分析：根据等式的性质2，等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。由$5m=3m$移项可得$2m=0$，即$m=0$，第②步变形时等式两边除以的$m$等于0，不符合等式性质2的要求，因此该变形不成立，得出了错误结论。
【答案】
(1)第②步。
(2)第②步产生错误的原因:等式两边除以一个可能等于0的m,等式不成立。
【知识点】
1. 等式的性质
2. 等式变形规则
【点评】
本题考查等式性质的实际应用，易错点是忽略等式两边同时除以同一个数时，必须保证这个数不为0，这是进行等式变形时需要重点关注的前提条件。
【难度系数】
0.7

9.设，●，△分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么以下方案不正确的是（）。


A.△△△△
B.△△△△△
C.●●△
D.●△△△

9. A

【分析】
天平平衡代表左右两侧物体重量相等，我们可以先设三种物体的重量分别为未知数，根据前两架天平的平衡关系列出等式，再利用等式的性质推导三种物体重量的数量关系，最后计算第三架天平左侧的总重量，逐一核对选项即可找出不正确的方案。
【解析】
设的重量为$x$，●的重量为$y$，△的重量为$z$。
根据天平(1)平衡可得：$x + z = 2y$ ①
根据天平(2)平衡可得：$y + z = x$ ②
将②代入①得：$(y+z) + z = 2y$
整理计算：$y + 2z = 2y$，解得$y=2z$。
把$y=2z$代入②得：$x = 2z + z = 3z$。
第三架天平左侧总重量为$x+y$，代入得：$x+y=3z+2z=5z$。
逐一判断选项：
A. $4z ≠ 5z$，不满足平衡要求；
B. $5z=5z$，满足平衡要求；
C. $2y + z=2×2z + z=5z$，满足平衡要求；
D. $y + 3z=2z+3z=5z$，满足平衡要求。
因此不正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质，等量代换
【点评】
本题结合天平平衡的生活情景考查等量关系的推导，解题核心是先通过已知平衡关系得到不同物体的重量换算关系，再验证第三架天平的平衡条件，解题时注意题干要求选择的是“不正确”的方案，避免因审题粗心出错。
【难度系数】
0.7