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18. 已知$10^m = 20$，$10^n = 4$。
（1）当$10^{2m - n} = 10^a$时，求$a$的值；
（2）求$2^{6m} ÷ 8^n$的值。
（1）当$10^{2m - n} = 10^a$时，求$a$的值；
（2）求$2^{6m} ÷ 8^n$的值。
答案
18. (1) $\because 10^m = 20, 10^n = 4, \therefore 10^{2m-n} = 10^{2m} ÷ 10^n = (10^m)^2 ÷ 10^n = 20^2 ÷ 4 = 100. \because 10^{2m-n} = 10^a, \therefore 10^a = 100. \therefore a=2$
(2) 由(1)知,$2m-n=2, \therefore 2^{6m} ÷ 8^n = 2^{6m} ÷ (2^3)^n = 2^{6m} ÷ 2^{3n} = 2^{6m-3n} = 2^{3(2m-n)} = 2^{3×2} = 64$
(2) 由(1)知,$2m-n=2, \therefore 2^{6m} ÷ 8^n = 2^{6m} ÷ (2^3)^n = 2^{6m} ÷ 2^{3n} = 2^{6m-3n} = 2^{3(2m-n)} = 2^{3×2} = 64$
解析
【分析】
本题两小问均围绕幂的运算法则展开求解：
（1）求a的值时，先利用同底数幂的除法逆运算法则，将$10^{2m-n}$拆分为$10^{2m}÷10^n$，再结合幂的乘方逆运算法则，把$10^{2m}$转化为$(10^m)^2$，代入已知的$10^m$、$10^n$的值计算出结果，最后根据“底数相同的幂相等时，指数相等”即可求出a的值。
（2）求$2^{6m}÷8^n$的值时，先将底数8转化为$2^3$统一底数，再利用幂的乘方法则和同底数幂的除法法则，将式子的指数整理为$3(2m-n)$，结合（1）中得到的$2m-n=2$代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 已知$10^m = 20$，$10^n = 4$，根据幂的运算法则可得：
$10^{2m-n} = 10^{2m} ÷ 10^n = (10^m)^2 ÷ 10^n$
将$10^m = 20$，$10^n = 4$代入得：
原式$=20^2 ÷ 4 = 400 ÷ 4 = 100 = 10^2$
又$\because 10^{2m-n} = 10^a$，$\therefore 10^a = 10^2$，即$a=2$。
(2) 由(1)可知$2m - n = 2$，先将式子的底数统一为2：
$2^{6m} ÷ 8^n = 2^{6m} ÷ (2^3)^n$
根据幂的乘方法则得$(2^3)^n = 2^{3n}$，因此：
原式$=2^{6m} ÷ 2^{3n} = 2^{6m - 3n} = 2^{3(2m - n)}$
将$2m - n = 2$代入得：
原式$=2^{3×2} = 2^6 = 64$。
【答案】
(1) $a=2$；(2) $64$
【知识点】
同底数幂的除法；幂的乘方；幂的性质
【点评】
本题重点考查幂的运算法则的灵活运用，包括法则的正用与逆用，解题的核心是将待求式通过变形转化为含已知条件的形式再代入计算，是幂运算模块的典型基础题型，熟练掌握运算法则即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
本题两小问均围绕幂的运算法则展开求解：
（1）求a的值时，先利用同底数幂的除法逆运算法则，将$10^{2m-n}$拆分为$10^{2m}÷10^n$，再结合幂的乘方逆运算法则，把$10^{2m}$转化为$(10^m)^2$，代入已知的$10^m$、$10^n$的值计算出结果，最后根据“底数相同的幂相等时，指数相等”即可求出a的值。
（2）求$2^{6m}÷8^n$的值时，先将底数8转化为$2^3$统一底数，再利用幂的乘方法则和同底数幂的除法法则，将式子的指数整理为$3(2m-n)$，结合（1）中得到的$2m-n=2$代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 已知$10^m = 20$，$10^n = 4$，根据幂的运算法则可得：
$10^{2m-n} = 10^{2m} ÷ 10^n = (10^m)^2 ÷ 10^n$
将$10^m = 20$，$10^n = 4$代入得：
原式$=20^2 ÷ 4 = 400 ÷ 4 = 100 = 10^2$
又$\because 10^{2m-n} = 10^a$，$\therefore 10^a = 10^2$，即$a=2$。
(2) 由(1)可知$2m - n = 2$，先将式子的底数统一为2：
$2^{6m} ÷ 8^n = 2^{6m} ÷ (2^3)^n$
根据幂的乘方法则得$(2^3)^n = 2^{3n}$，因此：
原式$=2^{6m} ÷ 2^{3n} = 2^{6m - 3n} = 2^{3(2m - n)}$
将$2m - n = 2$代入得：
原式$=2^{3×2} = 2^6 = 64$。
【答案】
(1) $a=2$；(2) $64$
【知识点】
同底数幂的除法；幂的乘方；幂的性质
【点评】
本题重点考查幂的运算法则的灵活运用，包括法则的正用与逆用，解题的核心是将待求式通过变形转化为含已知条件的形式再代入计算，是幂运算模块的典型基础题型，熟练掌握运算法则即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
1.（湖北中考）计算$2x · 3x^2$的结果是 【 】
A.$5x^2$
B.$6x^2$
C.$5x^3$
D.$6x^3$
A.$5x^2$
B.$6x^2$
C.$5x^3$
D.$6x^3$
答案
D
解析
【分析】
首先判断本题考查单项式乘单项式的运算，回忆单项式乘单项式的运算法则：第一步先计算各单项式系数的乘积，作为积的系数；第二步计算同底数幂的乘积，遵循底数不变、指数相加的规则；最后将两部分结果相乘得到最终的积，再对照选项选出答案即可。
【解析】
根据单项式与单项式相乘的运算法则计算：
首先计算系数的乘积：$2 × 3 = 6$
再计算同底数幂的乘积：$x · x^2 = x^{1+2} = x^3$
将两部分结果相乘可得：$2x · 3x^2 = 6x^3$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘单项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查单项式乘法的运算法则，只要牢记运算规则，注意不要混淆系数运算和指数运算的规律，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
首先判断本题考查单项式乘单项式的运算，回忆单项式乘单项式的运算法则：第一步先计算各单项式系数的乘积，作为积的系数；第二步计算同底数幂的乘积，遵循底数不变、指数相加的规则；最后将两部分结果相乘得到最终的积，再对照选项选出答案即可。
【解析】
根据单项式与单项式相乘的运算法则计算：
首先计算系数的乘积：$2 × 3 = 6$
再计算同底数幂的乘积：$x · x^2 = x^{1+2} = x^3$
将两部分结果相乘可得：$2x · 3x^2 = 6x^3$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘单项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查单项式乘法的运算法则，只要牢记运算规则，注意不要混淆系数运算和指数运算的规律，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
2. 下列各式中，计算正确的是 【 】
A.$6x^2 · 3xy = 9x^3 y$
B.$(2ab^2)(-3ab) = -a^2 b^3$
C.$3a^3 · 9a^4 = 27a^{12}$
D.$-3x^2 y(-3xy) = 9x^3 y^2$
A.$6x^2 · 3xy = 9x^3 y$
B.$(2ab^2)(-3ab) = -a^2 b^3$
C.$3a^3 · 9a^4 = 27a^{12}$
D.$-3x^2 y(-3xy) = 9x^3 y^2$
答案
D
解析
【分析】
本题考查单项式乘单项式的运算，解题思路如下：首先回忆单项式乘单项式的运算规则：①将两个单项式的系数相乘，作为积的系数；②同底数幂分别相乘，底数不变，指数相加；③仅在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式。接下来依次计算每个选项的结果，和选项给出的结果对比，排除错误选项就能选出正确答案。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算规则逐一计算：
A选项：$6x^2 · 3xy = (6×3)·(x^2·x)·y = 18x^3y$，和选项给出的$9x^3y$不符，A错误。
B选项：$(2ab^2)(-3ab) = [2×(-3)]·(a·a)·(b^2·b) = -6a^2b^3$，和选项给出的$-a^2b^3$不符，B错误。
C选项：$3a^3 · 9a^4 = (3×9)·(a^3·a^4) = 27a^{3+4}=27a^7$，和选项给出的$27a^{12}$不符，C错误。
D选项：$-3x^2 y(-3xy) = [(-3)×(-3)]·(x^2·x)·(y·y) = 9x^3y^2$，和选项给出的结果一致，D正确。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘单项式，同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础运算类题目，易错点集中在系数符号计算错误、同底数幂的指数误做乘法运算，计算时可拆分系数、同底数幂、单独字母三个部分逐一核对，能有效降低出错率。
【难度系数】
0.8
本题考查单项式乘单项式的运算，解题思路如下：首先回忆单项式乘单项式的运算规则：①将两个单项式的系数相乘，作为积的系数；②同底数幂分别相乘，底数不变，指数相加；③仅在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式。接下来依次计算每个选项的结果，和选项给出的结果对比，排除错误选项就能选出正确答案。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算规则逐一计算：
A选项：$6x^2 · 3xy = (6×3)·(x^2·x)·y = 18x^3y$，和选项给出的$9x^3y$不符，A错误。
B选项：$(2ab^2)(-3ab) = [2×(-3)]·(a·a)·(b^2·b) = -6a^2b^3$，和选项给出的$-a^2b^3$不符，B错误。
C选项：$3a^3 · 9a^4 = (3×9)·(a^3·a^4) = 27a^{3+4}=27a^7$，和选项给出的$27a^{12}$不符，C错误。
D选项：$-3x^2 y(-3xy) = [(-3)×(-3)]·(x^2·x)·(y·y) = 9x^3y^2$，和选项给出的结果一致，D正确。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘单项式，同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础运算类题目，易错点集中在系数符号计算错误、同底数幂的指数误做乘法运算，计算时可拆分系数、同底数幂、单独字母三个部分逐一核对，能有效降低出错率。
【难度系数】
0.8
3. 一个长方形工件的两边长分别为$4m^2n$、$3mn^2$(其中$m$、$n$均为正数)，则它的面积是
【 】
A.$7m^2n^2$
B.$6m^2n^2$
C.$12m^3n^3$
D.$6m^3n^3$
【 】
A.$7m^2n^2$
B.$6m^2n^2$
C.$12m^3n^3$
D.$6m^3n^3$
答案
C
解析
【分析】
要计算长方形工件的面积，首先回忆长方形面积公式：面积=长×宽，因此本题实质是计算两个单项式$4m^2n$与$3mn^2$的乘积。解题时按照单项式乘单项式的运算法则逐步计算即可：先把两个单项式的系数相乘，再把同底数幂分别相乘，最后将所得结果合并就是最终的面积，再对应选项选出答案。
【解析】
根据长方形面积公式可得：
$S=4m^2n · 3mn^2$
按照单项式乘单项式的法则计算：
1. 计算系数的乘积：$4 × 3 = 12$
2. 计算同底数幂$m$的乘积：$m^2 · m = m^{2+1} = m^3$
3. 计算同底数幂$n$的乘积：$n · n^2 = n^{1+2} = n^3$
将上述结果合并得：$S=12m^3n^3$
【答案】
C
【知识点】
长方形面积计算；单项式与单项式相乘
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查单项式乘法法则的应用，计算时注意同底数幂相乘是指数相加，避免出现指数相乘或系数相加的低级错误即可正确解答。
【难度系数】
0.8
要计算长方形工件的面积，首先回忆长方形面积公式：面积=长×宽，因此本题实质是计算两个单项式$4m^2n$与$3mn^2$的乘积。解题时按照单项式乘单项式的运算法则逐步计算即可：先把两个单项式的系数相乘，再把同底数幂分别相乘，最后将所得结果合并就是最终的面积，再对应选项选出答案。
【解析】
根据长方形面积公式可得：
$S=4m^2n · 3mn^2$
按照单项式乘单项式的法则计算：
1. 计算系数的乘积：$4 × 3 = 12$
2. 计算同底数幂$m$的乘积：$m^2 · m = m^{2+1} = m^3$
3. 计算同底数幂$n$的乘积：$n · n^2 = n^{1+2} = n^3$
将上述结果合并得：$S=12m^3n^3$
【答案】
C
【知识点】
长方形面积计算；单项式与单项式相乘
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查单项式乘法法则的应用，计算时注意同底数幂相乘是指数相加，避免出现指数相乘或系数相加的低级错误即可正确解答。
【难度系数】
0.8
