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8.若a是有理数,则在①$a+1$,②$|a+1|$,③$|-a|+1$,④$a^2+1$中,一定是正数的有 ()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
逐个分析各式：
1. 对于①$a+1$：当$a=-2$时，$a+1=-1$，是负数，不一定为正数；
2. 对于②$|a+1|$：当$a=-1$时，$|a+1|=0$，0不是正数，不一定为正数；
3. 对于③$|-a|+1$：由绝对值的非负性得$|-a|≥0$，因此$|-a|+1≥1＞0$，一定是正数；
4. 对于④$a^2+1$：由平方的非负性得$a^2≥0$，因此$a^2+1≥1＞0$，一定是正数。
综上，一定是正数的共2个。
1. 对于①$a+1$：当$a=-2$时，$a+1=-1$，是负数，不一定为正数；
2. 对于②$|a+1|$：当$a=-1$时，$|a+1|=0$，0不是正数，不一定为正数；
3. 对于③$|-a|+1$：由绝对值的非负性得$|-a|≥0$，因此$|-a|+1≥1＞0$，一定是正数；
4. 对于④$a^2+1$：由平方的非负性得$a^2≥0$，因此$a^2+1≥1＞0$，一定是正数。
综上，一定是正数的共2个。
9. 在算式$2 - | - 3 □ 5 |$中的$□$所在位置，填入下列哪种运算符号，计算出来的值最大 ()
A.+
B.−
C.×
D.÷
A.+
B.−
C.×
D.÷
答案
D
解析
分别将四个运算符号代入算式计算：
1. 填入+：$2 - |-3 + 5| = 2 - |2| = 2-2=0$
2. 填入-：$2 - |-3 - 5| = 2 - |-8| = 2-8=-6$
3. 填入×：$2 - |-3 × 5| = 2 - |-15| = 2-15=-13$
4. 填入÷：$2 - |-3 ÷ 5| = 2 - |-0.6| = 2-0.6=1.4$
比较结果：$1.4＞0＞-6＞-13$，填入÷时计算结果最大。
1. 填入+：$2 - |-3 + 5| = 2 - |2| = 2-2=0$
2. 填入-：$2 - |-3 - 5| = 2 - |-8| = 2-8=-6$
3. 填入×：$2 - |-3 × 5| = 2 - |-15| = 2-15=-13$
4. 填入÷：$2 - |-3 ÷ 5| = 2 - |-0.6| = 2-0.6=1.4$
比较结果：$1.4＞0＞-6＞-13$，填入÷时计算结果最大。
10. 观察下列算式：$3^1=3,3^2=9,3^3=27,3^4=81,3^5=243,3^6=729,3^7=2187,3^8=6561,···$。通过观察，用你发现的规律确定$3^{2026}$的个位数是（）
A.3
B.9
C.7
D.1
A.3
B.9
C.7
D.1
答案
B
解析
观察算式可得，3的正整数次幂的个位数字以3、9、7、1为一组循环，周期为4。计算2026÷4=506……2，余数为2，对应循环中的第2个个位数字，即9。
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. 一个底面半径为4 cm,高为5 cm的圆柱,将它的侧面沿虚线剪开(如图4所示),剪开后得到一个四边形,这个四边形的面积是 cm²。
11. 一个底面半径为4 cm,高为5 cm的圆柱,将它的侧面沿虚线剪开(如图4所示),剪开后得到一个四边形,这个四边形的面积是 cm²。
答案
$\boldsymbol{40π}$
解析
解：
圆柱侧面展开得到的平行四边形的底边长等于圆柱底面的周长，
底边长为 $2π × 4 = 8π \ \mathrm{cm}$，
该平行四边形的高等于圆柱的高 $5\ \mathrm{cm}$，
因此这个四边形的面积为 $8π × 5 = 40π \ \mathrm{cm}^2$。
圆柱侧面展开得到的平行四边形的底边长等于圆柱底面的周长，
底边长为 $2π × 4 = 8π \ \mathrm{cm}$，
该平行四边形的高等于圆柱的高 $5\ \mathrm{cm}$，
因此这个四边形的面积为 $8π × 5 = 40π \ \mathrm{cm}^2$。
12. 中原熟,天下足。处于中原的河南省一直是我国重要的粮食大省,最近几年粮食总产量更是连续突破130 000 000 000斤,为保证国家粮食安全做出了突出贡献。数据130 000 000 000用科学记数法可表示为。
答案
解：科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为正整数。
将130 000 000 000改写可得$a=1.3$，原数的整数位数为12，因此$n=12-1=11$，
所以数据130 000 000 000用科学记数法可表示为$\boldsymbol{1.3×10^{11}}$。
将130 000 000 000改写可得$a=1.3$，原数的整数位数为12，因此$n=12-1=11$，
所以数据130 000 000 000用科学记数法可表示为$\boldsymbol{1.3×10^{11}}$。
13. 大于-3.5且小于2.5的所有整数的和为。
答案
$\boldsymbol{-3}$
解析
解：大于-3.5且小于2.5的所有整数为：-3，-2，-1，0，1，2。
计算这些整数的和：
$\begin{aligned}(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2&=-3+[(-2)+2]+[(-1)+1]+0\\&=-3+0+0+0\\&=-3\end{aligned}$
计算这些整数的和：
$\begin{aligned}(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2&=-3+[(-2)+2]+[(-1)+1]+0\\&=-3+0+0+0\\&=-3\end{aligned}$
14. 定义一种新运算★，规定运算法则为$a★b = a^b - ab$（$a,b$均为整数，且$a≠0$）。例：$1★2 = 1^2 -1×2 = -1$，则$(-2)★3 =$。
答案
解：根据运算法则，将$a=-2$，$b=3$代入$a★b = a^b - ab$，得
$(-2)★3 = (-2)^3 - (-2)×3$
$= -8 - (-6)$
$= -8 + 6$
$= -2$
$(-2)★3 = (-2)^3 - (-2)×3$
$= -8 - (-6)$
$= -8 + 6$
$= -2$
15. 我们知道，$|x|$表示$x$在数轴上对应的点到原点的距离，我们可以把$|x|$看作$|x-0|$，所以$|x-3|$就表示$x$在数轴上对应的点到3的距离，$|x+1|=|x-(-1)|$就表示$x$在数轴上对应的点到-1的距离。由上面绝对值的几何意义，则$|x-4|+|x+2|$的最小值为。
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
解：由绝对值的几何意义可知：
$|x-4|$表示数轴上对应数$x$的点到数4的距离，
$|x+2|=|x-(-2)|$表示数轴上对应数$x$的点到数$-2$的距离，
因此$|x-4|+|x+2|$表示数轴上对应数$x$的点到数4和数$-2$的距离之和。
当对应数$x$的点落在$-2$和4对应的点之间（包含$-2$和4）时，距离之和取得最小值，最小值为$4 - (-2) = 6$。
$|x-4|$表示数轴上对应数$x$的点到数4的距离，
$|x+2|=|x-(-2)|$表示数轴上对应数$x$的点到数$-2$的距离，
因此$|x-4|+|x+2|$表示数轴上对应数$x$的点到数4和数$-2$的距离之和。
当对应数$x$的点落在$-2$和4对应的点之间（包含$-2$和4）时，距离之和取得最小值，最小值为$4 - (-2) = 6$。
三、解答题(共75分)
16. (9分)(1)把下列各数填入相应的集合里：$-4,\frac{1}{5},-0.7,200\%,0,π,0.\dot{6}\dot{1}$。
整数集合：{ ______…}；
分数集合：{ ______…}；
非负数集合：{ ______…}。
(2)在图5所示的数轴上分别表示下列各数：$1,-(+2),-|-3|,\frac{1^2}{2}$，并把它们用“＜”连接起来。
16. (9分)(1)把下列各数填入相应的集合里：$-4,\frac{1}{5},-0.7,200\%,0,π,0.\dot{6}\dot{1}$。
整数集合：{ ______…}；
分数集合：{ ______…}；
非负数集合：{ ______…}。
(2)在图5所示的数轴上分别表示下列各数：$1,-(+2),-|-3|,\frac{1^2}{2}$，并把它们用“＜”连接起来。
答案
解：
(1) 化简得$200\%=2$，
整数集合：$\{-4, 200\%, 0 \dots\}$；
分数集合：$\{\frac{1}{5}, -0.7, 0.\dot{6}\dot{1} \dots\}$；
非负数集合：$\{\frac{1}{5}, 200\%, 0, π, 0.\dot{6}\dot{1} \dots\}$。
(2) 先化简各数：
$-(+2)=-2$，
$-|-3|=-3$，
$\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}$。
在数轴上对应位置描点标注：在刻度$-3$处标注$-|-3|$，刻度$-2$处标注$-(+2)$，0和1的中点位置标注$\frac{1^2}{2}$，刻度1处标注1。
将各数用“$＜$”连接为：
$-|-3| ＜ -(+2) ＜ \frac{1^2}{2} ＜ 1$。
(1) 化简得$200\%=2$，
整数集合：$\{-4, 200\%, 0 \dots\}$；
分数集合：$\{\frac{1}{5}, -0.7, 0.\dot{6}\dot{1} \dots\}$；
非负数集合：$\{\frac{1}{5}, 200\%, 0, π, 0.\dot{6}\dot{1} \dots\}$。
(2) 先化简各数：
$-(+2)=-2$，
$-|-3|=-3$，
$\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}$。
在数轴上对应位置描点标注：在刻度$-3$处标注$-|-3|$，刻度$-2$处标注$-(+2)$，0和1的中点位置标注$\frac{1^2}{2}$，刻度1处标注1。
将各数用“$＜$”连接为：
$-|-3| ＜ -(+2) ＜ \frac{1^2}{2} ＜ 1$。
