1.如果线段$AB=10\ \mathrm{cm}, MA+MB=15\ \mathrm{cm}$，那么下列说法正确的是()。

A.点$M$在线段$AB$上
B.点$M$在直线$AB$上
C.点$M$在直线$AB$外
D.点$M$可能在直线$AB$上，也可能在直线$AB$外

1.D

【分析】
解题时先分类讨论点M与线段AB的所有位置关系，再逐一验证每种情况是否满足题目的条件：
第一步：先判断点M在线段AB上的情况，若M在线段AB上，那么MA+MB的长度就等于AB的长度，和题干给出的15cm对比，判断是否成立；
第二步：再判断点M在直线AB上但不在线段AB上的情况，通过线段和差计算看是否存在符合条件的M；
第三步：最后判断点M在直线AB外的情况，看是否存在这样的点满足MA+MB=15cm，综合所有成立的情况就能选出正确选项。
【解析】
我们分三种情况讨论点M的位置：
1. 若点M在线段AB上：此时$MA+MB=AB=10\ \mathrm{cm}$，与题干中$MA+MB=15\ \mathrm{cm}$矛盾，故点M不可能在线段AB上，A选项错误；
2. 若点M在直线AB上，且不在线段AB上：例如点M在AB的延长线上，设$MB=x$，则$MA=AB+MB=10+x$，代入$MA+MB=15\ \mathrm{cm}$得$10+x+x=15$，解得$x=2.5\ \mathrm{cm}$，该情况成立，故点M可以在直线AB上；
3. 若点M在直线AB外：此时M、A、B三点可构成三角形，根据三角形两边之和大于第三边的性质，$MA+MB=15\ \mathrm{cm}＞AB=10\ \mathrm{cm}$，满足构成三角形的条件，该情况也成立，故点M也可以在直线AB外。
综上，点M可能在直线AB上，也可能在直线AB外，B、C选项描述太绝对，错误，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
点与直线的位置关系、线段的和差计算、三角形三边关系
【点评】
本题考查分类讨论思想的应用，易错点是思考不全面，只考虑点在直线上或者只考虑点在直线外的单一情况，忽略了两种情况都有可能成立，解题时需对所有可能的位置逐一验证。
【难度系数】
0.7

2.已知线段$AB=8\ \mathrm{cm}$，点$C$是$AB$的中点，点$D$是$BC$的中点，则$A$，$D$两点间的距离是。

2. 6 cm

【分析】
解题时先梳理已知条件：线段AB长8cm，C是AB中点，D是BC中点，要求AD的长度。首先回忆线段中点的定义：中点会把一条线段分成两条长度相等的线段，每段长度是原线段的$\frac{1}{2}$。第一步先根据C是AB的中点，算出AC、BC的长度；第二步再根据D是BC的中点，算出CD的长度；最后利用线段的和的关系，AD的长度等于AC加CD的长度，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵点C是AB的中点，$AB=8\ \mathrm{cm}$
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$
又
∵点D是BC的中点
∴$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$
∴$AD=AC+CD=4+2=6\ \mathrm{cm}$
【答案】
6 cm
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是基础类计算题，解题的核心是熟练运用线段中点的性质，理清各条线段之间的数量关系，计算时注意不要混淆各线段的对应关系即可。
【难度系数】
0.9

3.如图,点D把线段AB从左至右依次分成1:2两部分,点C是AB的中点。若DC=3,求线段AB的长。

3.解:因为 D 把线段 AB 从左至右依次分成 1 : 2两部分,点 C 是 AB 的中点，
所以 $AD=\frac{1}{1+2}AB=\frac{1}{3}AB,AC=\frac{1}{2}AB$，
所以 $DC=\frac{1}{2}AB-\frac{1}{3}AB=\frac{1}{6}AB$。
因为 $DC=3$，
所以 $AB=3×6=18$。

【分析】
解题时先梳理已知条件：首先点D将AB分为1:2的两部分，可推出AD占AB总长的分率；再结合C是AB中点，得到AC占AB总长的分率；观察线段位置可知DC=AC-AD，由此可推出DC与AB的数量关系，最后代入DC的长度即可求出AB的长。
【解析】
解：
∵点D把线段AB从左至右依次分成1:2两部分，点C是AB的中点，
∴$AD=\frac{1}{1+2}AB=\frac{1}{3}AB$，$AC=\frac{1}{2}AB$，
∴$DC=AC-AD=\frac{1}{2}AB-\frac{1}{3}AB=\frac{1}{6}AB$，
又
∵$DC=3$，
∴$AB=3÷\frac{1}{6}=18$。
【答案】
$18$
【知识点】
线段中点、线段和差、线段比例
【点评】
本题是线段长度计算的基础题，核心是利用线段的比例关系和中点性质，建立已知线段和待求线段的数量关系，掌握该思路可快速解决同类线段计算问题。
【难度系数】
0.8

4.点 C 是线段 AB 的中点，点 D 是线段 AC 的三等分点。若线段 $ AB = 12 \, \mathrm{cm} $，求线段 BD 的长。

4.解:因为点 C 是线段 AB 的中点,$AB=12\ \mathrm{cm}$，
所以 $AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6(\mathrm{cm})$。
因为点 D 是线段 AC 的三等分点。
①当 $AD=\frac{1}{3}AC$ 时,$BD=BC+CD=BC+$$\frac{2}{3}AC=6+4=10(\mathrm{cm})$；
②当 $AD=\frac{2}{3}AC$ 时,$BD=BC+CD=BC+$$\frac{1}{3}AC=6+2=8(\mathrm{cm})$。
所以线段 BD 的长为 10 cm 或 8 cm。

【分析】
解题可按以下思路推进：第一步，根据线段中点的定义，结合已知AB的长度，先求出AC、BC的长度；第二步，注意线段AC的三等分点有两种位置（靠近点A、靠近点C），需分类讨论两种情况对应的CD长度；第三步，利用线段和差关系BD=BC+CD，代入对应数值计算即可得到BD的长。
【解析】
解：
∵ 点C是线段AB的中点，$AB=12\ \mathrm{cm}$，
∴ $AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6(\mathrm{cm})$。
∵ 点D是线段AC的三等分点，需分两种情况讨论：
① 当$AD=\frac{1}{3}AC$时，$CD=AC-AD=\frac{2}{3}AC=\frac{2}{3}×6=4(\mathrm{cm})$，
此时$BD=BC+CD=6+4=10(\mathrm{cm})$；
② 当$AD=\frac{2}{3}AC$时，$CD=AC-AD=\frac{1}{3}AC=\frac{1}{3}×6=2(\mathrm{cm})$，
此时$BD=BC+CD=6+2=8(\mathrm{cm})$。
综上，线段BD的长为10 cm或8 cm。
【答案】
10 cm或8 cm
【知识点】
线段中点的定义；线段三等分点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题重点考查线段相关的计算，解题的关键是明确线段三等分点存在两种位置，易错点是忽略分类讨论导致漏解，做题时要全面考虑所有可能的情况，避免漏算。
【难度系数】
0.7