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7.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引3条对角线，则它是
六
边形。答案
7.六
解析
【分析】
解题时首先要明确多边形从一个顶点引出对角线的数量规律：n边形中，一个顶点和自身以及相邻的2个顶点不能连成对角线，因此从一个顶点出发最多可引出(n-3)条对角线。已知引出对角线的数量为3，我们只需根据这个规律列等式求解n的值即可得到多边形的边数。
【解析】
设这个多边形的边数为n。
根据多边形从一个顶点引出对角线条数的规律：从n边形的一个顶点出发最多可引(n-3)条对角线。
由题意得：$\boldsymbol{n - 3 = 3}$
解得：$n = 6$
因此这个多边形是六边形。
【答案】
六
【知识点】
多边形对角线的计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查多边形对角线的基本规律，牢记n边形单顶点对角线条数公式即可快速作答，是多边形认识部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确多边形从一个顶点引出对角线的数量规律：n边形中，一个顶点和自身以及相邻的2个顶点不能连成对角线，因此从一个顶点出发最多可引出(n-3)条对角线。已知引出对角线的数量为3，我们只需根据这个规律列等式求解n的值即可得到多边形的边数。
【解析】
设这个多边形的边数为n。
根据多边形从一个顶点引出对角线条数的规律：从n边形的一个顶点出发最多可引(n-3)条对角线。
由题意得：$\boldsymbol{n - 3 = 3}$
解得：$n = 6$
因此这个多边形是六边形。
【答案】
六
【知识点】
多边形对角线的计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查多边形对角线的基本规律，牢记n边形单顶点对角线条数公式即可快速作答，是多边形认识部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
8.将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数之比为2：3：4，求这三个扇形圆心角的度数。
答案
8.$80°,120°,160°$
解析
【分析】
解题前首先明确核心前提：整个圆的圆心角为周角360°，三个扇形的圆心角之和恰好等于周角的度数。已知三个圆心角的度数比为2:3:4，我们可以采用按比例分配的方法解题：先计算总份数，再分别求出每个圆心角占总度数的分率，最后用总度数360°乘对应分率，就能得到每个扇形的圆心角度数。
【解析】
解：因为一个圆的圆心角为360°，三个扇形圆心角的度数之和等于360°。
首先计算总份数：$2+3+4=9$
第一个扇形圆心角度数：$360° × \frac{2}{9} = 80°$
第二个扇形圆心角度数：$360° × \frac{3}{9} = 120°$
第三个扇形圆心角度数：$360° × \frac{4}{9} = 160°$
【答案】
$80°,120°,160°$
【知识点】
周角的度数、按比例分配应用
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是明确三个扇形的圆心角之和为周角360°，结合按比例分配的计算方法即可快速求解，是对圆和比例基础知识的综合考查。
【难度系数】
0.8
解题前首先明确核心前提：整个圆的圆心角为周角360°，三个扇形的圆心角之和恰好等于周角的度数。已知三个圆心角的度数比为2:3:4，我们可以采用按比例分配的方法解题：先计算总份数，再分别求出每个圆心角占总度数的分率，最后用总度数360°乘对应分率，就能得到每个扇形的圆心角度数。
【解析】
解：因为一个圆的圆心角为360°，三个扇形圆心角的度数之和等于360°。
首先计算总份数：$2+3+4=9$
第一个扇形圆心角度数：$360° × \frac{2}{9} = 80°$
第二个扇形圆心角度数：$360° × \frac{3}{9} = 120°$
第三个扇形圆心角度数：$360° × \frac{4}{9} = 160°$
【答案】
$80°,120°,160°$
【知识点】
周角的度数、按比例分配应用
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是明确三个扇形的圆心角之和为周角360°，结合按比例分配的计算方法即可快速求解，是对圆和比例基础知识的综合考查。
【难度系数】
0.8
9.下列说法错误的是(
A.正多边形的各边都相等
B.各边都相等的多边形是正多边形
C.正三角形的三条边都相等
D.正六边形的六个内角都相等
B
)。A.正多边形的各边都相等
B.各边都相等的多边形是正多边形
C.正三角形的三条边都相等
D.正六边形的六个内角都相等
答案
9.B
解析
【分析】这是一道考查正多边形相关概念的基础题，解题时首先明确题目要求是选出错误的说法。第一步先回忆正多边形的定义：同时满足各边相等、各内角相等的多边形才是正多边形，两个条件缺一不可。接下来逐一验证每个选项：先判断符合正多边形性质的表述是否正确，再判断判定正多边形的表述是否同时满足两个条件，即可找出错误选项。
【解析】首先明确正多边形的定义：各边相等，且各内角也相等的多边形叫做正多边形，两个条件必须同时满足。
对各选项逐一分析：
A. 正多边形的性质包含各边相等、各内角相等，因此该说法正确，不符合题意；
B. 仅满足各边相等，未满足各内角相等的条件，不能判定为正多边形，例如菱形的四条边都相等，但它的内角不一定全部相等，因此不属于正四边形，该说法错误，符合题意；
C. 正三角形即等边三角形，三条边都相等是其基本性质，该说法正确，不符合题意；
D. 正多边形的所有内角都相等，因此正六边形的六个内角都相等，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】B
【知识点】正多边形的定义；正多边形的性质
【点评】本题侧重对正多边形概念的辨析，解题的关键是牢记正多边形需要同时满足边相等、内角相等两个条件，切勿遗漏其中任意一个条件导致判断失误。
【难度系数】0.8
【解析】首先明确正多边形的定义：各边相等，且各内角也相等的多边形叫做正多边形，两个条件必须同时满足。
对各选项逐一分析：
A. 正多边形的性质包含各边相等、各内角相等，因此该说法正确，不符合题意；
B. 仅满足各边相等，未满足各内角相等的条件，不能判定为正多边形，例如菱形的四条边都相等，但它的内角不一定全部相等，因此不属于正四边形，该说法错误，符合题意；
C. 正三角形即等边三角形，三条边都相等是其基本性质，该说法正确，不符合题意；
D. 正多边形的所有内角都相等，因此正六边形的六个内角都相等，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】B
【知识点】正多边形的定义；正多边形的性质
【点评】本题侧重对正多边形概念的辨析，解题的关键是牢记正多边形需要同时满足边相等、内角相等两个条件，切勿遗漏其中任意一个条件导致判断失误。
【难度系数】0.8
10.如图,方格纸中4个小正方形的边长均为1,则图中阴影部分的三个小扇形的面积和为
$\frac{3}{8}π$
。(结果保留π)答案
10.$\frac{3}{8}π$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，首先观察到三个阴影都是扇形，扇形面积公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径）。首先确定三个扇形的半径：小正方形边长为1，因此三个扇形的半径均为1。再分析圆心角：两个较小扇形的圆心角是同一个直角三角形的两个锐角，和为$90°$，第三个扇形的圆心角是正方形对角线与边的夹角，为$45°$，因此可以先求出三个扇形的圆心角总和，再代入公式计算总面积即可。
【解析】
解：由题意得，三个阴影扇形的半径都等于小正方形的边长，即$r=1$。
观察图形可知：两个小扇形的圆心角为直角三角形的两个锐角，和为$90°$，第三个扇形的圆心角为$45°$，因此三个扇形的圆心角总和$n=90°+45°=135°$。
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$，代入数据计算：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{135× π × 1^2}{360}=\frac{3}{8}π$
【答案】
$\frac{3}{8}π$
【知识点】
扇形面积计算，直角三角形两锐角互余，正方形的性质
【点评】
本题采用整体思想求解，不需要分别计算每个扇形的面积，只需要将三个扇形的圆心角合并求和，再代入扇形面积公式即可，解题的关键是观察图形得出三个扇形半径相等、圆心角之和为$135°$，简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，首先观察到三个阴影都是扇形，扇形面积公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径）。首先确定三个扇形的半径：小正方形边长为1，因此三个扇形的半径均为1。再分析圆心角：两个较小扇形的圆心角是同一个直角三角形的两个锐角，和为$90°$，第三个扇形的圆心角是正方形对角线与边的夹角，为$45°$，因此可以先求出三个扇形的圆心角总和，再代入公式计算总面积即可。
【解析】
解：由题意得，三个阴影扇形的半径都等于小正方形的边长，即$r=1$。
观察图形可知：两个小扇形的圆心角为直角三角形的两个锐角，和为$90°$，第三个扇形的圆心角为$45°$，因此三个扇形的圆心角总和$n=90°+45°=135°$。
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$，代入数据计算：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{135× π × 1^2}{360}=\frac{3}{8}π$
【答案】
$\frac{3}{8}π$
【知识点】
扇形面积计算，直角三角形两锐角互余，正方形的性质
【点评】
本题采用整体思想求解，不需要分别计算每个扇形的面积，只需要将三个扇形的圆心角合并求和，再代入扇形面积公式即可，解题的关键是观察图形得出三个扇形半径相等、圆心角之和为$135°$，简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
11.【数学应用】为了销售方便，售货员把瓶装水捆成如图形状，如果捆一圈，接头不计，至少用绳子多少厘米？（结果保留π）
答案
11.解:由题图可知,圆的直径为7 cm。
根据题意,得 $7×4+7π=(28+7π)(cm)$,
即捆一圈至少用绳子$(28+7π)cm$。
根据题意,得 $7×4+7π=(28+7π)(cm)$,
即捆一圈至少用绳子$(28+7π)cm$。
解析
【分析】
解题时首先观察图形确定圆的直径：图中竖直方向两个圆心的距离为7cm，等于2条半径之和，即圆的直径为7cm。接下来拆分捆一圈的绳子长度：绳子由两部分组成，一是4段长度等于直径的直线段，二是4个拐角处的圆弧；4个圆弧每个对应圆心角为90°，合起来刚好是1个完整的圆，因此圆弧总长度就是1个圆的周长。最后将两部分长度相加即可得到总绳长。
【解析】
解：由题图可知，竖直方向两个圆心的距离为7cm，等于圆的直径，即圆的直径$d=7\mathrm{cm}$。
绳子的直线段部分：共有4段，每段长度等于直径，总长为$7×4=28$（cm）；
绳子的圆弧部分：4个拐角的圆弧合为1个整圆，周长为$π d=7π$（cm）；
总绳长为$28+7π$（cm）。
【答案】
$(28+7π)\mathrm{cm}$
【知识点】
圆的周长计算；组合图形周长求解
【点评】
本题重点考查对组合图形周长的拆分计算能力，解题核心是将不规则的绳长拆分为规则的直线段和圆弧两部分，其中4段圆弧可拼成一个整圆是解题的关键，能有效锻炼图形观察和拆分转化的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形确定圆的直径：图中竖直方向两个圆心的距离为7cm，等于2条半径之和，即圆的直径为7cm。接下来拆分捆一圈的绳子长度：绳子由两部分组成，一是4段长度等于直径的直线段，二是4个拐角处的圆弧；4个圆弧每个对应圆心角为90°，合起来刚好是1个完整的圆，因此圆弧总长度就是1个圆的周长。最后将两部分长度相加即可得到总绳长。
【解析】
解：由题图可知，竖直方向两个圆心的距离为7cm，等于圆的直径，即圆的直径$d=7\mathrm{cm}$。
绳子的直线段部分：共有4段，每段长度等于直径，总长为$7×4=28$（cm）；
绳子的圆弧部分：4个拐角的圆弧合为1个整圆，周长为$π d=7π$（cm）；
总绳长为$28+7π$（cm）。
【答案】
$(28+7π)\mathrm{cm}$
【知识点】
圆的周长计算；组合图形周长求解
【点评】
本题重点考查对组合图形周长的拆分计算能力，解题核心是将不规则的绳长拆分为规则的直线段和圆弧两部分，其中4段圆弧可拼成一个整圆是解题的关键，能有效锻炼图形观察和拆分转化的能力。
【难度系数】
0.7
12.【数学应用】某校编排的一个舞蹈需要五把和图①完全相同的绸扇。学校现有三把符合要求的绸扇，将这三把绸扇完全展开刚好组成如图②所示的一朵圆形的花。求再做两把这样的绸扇至少需要多少平方厘米的绸布。（单面制作，不考虑绸扇的折皱，结果保留π）
答案
12.解:再做两把这样的绸扇至少需要绸布 $2×\frac{1}{3}×(π×30^2 -π×12^2)=504π(cm^2)$。
解析
【分析】
解题时首先明确绸扇的绸布部分为扇环结构：第一步先确定扇环的内、外半径，内半径为12cm，外半径为12+18=30cm；第二步根据“三把绸扇完全展开刚好组成圆形”，可得每把绸扇对应的圆心角为360°÷3=120°，即每把绸扇的绸布面积是整个圆环面积的$\frac{1}{3}$；最后计算2把绸布的总面积即可。
【解析】
解：首先计算扇环的外半径：$R=12+18=30\ \mathrm{cm}$，内半径$r=12\ \mathrm{cm}$。
因为3把完全相同的绸扇可拼成1个整圆，所以1把绸扇的绸布面积为圆环面积的$\frac{1}{3}$，
圆环面积为：$π R^2 - π r^2 = π×30^2 - π×12^2$
1把绸扇的绸布面积：$\frac{1}{3}×(π×30^2 - π×12^2)$
则2把绸扇需要的绸布面积为：
$2×\frac{1}{3}×(π×30^2 - π×12^2)=\frac{2}{3}×(900π - 144π)=\frac{2}{3}×756π=504π\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$504π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆环面积计算、扇形面积计算、整式运算
【点评】
本题结合生活场景考察圆相关的面积计算，解题的核心是通过“三把绸扇拼成圆形”的条件得出单把绸扇面积和圆环面积的比例关系，再找准扇环的内外半径代入公式计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确绸扇的绸布部分为扇环结构：第一步先确定扇环的内、外半径，内半径为12cm，外半径为12+18=30cm；第二步根据“三把绸扇完全展开刚好组成圆形”，可得每把绸扇对应的圆心角为360°÷3=120°，即每把绸扇的绸布面积是整个圆环面积的$\frac{1}{3}$；最后计算2把绸布的总面积即可。
【解析】
解：首先计算扇环的外半径：$R=12+18=30\ \mathrm{cm}$，内半径$r=12\ \mathrm{cm}$。
因为3把完全相同的绸扇可拼成1个整圆，所以1把绸扇的绸布面积为圆环面积的$\frac{1}{3}$，
圆环面积为：$π R^2 - π r^2 = π×30^2 - π×12^2$
1把绸扇的绸布面积：$\frac{1}{3}×(π×30^2 - π×12^2)$
则2把绸扇需要的绸布面积为：
$2×\frac{1}{3}×(π×30^2 - π×12^2)=\frac{2}{3}×(900π - 144π)=\frac{2}{3}×756π=504π\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$504π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆环面积计算、扇形面积计算、整式运算
【点评】
本题结合生活场景考察圆相关的面积计算，解题的核心是通过“三把绸扇拼成圆形”的条件得出单把绸扇面积和圆环面积的比例关系，再找准扇环的内外半径代入公式计算即可。
【难度系数】
0.7
