典例1 下列由左边到右边的式子变形是因式分解的是().
A. $ax+bx+c=(a+b)x+c$
B. $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
C. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
D. $a^2-5a-6=(a-6)(a+1)$
总结归纳 因式分解的结果必须满足：
(1)是几个整式的乘积；
(2)变形前后式子左右两边的值相等；
(3)分解到不能再分解为止。

$\boldsymbol{D}$

【分析】
要解决这道题，首先需要明确因式分解的3个判定标准：一是变形后的结果必须是几个整式的乘积形式；二是变形为恒等变形，左右两边的值相等；三是分解到不能再分解为止。解题时我们将四个选项逐一对照上述标准判断即可，同时要注意因式分解和整式乘法是互逆变形，不要混淆二者。
【解析】
先明确因式分解的核心判定要求：①结果为几个整式的乘积；②左右两边恒等；③分解彻底。对各选项逐一分析：
选项A：变形后的结果是$(a+b)x + c$，属于整式相加的形式，不是乘积形式，不符合因式分解要求，错误；
选项B：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不是因式分解，错误；
选项C：左边是整式的乘方（乘积形式），右边是展开后的多项式，同样属于整式乘法运算，不是因式分解，错误；
选项D：左边是多项式，右边是两个一次整式的乘积，左右两边恒等，且已经分解到不能再分解，完全符合因式分解的要求，正确。
【答案】
$\boldsymbol{D}$
【知识点】
因式分解的定义、整式的乘法
【点评】
本题属于概念辨析类基础题，解题的关键是准确掌握因式分解的判定标准，能够区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免将二者混淆。
【难度系数】
0.8

举一反三 下列由左边到右边的式子变形中,属于因式分解的是().

A.$a(m+n)=am+an$
B.$a^2 - b^2 - c^2=(a+b)(a-b)-c^2$
C.$10x^2 -5x=5x(2x -1)$
D.$x^2 -16 +6x=(x+4)(x-4)+6x$

1. C

【分析】
要判断式子变形是否属于因式分解，首先要明确因式分解的核心定义：把一个多项式转化为几个整式的乘积的形式，需同时满足两个条件：①变形对象是多项式；②最终结果是若干个整式相乘的形式。我们可以对照这两个条件逐一分析每个选项，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，该变形叫做因式分解。
逐一分析选项：
选项A：$a(m+n)=am+an$是将整式乘积的形式展开为多项式，属于整式乘法运算，不是因式分解，排除；
选项B：等式右边$(a+b)(a-b)-c^2$是乘积减去整式的差的形式，不是几个整式的积，不符合因式分解要求，排除；
选项C：左边$10x^2-5x$是多项式，右边$5x(2x-1)$是两个整式$5x$和$(2x-1)$的乘积，完全符合因式分解的定义；
选项D：等式右边$(x+4)(x-4)+6x$是乘积加整式的和的形式，不是几个整式的积，不符合要求，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解的定义
2. 整式乘法运算
【点评】
本题属于基础概念类题型，主要考查对因式分解定义的理解与辨析，解题关键是抓住因式分解的结果必须是几个整式乘积的核心特征，注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免将结果为和差形式的变形误认为是因式分解。
【难度系数】
0.8

典例2 把多项式$x^3+mx$分解因式得$x(x+n)(x-\frac{1}{2})$，则$m,n$的值可能是().

A.$m=\frac{1}{8},n=\frac{1}{4}$
B.$m=-\frac{1}{4},n=\frac{1}{2}$
C.$m=\frac{1}{8},n=-\frac{1}{4}$
D.$m=-\frac{1}{4},n=-\frac{1}{2}$
总结归纳 整式乘法是把“积”化成“和差”的形式，因式分解是把“和差”化成“积”的形式，这两者互为逆变形。

B

【分析】
本题可利用因式分解与整式乘法互为逆运算的性质求解。解题思路为：先将分解后的因式乘积形式通过整式乘法展开为多项式，再根据两个多项式相等时对应同类项的系数相等，列出关于m、n的方程，求解即可得到m、n的值。
【解析】
∵ 多项式$x^3+mx$分解因式得$x(x+n)(x-\frac{1}{2})$
∴ $x^3+mx = x(x+n)(x-\frac{1}{2})$
先展开右侧式子：
第一步计算$(x+n)(x-\frac{1}{2})$：
$(x+n)(x-\frac{1}{2})=x^2 - \frac{1}{2}x + nx - \frac{1}{2}n = x^2 + (n-\frac{1}{2})x - \frac{1}{2}n$
第二步将上述结果乘x：
$x·[x^2 + (n-\frac{1}{2})x - \frac{1}{2}n] = x^3 + (n-\frac{1}{2})x^2 - \frac{1}{2}nx$
左侧多项式可整理为$x^3+mx = x^3 + 0x^2 + mx$，根据多项式恒等对应系数相等可得：
1. $x^2$项系数：$n - \frac{1}{2} = 0$，解得$n=\frac{1}{2}$
2. $x$项系数：$-\frac{1}{2}n = m$，将$n=\frac{1}{2}$代入得$m = -\frac{1}{2} × \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$
综上$m=-\frac{1}{4},n=\frac{1}{2}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法的逆运算
2. 多项式乘多项式
3. 多项式恒等条件
【点评】
本题解题核心是利用因式分解和整式乘法的互逆关系，将因式乘积展开后通过对应系数相等求解，属于基础题型，熟练掌握整式乘法运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

举一反三 $(x-5)(x-3)$是多项式$x^2 - px + 15$因式分解的结果，则$p$的值是().

A.2
B.$-2$
C.8
D.$-8$

2. C

【分析】
本题可利用因式分解与整式乘法的互逆关系求解。首先明确：因式分解和整式乘法是互逆运算，因此将因式分解的结果$(x-5)(x-3)$展开后，所得多项式和原式$x^2 - px +15$的各项对应系数相等，通过对比一次项系数即可求出$p$的值。
【解析】
根据多项式乘多项式的法则展开$(x-5)(x-3)$：
$\begin{aligned}(x-5)(x-3)&=x· x - 3x -5x + (-5)×(-3)\\&=x^2 - 8x + 15\end{aligned}$
由题意可知$x^2 - 8x + 15 = x^2 - px +15$，根据两个多项式相等时对应项的系数相等，可得一次项系数满足：
$-p = -8$
解得$p=8$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 整式乘法与因式分解的互逆性
2. 多项式乘多项式法则
3. 多项式对应系数相等
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解因式分解和整式乘法的互逆关系，只要熟练掌握多项式乘法的运算规则，结合对应系数相等的方法即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8

典例3 把下列各式分解因式：
(1)$2b^2 - ab$；
(2)$ax - 4bx + x$。
总结归纳 运用提公因式法分解因式时，先确定多项式中各项的公因式，再提取公因式即得结果。
举一反三 分解因式：$x^2 + 3x =$。

3. x(x+3)

【分析】
观察多项式$x^2+3x$的结构，两项均含有公共因式$x$，可采用提公因式法分解因式。解题思路分两步：第一步先确定多项式各项的公因式，第二步提取公因式，将多项式写成公因式与剩余因式乘积的形式即可得到结果。
【解析】
1. 确定公因式：多项式$x^2+3x$的两项中，$x^2=x· x$，$3x=3· x$，两项共有的公因式为$x$；
2. 提取公因式：将公因式$x$提出后，分别计算两项除以公因式的结果：$x^2÷ x=x$，$3x÷ x=3$，剩余部分相加得$x+3$；
因此分解因式的结果为$x(x+3)$。
【答案】
$x(x+3)$
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题的关键是准确识别多项式各项的公共因式，提取公因式后注意核对剩余项，避免出现漏项的错误。
【难度系数】
0.9