登录
典例4 利用因式分解计算：
(1)$13×9.98+56×9.98+31×9.98$；
(2)$9×10^{2025}−10^{2026}$.
典例解析
(1)$13×9.98+56×9.98+31×9.98$；
(2)$9×10^{2025}−10^{2026}$.
典例解析
答案
解：
(1) 原式$=9.98×(13+56+31)$
$=9.98×100$
$=998$
(2) 原式$=9×10^{2025} - 10×10^{2025}$
$=10^{2025}×(9-10)$
$=-10^{2025}$
(1) 原式$=9.98×(13+56+31)$
$=9.98×100$
$=998$
(2) 原式$=9×10^{2025} - 10×10^{2025}$
$=10^{2025}×(9-10)$
$=-10^{2025}$
解析
【分析】
这两道题都可通过提取公因式的方法简化计算，避免大数运算。(1)观察算式的三个项，都含有相同因数9.98，可将9.98作为公因式提取，剩余的系数相加后恰好为整百数，计算更简便；(2)先根据同底数幂的乘法规则，把$10^{2026}$变形为$10×10^{2025}$，此时两项的公因式为$10^{2025}$，提取公因式后再计算括号内的减法即可得到结果。
【解析】
(1) 原式$=9.98×(13+56+31)$
$=9.98×100$
$=998$
(2) 原式$=9×10^{2025} - 10×10^{2025}$
$=10^{2025}×(9-10)$
$=-10^{2025}$
【答案】
(1) $\boxed{998}$；(2) $\boxed{-10^{2025}}$
【知识点】
提取公因式法，同底数幂性质，简便运算
【点评】
本题考查因式分解在数值计算中的应用，解题关键是准确识别公因式，对于幂形式的项要灵活运用同底数幂的运算规则统一公因式的指数，能大幅降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.8
这两道题都可通过提取公因式的方法简化计算，避免大数运算。(1)观察算式的三个项，都含有相同因数9.98，可将9.98作为公因式提取，剩余的系数相加后恰好为整百数，计算更简便；(2)先根据同底数幂的乘法规则，把$10^{2026}$变形为$10×10^{2025}$，此时两项的公因式为$10^{2025}$，提取公因式后再计算括号内的减法即可得到结果。
【解析】
(1) 原式$=9.98×(13+56+31)$
$=9.98×100$
$=998$
(2) 原式$=9×10^{2025} - 10×10^{2025}$
$=10^{2025}×(9-10)$
$=-10^{2025}$
【答案】
(1) $\boxed{998}$；(2) $\boxed{-10^{2025}}$
【知识点】
提取公因式法，同底数幂性质，简便运算
【点评】
本题考查因式分解在数值计算中的应用，解题关键是准确识别公因式，对于幂形式的项要灵活运用同底数幂的运算规则统一公因式的指数，能大幅降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.8
典例1
答案D
解析 A项,等号右边不是整式乘积的形式,故不是因式分解;
B项,是整式的乘法;
C项,是整式的乘法;
D项,把一个多项式转化成几个整式的乘积的形式,符合题意.
故选D.
典例2
答案B
解析 由题意知,$x^3+mx=x(x+n)·(x-\frac{1}{2})$,即$x^3+mx=x^3+(n-\frac{1}{2})x^2-\frac{1}{2}nx$,
$\therefore n-\frac{1}{2}=0,-\frac{1}{2}n=m$,
$\therefore n=\frac{1}{2},m=-\frac{1}{4}$. 故选B.
举一反三 利用因式分解计算:
(1)$3.14×51+3.14×49$;
(2)
典例3
解 (1)$2b^2 - ab = b(2b - a)$.
(2)$ax - 4bx + x = x(a - 4b + 1)$.
典例4
答案D
解析 A项,等号右边不是整式乘积的形式,故不是因式分解;
B项,是整式的乘法;
C项,是整式的乘法;
D项,把一个多项式转化成几个整式的乘积的形式,符合题意.
故选D.
典例2
答案B
解析 由题意知,$x^3+mx=x(x+n)·(x-\frac{1}{2})$,即$x^3+mx=x^3+(n-\frac{1}{2})x^2-\frac{1}{2}nx$,
$\therefore n-\frac{1}{2}=0,-\frac{1}{2}n=m$,
$\therefore n=\frac{1}{2},m=-\frac{1}{4}$. 故选B.
举一反三 利用因式分解计算:
(1)$3.14×51+3.14×49$;
(2)
典例3
解 (1)$2b^2 - ab = b(2b - a)$.
(2)$ax - 4bx + x = x(a - 4b + 1)$.
典例4
答案
4. 解 (1)原式$=3.14×(51+49)$
$=3.14×100$
$=314.$
(2)原式$=\frac{2023^3×(2023-1)-2022}{2023^3×(2023+1)-2024}$
$=\frac{2023^3×2022-2022}{2023^3×2024-2024}$
$=\frac{2022×(2023^3-1)}{2024×(2023^3-1)}$
$=\frac{2022}{2024}$
$=\frac{1011}{1012}.$
$=3.14×100$
$=314.$
(2)原式$=\frac{2023^3×(2023-1)-2022}{2023^3×(2023+1)-2024}$
$=\frac{2023^3×2022-2022}{2023^3×2024-2024}$
$=\frac{2022×(2023^3-1)}{2024×(2023^3-1)}$
$=\frac{2022}{2024}$
$=\frac{1011}{1012}.$
解析
【分析】
(1)观察式子可发现两项都含有公因数3.14，逆用乘法分配律提取公因式3.14，先计算括号内的加法，再计算乘法即可简化运算。
(2)观察分式的分子和分母，前两项都含有公因式$2023^3$，先分别对分子、分母提取公因式$2023^3$，整理后可发现分子新的两项含公因式2022，分母新的两项含公因式2024，再次提取公因式后，分子分母会出现相同的非零因式$(2023^3-1)$，约去该因式后化简即可得到结果。
【解析】
(1) 原式$=3.14×(51+49)$
$=3.14×100$
$=314$
(2) 原式$=\frac{2023^3×(2023-1)-2022}{2023^3×(2023+1)-2024}$
$=\frac{2023^3×2022 - 2022}{2023^3×2024 - 2024}$
$=\frac{2022×(2023^3 - 1)}{2024×(2023^3 - 1)}$
$=\frac{2022}{2024}$
$=\frac{1011}{1012}$
【答案】
(1) $\boxed{314}$；(2) $\boxed{\dfrac{1011}{1012}}$
【知识点】
提取公因式法，分式约分，简便运算
【点评】
本题考查因式分解在简便运算中的应用，解题的关键是观察式子的结构特征，准确找出公因式，通过提取公因式将复杂的运算简化，避免直接计算高次幂带来的繁琐。
【难度系数】
0.7
(1)观察式子可发现两项都含有公因数3.14，逆用乘法分配律提取公因式3.14，先计算括号内的加法，再计算乘法即可简化运算。
(2)观察分式的分子和分母，前两项都含有公因式$2023^3$，先分别对分子、分母提取公因式$2023^3$，整理后可发现分子新的两项含公因式2022，分母新的两项含公因式2024，再次提取公因式后，分子分母会出现相同的非零因式$(2023^3-1)$，约去该因式后化简即可得到结果。
【解析】
(1) 原式$=3.14×(51+49)$
$=3.14×100$
$=314$
(2) 原式$=\frac{2023^3×(2023-1)-2022}{2023^3×(2023+1)-2024}$
$=\frac{2023^3×2022 - 2022}{2023^3×2024 - 2024}$
$=\frac{2022×(2023^3 - 1)}{2024×(2023^3 - 1)}$
$=\frac{2022}{2024}$
$=\frac{1011}{1012}$
【答案】
(1) $\boxed{314}$；(2) $\boxed{\dfrac{1011}{1012}}$
【知识点】
提取公因式法，分式约分，简便运算
【点评】
本题考查因式分解在简便运算中的应用，解题的关键是观察式子的结构特征，准确找出公因式，通过提取公因式将复杂的运算简化，避免直接计算高次幂带来的繁琐。
【难度系数】
0.7
