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1. 下列由左边到右边的式子变形是因式分解的是(
A.$(y-1)(y+1)=y^2 -1$
B.$x^2y + xy^2 -1 = xy(x+y) -1$
C.$(x-2)(x-3)=(3-x)(2-x)$
D.$x^2 -4x +4=(x-2)^2$
D
).A.$(y-1)(y+1)=y^2 -1$
B.$x^2y + xy^2 -1 = xy(x+y) -1$
C.$(x-2)(x-3)=(3-x)(2-x)$
D.$x^2 -4x +4=(x-2)^2$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断式子变形是否为因式分解，首先要明确因式分解的核心定义：因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，需同时满足两个条件：①变形前的式子是多项式；②变形后的结果是几个整式相乘的形式，且变形前后恒等。解题时逐一对照该定义判断每个选项即可。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这类变形叫做因式分解。
选项A：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，故A错误；
选项B：右边变形结果为$xy(x+y)-1$，含有减法运算，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的要求，故B错误；
选项C：左右两边均为两个整式的乘积，只是对两个因式同时提取了负号做恒等变形，没有将多项式转化为乘积形式，不属于因式分解，故C错误；
选项D：左边$x^2-4x+4$是多项式，右边$(x-2)^2=(x-2)(x-2)$，是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握因式分解的核心特征，注意区分因式分解和整式乘法，避免将恒等变形直接等同于因式分解。
【难度系数】
0.8
要判断式子变形是否为因式分解，首先要明确因式分解的核心定义：因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，需同时满足两个条件：①变形前的式子是多项式；②变形后的结果是几个整式相乘的形式，且变形前后恒等。解题时逐一对照该定义判断每个选项即可。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这类变形叫做因式分解。
选项A：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解，故A错误；
选项B：右边变形结果为$xy(x+y)-1$，含有减法运算，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的要求，故B错误；
选项C：左右两边均为两个整式的乘积，只是对两个因式同时提取了负号做恒等变形，没有将多项式转化为乘积形式，不属于因式分解，故C错误；
选项D：左边$x^2-4x+4$是多项式，右边$(x-2)^2=(x-2)(x-2)$，是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；整式乘法与因式分解的区别
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确掌握因式分解的核心特征，注意区分因式分解和整式乘法，避免将恒等变形直接等同于因式分解。
【难度系数】
0.8
2. 对于①$x - 3xy = x(1 - 3y)$，②$(x + 3)(x - 1) = x^2 + 2x - 3$从左到右的变形，表述正确的是(
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是乘法运算，②是因式分解
D.①是因式分解，②是乘法运算
D
).A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是乘法运算，②是因式分解
D.①是因式分解，②是乘法运算
答案
2. D
解析
【分析】
拿到本题首先要明确因式分解和整式乘法的核心区别：因式分解的变形方向是“多项式→几个整式的积”，整式乘法的变形方向是“几个整式的积→多项式”，二者为互逆变形。接下来分别对应两个式子判断特征：①式左边是多项式，右边是两个整式相乘的形式，符合因式分解的特征；②式左边是两个整式相乘的形式，右边是多项式，符合整式乘法的特征，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
首先明确两个核心概念：
1. 因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解；
2. 整式乘法：将几个整式相乘，最终化简为一个多项式的运算，和因式分解是互逆变形。
对①进行判断：左边$x - 3xy$是多项式，右边$x(1 - 3y)$是两个整式$x$和$(1-3y)$的乘积，因此①从左到右的变形属于因式分解；
对②进行判断：左边$(x + 3)(x - 1)$是两个整式的乘积形式，右边$x^2 + 2x - 3$是多项式，因此②从左到右的变形属于整式乘法运算。
综上，①是因式分解，②是乘法运算，故选D。
【答案】D
【知识点】因式分解的定义；整式的乘法运算
【点评】本题是基础概念辨析题，核心考查因式分解与整式乘法两种互逆变形的特征，解题时只需抓住变形前后的式子形态是多项式还是整式乘积的形式，就能快速作出判断。
【难度系数】0.9
拿到本题首先要明确因式分解和整式乘法的核心区别：因式分解的变形方向是“多项式→几个整式的积”，整式乘法的变形方向是“几个整式的积→多项式”，二者为互逆变形。接下来分别对应两个式子判断特征：①式左边是多项式，右边是两个整式相乘的形式，符合因式分解的特征；②式左边是两个整式相乘的形式，右边是多项式，符合整式乘法的特征，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
首先明确两个核心概念：
1. 因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解；
2. 整式乘法：将几个整式相乘，最终化简为一个多项式的运算，和因式分解是互逆变形。
对①进行判断：左边$x - 3xy$是多项式，右边$x(1 - 3y)$是两个整式$x$和$(1-3y)$的乘积，因此①从左到右的变形属于因式分解；
对②进行判断：左边$(x + 3)(x - 1)$是两个整式的乘积形式，右边$x^2 + 2x - 3$是多项式，因此②从左到右的变形属于整式乘法运算。
综上，①是因式分解，②是乘法运算，故选D。
【答案】D
【知识点】因式分解的定义；整式的乘法运算
【点评】本题是基础概念辨析题，核心考查因式分解与整式乘法两种互逆变形的特征，解题时只需抓住变形前后的式子形态是多项式还是整式乘积的形式，就能快速作出判断。
【难度系数】0.9
3. 下列多项式中,可以提取公因式的是(
A.$x^2 - y^2$
B.$x^2 + x$
C.$x^2 - y$
D.$x^2 + 2xy + y^2$
B
).A.$x^2 - y^2$
B.$x^2 + x$
C.$x^2 - y$
D.$x^2 + 2xy + y^2$
答案
3. B
解析
【分析】
这道题考查提取公因式的相关知识，解题思路是先明确公因式的定义：多项式中每一项都含有的相同因式叫做公因式，再逐一分析每个选项的多项式各项是否存在公共的因式，同时要注意区分提取公因式和公式法因式分解的不同，避免将用公式分解的情况错判为可提取公因式。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 多项式$x^2 - y^2$的两项为$x^2$和$-y^2$，两项没有公共的因式，无法提取公因式，可利用平方差公式分解为$(x+y)(x-y)$，属于公式法因式分解，不符合要求；
B. 多项式$x^2 + x$的两项为$x^2$和$x$，两项都含有公因式$x$，可提取公因式$x$得到$x(x+1)$，符合要求；
C. 多项式$x^2 - y$的两项为$x^2$和$-y$，两项没有公共的因式，无法提取公因式，不符合要求；
D. 多项式$x^2 + 2xy + y^2$的三项没有公共的因式，无法提取公因式，可利用完全平方公式分解为$(x+y)^2$，属于公式法因式分解，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的识别、提取公因式法
【点评】
本题属于基础题，核心是判断多项式各项是否存在共有的因式，解题时要注意和公式法因式分解的形式区分开，不要混淆两种因式分解的方法。
【难度系数】
0.9
这道题考查提取公因式的相关知识，解题思路是先明确公因式的定义：多项式中每一项都含有的相同因式叫做公因式，再逐一分析每个选项的多项式各项是否存在公共的因式，同时要注意区分提取公因式和公式法因式分解的不同，避免将用公式分解的情况错判为可提取公因式。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 多项式$x^2 - y^2$的两项为$x^2$和$-y^2$，两项没有公共的因式，无法提取公因式，可利用平方差公式分解为$(x+y)(x-y)$，属于公式法因式分解，不符合要求；
B. 多项式$x^2 + x$的两项为$x^2$和$x$，两项都含有公因式$x$，可提取公因式$x$得到$x(x+1)$，符合要求；
C. 多项式$x^2 - y$的两项为$x^2$和$-y$，两项没有公共的因式，无法提取公因式，不符合要求；
D. 多项式$x^2 + 2xy + y^2$的三项没有公共的因式，无法提取公因式，可利用完全平方公式分解为$(x+y)^2$，属于公式法因式分解，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的识别、提取公因式法
【点评】
本题属于基础题，核心是判断多项式各项是否存在共有的因式，解题时要注意和公式法因式分解的形式区分开，不要混淆两种因式分解的方法。
【难度系数】
0.9
4. 分解因式:
(1)$a^2y - 3ay + 6y$;
(2)$xy^3 - \frac{8}{27}x^3$;
(3)$a^2b^3 + 36a^3b^2 + 9a$.
(1)$a^2y - 3ay + 6y$;
(2)$xy^3 - \frac{8}{27}x^3$;
(3)$a^2b^3 + 36a^3b^2 + 9a$.
答案
4. 解 (1) $a^2y - 3ay + 6y = y(a^2 - 3a + 6)$.
(2) $xy^3 - \frac{8}{27}x^3 = x(y^3 - \frac{8}{27}x^2)$.
(3) $a^2b^3 + 36a^3b^2 + 9a = a(ab^3 + 36a^2b^2 + 9)$.
(2) $xy^3 - \frac{8}{27}x^3 = x(y^3 - \frac{8}{27}x^2)$.
(3) $a^2b^3 + 36a^3b^2 + 9a = a(ab^3 + 36a^2b^2 + 9)$.
解析
【分析】
分解因式优先采用提公因式法，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，两者的乘积就是公因式；第二步提取公因式，将多项式写成公因式与剩余多项式的乘积形式；第三步检查剩余多项式是否还能继续分解，若不能则分解完成。
针对本题：
(1) 多项式三项均含有字母y，公因式为y，提取后剩余多项式无法继续分解；
(2) 多项式两项均含有字母x，公因式为x，提取后剩余多项式无法继续分解；
(3) 多项式三项均含有字母a，公因式为a，提取后剩余多项式无法继续分解。
【解析】
(1) 提取公因式$y$：
$a^2y - 3ay + 6y = y· a^2 - y· 3a + y· 6 = y(a^2 - 3a + 6)$
(2) 提取公因式$x$：
$xy^3 - \frac{8}{27}x^3 = x· y^3 - x· \frac{8}{27}x^2 = x(y^3 - \frac{8}{27}x^2)$
(3) 提取公因式$a$：
$a^2b^3 + 36a^3b^2 + 9a = a· ab^3 + a· 36a^2b^2 + a· 9 = a(ab^3 + 36a^2b^2 + 9)$
【答案】
(1) $y(a^2 - 3a + 6)$
(2) $x(y^3 - \frac{8}{27}x^2)$
(3) $a(ab^3 + 36a^2b^2 + 9)$
【知识点】
提公因式法因式分解，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题关键是准确识别多项式各项的公因式，提取公因式后需注意验证剩余因式是否还能分解，保证分解彻底。
【难度系数】
0.9
分解因式优先采用提公因式法，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，两者的乘积就是公因式；第二步提取公因式，将多项式写成公因式与剩余多项式的乘积形式；第三步检查剩余多项式是否还能继续分解，若不能则分解完成。
针对本题：
(1) 多项式三项均含有字母y，公因式为y，提取后剩余多项式无法继续分解；
(2) 多项式两项均含有字母x，公因式为x，提取后剩余多项式无法继续分解；
(3) 多项式三项均含有字母a，公因式为a，提取后剩余多项式无法继续分解。
【解析】
(1) 提取公因式$y$：
$a^2y - 3ay + 6y = y· a^2 - y· 3a + y· 6 = y(a^2 - 3a + 6)$
(2) 提取公因式$x$：
$xy^3 - \frac{8}{27}x^3 = x· y^3 - x· \frac{8}{27}x^2 = x(y^3 - \frac{8}{27}x^2)$
(3) 提取公因式$a$：
$a^2b^3 + 36a^3b^2 + 9a = a· ab^3 + a· 36a^2b^2 + a· 9 = a(ab^3 + 36a^2b^2 + 9)$
【答案】
(1) $y(a^2 - 3a + 6)$
(2) $x(y^3 - \frac{8}{27}x^2)$
(3) $a(ab^3 + 36a^2b^2 + 9)$
【知识点】
提公因式法因式分解，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题关键是准确识别多项式各项的公因式，提取公因式后需注意验证剩余因式是否还能分解，保证分解彻底。
【难度系数】
0.9
5. 利用因式分解计算：
(1) $29 × 19.99 + 72 × 19.99 + 13 × 19.99 - 19.99 × 14$；
(2) $39 × 37 - 13 × 3^4$。
(1) $29 × 19.99 + 72 × 19.99 + 13 × 19.99 - 19.99 × 14$；
(2) $39 × 37 - 13 × 3^4$。
答案
5. 解 (1) $29 × 19.99 + 72 × 19.99 + 13 × 19.99 - 19.99 × 14 = 19.99 × (29 + 72 + 13 - 14) = 19.99 × 100 = 1999$.
(2) $39 × 37 - 13 × 3^4 = 39 × 37 - 13 × 3 × 3^3 = 39 × 37 - 39 × 27 = 39 × (37 - 27) = 390$.
(2) $39 × 37 - 13 × 3^4 = 39 × 37 - 13 × 3 × 3^3 = 39 × 37 - 39 × 27 = 39 × (37 - 27) = 390$.
解析
【分析】
这两道题均是利用因式分解中的提取公因式法进行简便运算的题型。(1)观察式子可发现每一项都含有公因式19.99，先提取这个公因式，再计算括号内的加减运算，最后计算乘法即可得到结果，可避免逐项计算的复杂过程。(2)式子没有直接的公因式，先对第二项变形：$3^4=3×3^3$，因此$13×3^4=13×3×3^3=39×27$，此时两项都含有公因式39，再提取公因式计算即可。
【解析】
(1) 原式提取公因式19.99：
$\begin{aligned}&29 × 19.99 + 72 × 19.99 + 13 × 19.99 - 19.99 × 14\\=& 19.99 × (29 + 72 + 13 - 14)\\=&19.99×100\\=&1999\end{aligned}$
(2) 先对第二项变形，构造公因式：
$\begin{aligned}&39 × 37 - 13 × 3^4\\=& 39 × 37 - 13 × 3 × 3^3\\=& 39 × 37 - 39 × 27\\=&39×(37-27)\\=&39×10\\=&390\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{1999}$；(2) $\boxed{390}$
【知识点】
提取公因式法，有理数简便运算，因式分解的应用
【点评】
这两道题是利用因式分解简化有理数运算的典型习题，解题关键是观察式子特征，找到或构造出相同的公因式，通过提取公因式将复杂的乘加、乘减运算转化为简单的乘法运算，有效降低计算量，减少运算错误。
【难度系数】
0.8
这两道题均是利用因式分解中的提取公因式法进行简便运算的题型。(1)观察式子可发现每一项都含有公因式19.99，先提取这个公因式，再计算括号内的加减运算，最后计算乘法即可得到结果，可避免逐项计算的复杂过程。(2)式子没有直接的公因式，先对第二项变形：$3^4=3×3^3$，因此$13×3^4=13×3×3^3=39×27$，此时两项都含有公因式39，再提取公因式计算即可。
【解析】
(1) 原式提取公因式19.99：
$\begin{aligned}&29 × 19.99 + 72 × 19.99 + 13 × 19.99 - 19.99 × 14\\=& 19.99 × (29 + 72 + 13 - 14)\\=&19.99×100\\=&1999\end{aligned}$
(2) 先对第二项变形，构造公因式：
$\begin{aligned}&39 × 37 - 13 × 3^4\\=& 39 × 37 - 13 × 3 × 3^3\\=& 39 × 37 - 39 × 27\\=&39×(37-27)\\=&39×10\\=&390\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{1999}$；(2) $\boxed{390}$
【知识点】
提取公因式法，有理数简便运算，因式分解的应用
【点评】
这两道题是利用因式分解简化有理数运算的典型习题，解题关键是观察式子特征，找到或构造出相同的公因式，通过提取公因式将复杂的乘加、乘减运算转化为简单的乘法运算，有效降低计算量，减少运算错误。
【难度系数】
0.8
6. 利用因式分解说明 $3^{200} - 4 × 3^{199} + 10 × 3^{198}$ 能被7整除.
答案
6. 解 $3^{200} - 4 × 3^{199} + 10 × 3^{198} = 3^{198} × (3^2 - 4 × 3 + 10) = 3^{198} × 7$,
故原式能被7整除.
故原式能被7整除.
解析
【分析】
要说明一个代数式能被7整除，只需将其变形为7与某个整数的乘积形式即可。观察原式的三项，均含有以3为底的幂，指数最小为198，因此可先提取公因式$3^{198}$，再计算括号内的整式结果，判断是否含有因数7即可完成证明。
【解析】
首先提取公因式$3^{198}$，对原式进行因式分解：
$\begin{aligned}3^{200} - 4 × 3^{199} + 10 × 3^{198}&= 3^{198} × 3^2 - 4 × 3^{198} × 3 + 10 × 3^{198}\\&=3^{198} × (3^2 - 4 × 3 + 10)\\&=3^{198} × (9 - 12 + 10)\\&=3^{198} × 7\end{aligned}$
因为$3^{198}$是正整数，所以原式是7的整数倍，因此能被7整除。
【答案】
$3^{200} - 4 × 3^{199} + 10 × 3^{198} = 3^{198} × 7$，故原式能被7整除。
【知识点】
提公因式法因式分解，整除的定义
【点评】
本题是因式分解的实际应用类题目，解题核心是准确找到公因式并提取，将原式转化为乘积形式判断因数，熟练掌握提公因式法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要说明一个代数式能被7整除，只需将其变形为7与某个整数的乘积形式即可。观察原式的三项，均含有以3为底的幂，指数最小为198，因此可先提取公因式$3^{198}$，再计算括号内的整式结果，判断是否含有因数7即可完成证明。
【解析】
首先提取公因式$3^{198}$，对原式进行因式分解：
$\begin{aligned}3^{200} - 4 × 3^{199} + 10 × 3^{198}&= 3^{198} × 3^2 - 4 × 3^{198} × 3 + 10 × 3^{198}\\&=3^{198} × (3^2 - 4 × 3 + 10)\\&=3^{198} × (9 - 12 + 10)\\&=3^{198} × 7\end{aligned}$
因为$3^{198}$是正整数，所以原式是7的整数倍，因此能被7整除。
【答案】
$3^{200} - 4 × 3^{199} + 10 × 3^{198} = 3^{198} × 7$，故原式能被7整除。
【知识点】
提公因式法因式分解，整除的定义
【点评】
本题是因式分解的实际应用类题目，解题核心是准确找到公因式并提取，将原式转化为乘积形式判断因数，熟练掌握提公因式法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
7.分解因式$x^2 + ax + b$时，甲看错了$a$的值，分解的结果是$(x-3)(x+2)$，乙看错了$b$的值，分解的结果是$(x-2)(x-3)$，求$a+b$的值。
答案
7. 解 由$(x-3)(x+2) = x^2 - x - 6$,得$b=-6$.
由$(x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6$,得$a=-5$,故$a+b = -5 + (-6) = -11$.
由$(x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6$,得$a=-5$,故$a+b = -5 + (-6) = -11$.
解析
【分析】
解题时首先要明确因式分解与整式乘法是互逆运算。甲仅看错了a的值，说明他分解得到的结果中常数项b是正确的；乙仅看错了b的值，说明他分解得到的结果中一次项系数a是正确的。我们可以先将两人的分解结果分别通过整式乘法展开，从甲的结果中提取正确的b，从乙的结果中提取正确的a，最后代入计算a+b的值即可。
【解析】
解：
∵甲看错了a的值，分解的结果是$(x-3)(x+2)$，此时b的值正确
先计算整式乘法：$(x-3)(x+2)=x^2 + 2x - 3x - 6 = x^2 - x - 6$
∴正确的$b=-6$
∵乙看错了b的值，分解的结果是$(x-2)(x-3)$，此时a的值正确
计算整式乘法：$(x-2)(x-3)=x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$
∴正确的$a=-5$
因此$a+b = -5 + (-6) = -11$
【答案】
$-11$
【知识点】
1.因式分解与整式乘法的互逆性
2.多项式乘多项式法则
3.代数式求值
【点评】
本题属于因式分解相关的基础常考题，核心是利用因式分解和整式乘法的互逆关系，准确锁定未看错的对应系数，只要熟练掌握多项式乘法运算就能轻松求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确因式分解与整式乘法是互逆运算。甲仅看错了a的值，说明他分解得到的结果中常数项b是正确的；乙仅看错了b的值，说明他分解得到的结果中一次项系数a是正确的。我们可以先将两人的分解结果分别通过整式乘法展开，从甲的结果中提取正确的b，从乙的结果中提取正确的a，最后代入计算a+b的值即可。
【解析】
解：
∵甲看错了a的值，分解的结果是$(x-3)(x+2)$，此时b的值正确
先计算整式乘法：$(x-3)(x+2)=x^2 + 2x - 3x - 6 = x^2 - x - 6$
∴正确的$b=-6$
∵乙看错了b的值，分解的结果是$(x-2)(x-3)$，此时a的值正确
计算整式乘法：$(x-2)(x-3)=x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$
∴正确的$a=-5$
因此$a+b = -5 + (-6) = -11$
【答案】
$-11$
【知识点】
1.因式分解与整式乘法的互逆性
2.多项式乘多项式法则
3.代数式求值
【点评】
本题属于因式分解相关的基础常考题，核心是利用因式分解和整式乘法的互逆关系，准确锁定未看错的对应系数，只要熟练掌握多项式乘法运算就能轻松求解。
【难度系数】
0.7
