典例 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=120°$,$AD⊥ AC$交$BC$于点$D$,求证$BC=3AD$.

证明
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°,
∴在Rt△ADC中,CD=2AD.
$\because ∠ BAC=120°,$
$\therefore ∠ BAD=120° - 90°=30°,$
$\therefore ∠ B=∠ BAD,\therefore AD=BD,$
$\therefore BC=3AD.$

【分析】
要证明BC=3AD，观察图形可知BC=BD+CD，因此只需分别推导BD、CD与AD的数量关系，再合并即可。首先利用等腰三角形等边对等角的性质，结合已知顶角∠BAC=120°，先计算出底角∠B和∠C的度数；再根据AD⊥AC得到Rt△ADC，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，得到CD与AD的数量关系；接下来计算∠BAD的度数，可发现∠BAD=∠B，利用等角对等边得到BD=AD；最后将BD、CD用AD替换相加，即可证得结论。
【解析】
证明：
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴在Rt△ADC中，CD=2AD。
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=120°-90°=30°，
∴∠B=∠BAD，
∴AD=BD，
∴BC=BD+CD=AD+2AD=3AD。
【答案】
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°,
∴在Rt△ADC中,CD=2AD.
∵∠BAC=120°,
∴∠BAD=120° - 90°=30°,
∴∠B=∠BAD,
∴AD=BD,
∴BC=3AD.
【知识点】
等腰三角形的性质、直角三角形30°角的性质、等角对等边
【点评】
本题是等腰三角形与直角三角形性质的综合基础题，解题核心是通过角度推导得到线段的等量关系，拆分待证线段分别分析的思路，能帮助快速理清证明逻辑，是几何线段关系证明的典型题型。
【难度系数】
0.8

典例解析
典例
证明 ∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°,
∴在Rt△ADC中,CD=2AD.
规律方法 直角三角形中有一个角为30°的性质的作用:
(1)用于证明线段的倍数关系;
(2)在直角三角形中求边长.
举一反三 如图,在△ABC中,∠C=60°,AD是BC边上的高,E为AD的中点,连接BE并延长交AC于点F.若∠AFB=90°,EF=2,求BF的长.

解
∵在△ABC 中,∠C=60°,AD 是 BC 边上的高，
∴∠DAC=90°−∠C=90°−60°=30°.
∵∠AFB=90°,EF=2,
∴AE=2EF=4.
∵点 E 为 AD 的中点，
∴DE=AE=4.
∵∠C=60°,∠BFC=90°,
∴∠EBD=30°,
∴BE=2DE=8,
∴BF=BE+EF=8+2=10.

【分析】
解题时首先利用直角三角形两锐角互余，结合已知∠C=60°求出∠DAC=30°；在Rt△AEF中，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，由EF的长度求出AE的长；再结合E是AD中点的条件得到DE的长度；接下来再次利用直角三角形两锐角互余求出∠EBD=30°，在Rt△BED中用同样的30°角性质求出BE的长，最后将BE和EF相加即可得到BF的长度。
【解析】
∵在△ABC 中，∠C=60°，AD 是 BC 边上的高，
∴∠DAC=90°−∠C=90°−60°=30°。
∵∠AFB=90°，EF=2，
∴在Rt△AEF中，AE=2EF=4。
∵点 E 为 AD 的中点，
∴DE=AE=4。
∵∠C=60°，∠BFC=180°−∠AFB=90°，
∴∠EBD=90°−∠C=30°，
在Rt△BED中，BE=2DE=8，
∴BF=BE+EF=8+2=10。
【答案】
10
【知识点】
直角三角形30°角的性质；中点的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是含特殊角的直角三角形线段求值的典型题，解题的核心是准确找到含30°角的直角三角形，灵活运用30°角对应的直角边与斜边的数量关系，结合中点性质逐步推导即可求解，解题时要注意不要混淆30°角所对的边和斜边。
【难度系数】
0.7