1. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,∠ACD=30°,那么下列结论正确的是().


A.$AD=\frac{1}{2}CD$
B.$AC=\frac{1}{2}AB$
C.$BD=\frac{1}{2}BC$
D.$CD=\frac{1}{2}AB$

1. B

【分析】
拿到题目先梳理已知条件：Rt△ABC中∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，∠ACD=30°。首先根据直角三角形两锐角互余的性质，可得△ACD中∠A与∠ACD互余，△ABC中∠A与∠B互余，由此可推出∠B=∠ACD=30°；再结合“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，逐个验证四个选项即可得到正确答案。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB
∴ ∠ADC=∠ACB=90°
∴ ∠A + ∠ACD = 90°，∠A + ∠B = 90°
∴ ∠B = ∠ACD = 30°（同角的余角相等）
在Rt△ABC中，∠B=30°，其所对的直角边为AC，斜边为AB
∴ $AC=\frac{1}{2}AB$，故B选项正确。
其余选项分析：
A选项：在Rt△ACD中，∠ACD=30°，可得$AD=\frac{1}{2}AC$，不是$AD=\frac{1}{2}CD$，错误；
C选项：在Rt△BCD中，∠B=30°，可得$CD=\frac{1}{2}BC$，不是$BD=\frac{1}{2}BC$，错误；
D选项：只有直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，CD是高不是中线，故$CD≠\frac{1}{2}AB$，错误。
【答案】
B
【知识点】
同角的余角相等，含30°角的直角三角形性质，直角三角形的性质
【点评】
本题侧重考查直角三角形基础性质的应用，解题关键是先推导得到∠B=30°，再结合30°角对应的直角三角形性质逐一判断选项，属于基础性质的常规考法。
【难度系数】
0.7

2. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,P是BC边上的动点,则AP的长可能是().


A.5
B.6.2
C.7.8
D.8

2. A 解析 根据垂线段最短,可知AP的长不能小于3.
∵在△ABC 中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,
∴AB=6,
∴AP 的长不能大于6.
故选 A.

【分析】
要确定AP的可能长度，需先求出AP的取值范围：首先，点P在BC上运动，根据垂线段最短，A到BC的最短距离是垂线段AC的长度，即AP的最小值为AC的长；其次，P在BC边上，当P与B重合时AP最长，等于AB的长，因此先利用直角三角形30°角的性质求出AB的长度，得到AP的取值范围后，对比选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
∵ ∠C=90°，即AC⊥BC，根据垂线段最短，可得AP的最小值等于AC的长，即AP≥3。
在Rt△ABC中，∠B=30°，AC是∠B所对的直角边，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得AB=2AC=2×3=6。
∵ 点P是BC边上的动点，
∴ AP的最大值等于AB的长，即AP≤6。
综上，AP的取值范围是3≤AP≤6，四个选项中只有5符合该范围，故选A。
【答案】
A
【知识点】
垂线段最短；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题结合动点场景考查几何基本性质的应用，解题关键是明确动点线段的最值情况，结合相关性质快速确定取值范围，解题难度较低。
【难度系数】
0.8

3. 如图，已知AD是△ABC的中线，∠1=2∠2，CE⊥AD于点E，BF⊥AD，交AD的延长线于点F。若EF=6，则BC=。

3. 12 解析
∵AD 是△ABC 的中线,
∴BD=CD.
∵CE⊥AD,BF⊥AD,
∴∠CED=∠F=90°.
∵在△CDE 和△BDF 中,
$\begin{cases}∠CED=∠BFD,\\∠2=∠BDF,\\CD=BD,\end{cases}$
∴△CDE≌△BDF(AAS),
∴DE=DF=$\frac{1}{2}EF=3$.
∵∠1=2∠2,∠1+∠2=180°,
∴∠2=60°,
∴∠DCE=30°,
∴CD=2DE=6,
∴BC=2CD=12.

【分析】
解题时先从已知条件逐步推导：首先由AD是△ABC的中线可得BD=CD，为证明三角形全等提供边相等的条件；再结合CE⊥AD、BF⊥AD得到两个直角相等，搭配对顶角∠2=∠BDF，可通过AAS证明△CDE和△BDF全等，推出DE=DF，结合EF=6即可求出DE的长度；之后根据∠1和∠2是邻补角，结合∠1=2∠2算出∠2的度数，在Rt△CDE中利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出CD的长度，最后根据中线的性质即可求出BC的长度。
【解析】
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠CED=∠F=90°。
在△CDE和△BDF中，
$\begin{cases}∠CED=∠BFD\\∠2=∠BDF\\CD=BD\end{cases}$
∴△CDE≌△BDF（AAS），
∴DE=DF=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}×6=3$。
∵∠1=2∠2，∠1+∠2=180°，
∴3∠2=180°，解得∠2=60°，
∴在Rt△CDE中，∠DCE=90°-∠2=30°，
∴CD=2DE=2×3=6，
∴BC=2CD=2×6=12。
【答案】
12
【知识点】
全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角的性质，三角形中线的定义
【点评】
本题属于三角形部分的常规综合题，将全等三角形、直角三角形特殊性质、邻补角、中线等知识点结合考查，解题的关键是先通过全等得到DE的长度，再结合角度关系利用直角三角形性质求解，解题时需注意挖掘图中的隐含条件（如对顶角相等、邻补角和为180°）。
【难度系数】
0.7

4. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ B = 90°, ∠ ACB = 60°, DE$ 是斜边 $AC$ 的垂直平分线, 分别交 $AB, AC$ 于 $D, E$ 两点. 若 $BD=2$, 求 $AD$ 的长.

4. 解
∵∠ACB=60°,∠B=90°,
∴∠A=30°.
∵DE 是斜边 AC 的垂直平分线,
∴AD=CD,
∴∠ACD=∠A=30°,
∴∠BCD=30°.
∵BD=2,
∴AD=CD=4.

【分析】
解题时先从已知的直角三角形内角条件入手，先利用三角形内角和求出∠A的度数；再结合DE是AC垂直平分线的条件，回忆垂直平分线的性质得到AD=CD，利用等边对等角得到∠ACD=∠A，进而求出∠BCD的度数；最后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，先求出CD的长度，即可得到AD的长。
【解析】
解：
∵在$Rt△ABC$中，$∠B=90°$，$∠ACB=60°$，
∴$∠A=180°-∠B-∠ACB=30°$。
∵DE是斜边AC的垂直平分线，
∴点D在AC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质可得$AD=CD$，
∴$∠ACD=∠A=30°$，
∴$∠BCD=∠ACB-∠ACD=60°-30°=30°$。
∵在$Rt△BCD$中，$∠B=90°$，$∠BCD=30°$，$BD=2$，
∴根据直角三角形30°角所对直角边是斜边的一半，可得$CD=2BD=4$，
又
∵$AD=CD$，
∴$AD=4$。
【答案】
$AD=4$
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 直角三角形30°角的性质
3. 等腰三角形等边对等角
【点评】
本题是三角形性质的基础综合题，解题的核心是通过垂直平分线的性质实现线段和角的等量转化，再结合特殊直角三角形的边长关系求解，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7

5.上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，上午10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得$∠ NAC=30°$，$∠ NBC=60°$。
(1)求从海岛B到灯塔C的距离；
(2)这条船继续向正北航行，在什么时间小船与灯塔C的距离最短？

5. 解 (1)
∵∠NBC=60°,∠NAC=30°,
∴∠ACB=60°−30°=30°,
∴AB=BC.
∵AB=15×2=30(海里),
∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里.
(2)如图,过点 C 作 CP ⊥ AN 于点 P,故小船在点 P 处与灯塔 C 的距离最短.

∵∠NBC=60°,∠BPC=90°,
∴∠PCB=90°−60°=30°,
∴PB=$\frac{1}{2}BC=15$(海里),
15÷15=1(小时),
∴这条船继续向正北航行,在上午的11时小船与灯塔C的距离最短.

【分析】
(1) 首先根据三角形外角的性质，∠NBC是△ABC的外角，等于不相邻的两个内角∠NAC与∠ACB的和，代入已知角度可求出∠ACB=30°，得到∠ACB=∠NAC，根据等角对等边可得BC=AB；再结合航行的速度和时间计算出AB的长度，即可求出B到灯塔C的距离。
(2) 根据“垂线段最短”可知，过点C作AN的垂线，垂足即为小船与C距离最短的位置；在构造出的直角三角形中，利用30°角所对直角边等于斜边的一半计算出需要航行的路程，结合航行速度求出时间，即可得到对应的时刻。
【解析】
(1)
∵∠NBC=60°，∠NAC=30°，且∠NBC是△ABC的外角，
∴∠ACB=∠NBC−∠NAC=60°−30°=30°，
∴∠ACB=∠NAC，
∴AB=BC（等角对等边）。
船从A到B的航行时间为10−8=2小时，
∴AB=15×2=30（海里），
∴BC=30海里。
(2) 过点C作CP⊥AN于点P，根据垂线段最短，此时小船在点P处与灯塔C的距离最短，如图：

在Rt△BPC中，∠BPC=90°，∠PBC=60°，
∴∠PCB=90°−60°=30°，
∴PB=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×30=15（海里），
小船航行PB段所需时间为15÷15=1（小时），
10时+1小时=11时。
【答案】
(1) 从海岛B到灯塔C的距离为30海里；
(2) 上午11时小船与灯塔C的距离最短。

【知识点】
等腰三角形判定；含30°角的直角三角形性质；垂线段最短
【点评】
本题结合航行实际场景考查三角形相关性质的应用，解题核心是通过角度关系推导边的等量关系，再结合特殊直角三角形的性质求解，既考查了基础知识的掌握情况，也考查了用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7

6.如图,已知∠O=60°,点P在边OA上,OP=8,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,求ON的长.

6. 解 过点 P 作 PD⊥OB 于点 D,

∵∠ODP=90°,∠O=60°,
∴∠OPD=30°,
∴OD=$\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×8=4$.
∵PM=PN,PD⊥MN,MN=2,
∴MD=ND=$\frac{1}{2}MN=1$,
∴ON=OD+DN=4+1=5.

【分析】
要求ON的长度，可将ON拆分为OD与DN两段分别计算。首先结合已知∠O=60°，考虑过点P作OB的垂线PD，构造含30°角的直角三角形OPD，利用直角三角形中30°角的性质即可求出OD的长度；再结合PM=PN可知△PMN是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，PD是底边MN的中线，可求出DN的长度，最后将OD与DN相加即可得到ON的长度。
【解析】
过点P作PD⊥OB于点D，
∵∠ODP=90°，∠O=60°，
∴∠OPD=180°-90°-60°=30°，
在Rt△OPD中，30°角所对的直角边为OD，
∴ $OD=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×8=4$。
∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，
根据等腰三角形三线合一的性质，PD平分底边MN，
∴ $MD=ND=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}×2=1$，
∴ $ON=OD+DN=4+1=5$。
【答案】
过点 P 作 PD⊥OB 于点 D,

∵∠ODP=90°,∠O=60°,
∴∠OPD=30°,
∴OD=$\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×8=4$.
∵PM=PN,PD⊥MN,MN=2,
∴MD=ND=$\frac{1}{2}MN=1$,
∴ON=OD+DN=4+1=5.
【知识点】
直角三角形30°角性质；等腰三角形三线合一；线段和差计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查等腰三角形和含特殊角直角三角形的性质应用，作垂线构造直角三角形是解题的突破口，属于常见的基础考点题型。
【难度系数】
0.7