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典例1 下列式子：$2a^2b$，$3xy - 2y^2$，$\frac{ab}{2}$，4，$-m$，$\frac{ab - c}{π}$，其中是多项式的有(
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A
)。A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
1. A 解析 根据题意，是多项式的有$3xy -2y^2$，$\frac{ab - c}{π}$，共2个。
解析
【分析】
解题的关键是先明确多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式。我们可以先回忆单项式的定义（数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式），再逐个判断给出的式子，筛选出符合多项式定义的式子，最后统计个数即可得到答案，判断时要注意π是常数，不是字母。
【解析】
根据单项式、多项式的定义逐个判断：
1. $2a^2b$是数与字母的积，属于单项式；
2. $3xy - 2y^2$是$3xy$和$-2y^2$两个单项式的和，属于多项式；
3. $\frac{ab}{2}$是数$\frac{1}{2}$与字母$a、b$的积，属于单项式；
4. 4是单独的数，属于单项式；
5. $-m$是数$-1$与字母$m$的积，属于单项式；
6. $\frac{ab - c}{π}$可变形为$\frac{ab}{π}-\frac{c}{π}$，是两个单项式的和，π是常数，因此属于多项式。
综上，多项式共有2个，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
多项式的定义；单项式的定义
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心考查多项式的识别，解题关键是准确区分单项式和多项式，易错点是误将π当作字母，从而错判$\frac{ab - c}{π}$的类型，熟练掌握相关定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题的关键是先明确多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式。我们可以先回忆单项式的定义（数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式），再逐个判断给出的式子，筛选出符合多项式定义的式子，最后统计个数即可得到答案，判断时要注意π是常数，不是字母。
【解析】
根据单项式、多项式的定义逐个判断：
1. $2a^2b$是数与字母的积，属于单项式；
2. $3xy - 2y^2$是$3xy$和$-2y^2$两个单项式的和，属于多项式；
3. $\frac{ab}{2}$是数$\frac{1}{2}$与字母$a、b$的积，属于单项式；
4. 4是单独的数，属于单项式；
5. $-m$是数$-1$与字母$m$的积，属于单项式；
6. $\frac{ab - c}{π}$可变形为$\frac{ab}{π}-\frac{c}{π}$，是两个单项式的和，π是常数，因此属于多项式。
综上，多项式共有2个，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
多项式的定义；单项式的定义
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心考查多项式的识别，解题关键是准确区分单项式和多项式，易错点是误将π当作字母，从而错判$\frac{ab - c}{π}$的类型，熟练掌握相关定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
举一反三 下列式子：$\frac{1}{3}ab$，$\frac{a+b}{2}$，$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$，$x^2+x-3$中，多项式有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)。A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确多项式的判断标准：①多项式属于整式，即代数式的分母中不能含有字母；②多项式是几个单项式的和。接下来我们逐个判断给出的4个式子是否符合这两个标准，统计符合要求的多项式个数即可得到答案。
【解析】
首先明确相关概念：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，几个单项式的和叫做多项式；整式包含单项式和多项式，分母含有字母的代数式属于分式，不属于整式，因此也不可能是多项式。
对四个式子逐一判断：
1. $\frac{1}{3}ab$：是数$\frac{1}{3}$与字母$a$、$b$的乘积，属于单项式，不是多项式；
2. $\frac{a+b}{2}$：可变形为$\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b$，是两个单项式的和，属于多项式；
3. $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$：分母中含有字母$x$、$y$，属于分式，不是整式，因此不是多项式；
4. $x^2+x-3$：是单项式$x^2$、$x$、$-3$的和，属于多项式。
综上，多项式共有2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
多项式的定义、整式与分式的区分、单项式的定义
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对多项式定义的理解，解题时要注意先排查代数式是否为整式，避免误将分式或者单项式判定为多项式。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，首先需要明确多项式的判断标准：①多项式属于整式，即代数式的分母中不能含有字母；②多项式是几个单项式的和。接下来我们逐个判断给出的4个式子是否符合这两个标准，统计符合要求的多项式个数即可得到答案。
【解析】
首先明确相关概念：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，几个单项式的和叫做多项式；整式包含单项式和多项式，分母含有字母的代数式属于分式，不属于整式，因此也不可能是多项式。
对四个式子逐一判断：
1. $\frac{1}{3}ab$：是数$\frac{1}{3}$与字母$a$、$b$的乘积，属于单项式，不是多项式；
2. $\frac{a+b}{2}$：可变形为$\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b$，是两个单项式的和，属于多项式；
3. $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$：分母中含有字母$x$、$y$，属于分式，不是整式，因此不是多项式；
4. $x^2+x-3$：是单项式$x^2$、$x$、$-3$的和，属于多项式。
综上，多项式共有2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
多项式的定义、整式与分式的区分、单项式的定义
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对多项式定义的理解，解题时要注意先排查代数式是否为整式，避免误将分式或者单项式判定为多项式。
【难度系数】
0.75
典例2 关于多项式$-\frac{2x^2y}{5}-3x+1$，下列说法正确的是(
A. 它由$-\frac{2x^2y}{5},3x$和1三项组成
B. 三项的次数依次为3,1,1
C. 它的最高次项的系数为$\frac{2}{5}$
D. 该多项式的常数项是1
规律总结 如何确定多项式的次数？
(1)计算多项式中每一项的次数.
(2)比较各项次数的大小.
(3)将次数最高项的次数定为多项式的次数,而不是所有项的次数之和.
D
).A. 它由$-\frac{2x^2y}{5},3x$和1三项组成
B. 三项的次数依次为3,1,1
C. 它的最高次项的系数为$\frac{2}{5}$
D. 该多项式的常数项是1
规律总结 如何确定多项式的次数？
(1)计算多项式中每一项的次数.
(2)比较各项次数的大小.
(3)将次数最高项的次数定为多项式的次数,而不是所有项的次数之和.
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查多项式的基础概念，解题时需先明确多项式的项、项的次数、最高次项系数、常数项的定义，再逐一验证选项：首先注意多项式的每一项都包含前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数和，常数项次数为0，最高次项的系数要带上前面的符号，通过逐个排查选项就能得到正确结果。
【解析】
先整理多项式$-\frac{2x^2y}{5}-3x+1$的各项属性：该多项式共有三项，分别为$-\frac{2x^2y}{5}$、$-3x$、$1$。
选项A：第二项为$-3x$，而非$3x$，描述错误。
选项B：第一项次数为$2+1=3$，第二项次数为1，第三项是常数项，次数为0，不是1，描述错误。
选项C：最高次项为$-\frac{2x^2y}{5}$，系数为$-\frac{2}{5}$，不是$\frac{2}{5}$，描述错误。
选项D：不含字母的项为常数项，该多项式的常数项是1，描述正确。
【答案】
D
【知识点】
多项式的相关概念，单项式的次数，单项式的系数
【点评】
本题是多项式概念的基础考查题，易错点在于容易忽略多项式各项前面的符号，以及误将常数项的次数记为1，熟记相关定义即可快速作答。
【难度系数】
0.7
本题考查多项式的基础概念，解题时需先明确多项式的项、项的次数、最高次项系数、常数项的定义，再逐一验证选项：首先注意多项式的每一项都包含前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数和，常数项次数为0，最高次项的系数要带上前面的符号，通过逐个排查选项就能得到正确结果。
【解析】
先整理多项式$-\frac{2x^2y}{5}-3x+1$的各项属性：该多项式共有三项，分别为$-\frac{2x^2y}{5}$、$-3x$、$1$。
选项A：第二项为$-3x$，而非$3x$，描述错误。
选项B：第一项次数为$2+1=3$，第二项次数为1，第三项是常数项，次数为0，不是1，描述错误。
选项C：最高次项为$-\frac{2x^2y}{5}$，系数为$-\frac{2}{5}$，不是$\frac{2}{5}$，描述错误。
选项D：不含字母的项为常数项，该多项式的常数项是1，描述正确。
【答案】
D
【知识点】
多项式的相关概念，单项式的次数，单项式的系数
【点评】
本题是多项式概念的基础考查题，易错点在于容易忽略多项式各项前面的符号，以及误将常数项的次数记为1，熟记相关定义即可快速作答。
【难度系数】
0.7
举一反三 在下列说法中,不正确的是（
A.$\frac{xy -1}{3}$是多项式
B.$6x^2 -3x +1$的项是$6x^2, -3x,1$
C.多项式$4a^3 -3a^4b +2$的次数是4
D.$x^2 -4x +1$的一次项系数是$-4$
C
）.A.$\frac{xy -1}{3}$是多项式
B.$6x^2 -3x +1$的项是$6x^2, -3x,1$
C.多项式$4a^3 -3a^4b +2$的次数是4
D.$x^2 -4x +1$的一次项系数是$-4$
答案
2. C
解析
【分析】
本题考查多项式的相关基础概念，解题时需先明确多项式、多项式的项、多项式的次数、项的系数的定义，再逐个判断每个选项的正误，最终选出不正确的选项即可。
【解析】
先明确相关定义：①几个单项式的和叫做多项式；②多项式中的每个单项式叫做多项式的项，项需包含前面的符号；③多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数；④单项式的系数是指单项式中的数字因数。
对各选项逐一判断：
A选项：$\frac{xy-1}{3}=\frac{1}{3}xy - \frac{1}{3}$，是两个单项式的和，属于多项式，该说法正确，不符合题意。
B选项：$6x^2 -3x +1$的项为$6x^2$、$-3x$、$1$，该说法正确，不符合题意。
C选项：多项式$4a^3 -3a^4b +2$中，各项次数分别为3、$4+1=5$、0，最高次项的次数为5，因此该多项式的次数是5，不是4，该说法错误，符合题意。
D选项：$x^2 -4x +1$的一次项为$-4x$，其系数为$-4$，该说法正确，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
多项式的定义；多项式的项与次数；单项式的系数
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点有两处：一是计算含多个字母的项的次数时，误将某个字母的指数当做项的次数；二是判断多项式的项时遗漏项前面的符号，掌握相关基本概念即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
本题考查多项式的相关基础概念，解题时需先明确多项式、多项式的项、多项式的次数、项的系数的定义，再逐个判断每个选项的正误，最终选出不正确的选项即可。
【解析】
先明确相关定义：①几个单项式的和叫做多项式；②多项式中的每个单项式叫做多项式的项，项需包含前面的符号；③多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数；④单项式的系数是指单项式中的数字因数。
对各选项逐一判断：
A选项：$\frac{xy-1}{3}=\frac{1}{3}xy - \frac{1}{3}$，是两个单项式的和，属于多项式，该说法正确，不符合题意。
B选项：$6x^2 -3x +1$的项为$6x^2$、$-3x$、$1$，该说法正确，不符合题意。
C选项：多项式$4a^3 -3a^4b +2$中，各项次数分别为3、$4+1=5$、0，最高次项的次数为5，因此该多项式的次数是5，不是4，该说法错误，符合题意。
D选项：$x^2 -4x +1$的一次项为$-4x$，其系数为$-4$，该说法正确，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
多项式的定义；多项式的项与次数；单项式的系数
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点有两处：一是计算含多个字母的项的次数时，误将某个字母的指数当做项的次数；二是判断多项式的项时遗漏项前面的符号，掌握相关基本概念即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
1.如图,某同学笔记本上的多项式未记录完整,若要补充完整这个多项式,横线上不能填写的是(
−xy+
是一个三次三项式.
A. $x^3$
B. $y^3$
C. $2^3$
D. $xyz$
2. 填表：
3. $a^5b - 4a^2b + b$ 的项为
4. $x,y$ 为有理数,$x$ 的平方与 $y$ 的和为
C
).−xy+
是一个三次三项式.A. $x^3$
B. $y^3$
C. $2^3$
D. $xyz$
2. 填表：
3. $a^5b - 4a^2b + b$ 的项为
$a^5b,-4a^2b,b$
,次数是 6
.4. $x,y$ 为有理数,$x$ 的平方与 $y$ 的和为
$x^2+y$
.答案
1. C
2. 第1行从左到右依次填:$x^2,-2x$；$2ab,-a^2b^2,3c$；$-\frac{1}{2}x^3,x,8$ 第2行从左到右依次填:2 4 3
3. $a^5b,-4a^2b,b$ 6
4. $x^2+y$
2. 第1行从左到右依次填:$x^2,-2x$；$2ab,-a^2b^2,3c$；$-\frac{1}{2}x^3,x,8$ 第2行从左到右依次填:2 4 3
3. $a^5b,-4a^2b,b$ 6
4. $x^2+y$
解析
【分析】
我们逐个梳理各题的解题思路：
1. 第1题：解题核心是明确三次三项式的定义：①多项式中次数最高的项的次数为3；②多项式总共包含3个无同类项的单项式。题目给出的多项式已有两项：-xy（次数为2）和常数项（题干插图对应的项为常数），因此横线处填写的项需满足本身次数为3、且不与已有项为同类项，才能保证整个多项式是三次三项式，逐一验证选项即可。
2. 第2题：解题依据是多项式的项、次数的定义：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，分别对每个多项式拆分单项式、计算最高次项的次数即可完成填表。
3. 第3题：找多项式的项时要注意保留每个单项式前面的符号，计算次数时先分别算出每个项的次数，取最大值即为多项式的次数。
4. 第4题：先将文字描述转化为代数式，“x的平方”即$x^2$，再求与y的和即可。
【解析】
1. 第1题：
已知多项式需为三次三项式，已有项：-xy（次数为2）、常数项（次数为0）：
选项A：填入$x^3$，$x^3$次数为3，此时多项式的项为$x^3$、-xy、常数项，共3项，最高次为3次，符合要求；
选项B：填入$y^3$，$y^3$次数为3，此时多项式的项为$y^3$、-xy、常数项，共3项，最高次为3次，符合要求；
选项C：填入$2^3$，$2^3$是常数（次数为0），此时最高次项为-xy（次数为2），多项式为二次三项式，不符合三次的要求，故不能填入；
选项D：填入$xyz$，$xyz$的次数为$1+1+1=3$，此时多项式的项为$xyz$、-xy、常数项，共3项，最高次为3次，符合要求。
综上选C。
2. 第2题：
第一行填多项式的项，从左到右依次为：第一个多项式的项是$x^2,-2x$；第二个多项式的项是$2ab,-a^2b^2,3c$；第三个多项式的项是$-\frac{1}{2}x^3,x,8$。
第二行填多项式的次数，从左到右依次为：第一个多项式最高次项为$x^2$，次数为2；第二个多项式最高次项为$-a^2b^2$，次数为$2+2=4$；第三个多项式最高次项为$-\frac{1}{2}x^3$，次数为3。
3. 第3题：
多项式$a^5b - 4a^2b + b$的项是组成多项式的每个带符号的单项式，即$a^5b,-4a^2b,b$；
各项次数分别为：$a^5b$的次数为$5+1=6$，$-4a^2b$的次数为$2+1=3$，$b$的次数为1，最高次数为6，因此该多项式的次数是6。
4. 第4题：
“x的平方”表示为$x^2$，与y的和即$x^2+y$。
【答案】
1. C
2. 第1行从左到右依次填:$x^2,-2x$；$2ab,-a^2b^2,3c$；$-\frac{1}{2}x^3,x,8$ 第2行从左到右依次填:2 4 3
3. $a^5b,-4a^2b,b$ 6
4. $x^2+y$
【知识点】
多项式的相关概念，多项式的项与次数，列代数式
【点评】
本组题目均为基础题型，重点考查对多项式基本定义的理解和运用，以及文字语言转化为代数式的能力，熟练掌握核心概念即可轻松解题。
【难度系数】
0.85
我们逐个梳理各题的解题思路：
1. 第1题：解题核心是明确三次三项式的定义：①多项式中次数最高的项的次数为3；②多项式总共包含3个无同类项的单项式。题目给出的多项式已有两项：-xy（次数为2）和常数项（题干插图对应的项为常数），因此横线处填写的项需满足本身次数为3、且不与已有项为同类项，才能保证整个多项式是三次三项式，逐一验证选项即可。
2. 第2题：解题依据是多项式的项、次数的定义：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，分别对每个多项式拆分单项式、计算最高次项的次数即可完成填表。
3. 第3题：找多项式的项时要注意保留每个单项式前面的符号，计算次数时先分别算出每个项的次数，取最大值即为多项式的次数。
4. 第4题：先将文字描述转化为代数式，“x的平方”即$x^2$，再求与y的和即可。
【解析】
1. 第1题：
已知多项式需为三次三项式，已有项：-xy（次数为2）、常数项（次数为0）：
选项A：填入$x^3$，$x^3$次数为3，此时多项式的项为$x^3$、-xy、常数项，共3项，最高次为3次，符合要求；
选项B：填入$y^3$，$y^3$次数为3，此时多项式的项为$y^3$、-xy、常数项，共3项，最高次为3次，符合要求；
选项C：填入$2^3$，$2^3$是常数（次数为0），此时最高次项为-xy（次数为2），多项式为二次三项式，不符合三次的要求，故不能填入；
选项D：填入$xyz$，$xyz$的次数为$1+1+1=3$，此时多项式的项为$xyz$、-xy、常数项，共3项，最高次为3次，符合要求。
综上选C。
2. 第2题：
第一行填多项式的项，从左到右依次为：第一个多项式的项是$x^2,-2x$；第二个多项式的项是$2ab,-a^2b^2,3c$；第三个多项式的项是$-\frac{1}{2}x^3,x,8$。
第二行填多项式的次数，从左到右依次为：第一个多项式最高次项为$x^2$，次数为2；第二个多项式最高次项为$-a^2b^2$，次数为$2+2=4$；第三个多项式最高次项为$-\frac{1}{2}x^3$，次数为3。
3. 第3题：
多项式$a^5b - 4a^2b + b$的项是组成多项式的每个带符号的单项式，即$a^5b,-4a^2b,b$；
各项次数分别为：$a^5b$的次数为$5+1=6$，$-4a^2b$的次数为$2+1=3$，$b$的次数为1，最高次数为6，因此该多项式的次数是6。
4. 第4题：
“x的平方”表示为$x^2$，与y的和即$x^2+y$。
【答案】
1. C
2. 第1行从左到右依次填:$x^2,-2x$；$2ab,-a^2b^2,3c$；$-\frac{1}{2}x^3,x,8$ 第2行从左到右依次填:2 4 3
3. $a^5b,-4a^2b,b$ 6
4. $x^2+y$
【知识点】
多项式的相关概念，多项式的项与次数，列代数式
【点评】
本组题目均为基础题型，重点考查对多项式基本定义的理解和运用，以及文字语言转化为代数式的能力，熟练掌握核心概念即可轻松解题。
【难度系数】
0.85
