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典例 某中学图书馆的窗户形状如图所示(单位:cm),其上部是半圆形,下部是4个相同的长方形,已知每个长方形的长为$a$ cm,宽为$b$ cm.
(1)列式表示窗户的面积;
(2)若$a=80,b=60$,求窗户的面积(计算结果保留$π$).
规律总结 常见的图形面积公式和体积公式有哪些?
$S_{长方形}=ab$($a$表示长,$b$表示宽).
$S_{正方形}=a^2$($a$表示边长).
$S_{三角形}=\frac{1}{2}ah$($a$表示底,$h$表示底$a$上的高).
(1)列式表示窗户的面积;
(2)若$a=80,b=60$,求窗户的面积(计算结果保留$π$).
规律总结 常见的图形面积公式和体积公式有哪些?
$S_{长方形}=ab$($a$表示长,$b$表示宽).
$S_{正方形}=a^2$($a$表示边长).
$S_{三角形}=\frac{1}{2}ah$($a$表示底,$h$表示底$a$上的高).
答案
(1)由题图知,窗户面积为$(4ab+\frac{1}{2}π b^2)(\mathrm{cm}^2)$.
(2)将 $a=80,b=60$ 代入 $4ab+\frac{1}{2}π b^2$ 中,有 $4ab+\frac{1}{2}π b^2=4×80×60+\frac{1}{2}π×60^2=(19200+1800π)(\mathrm{cm}^2)$.
(2)将 $a=80,b=60$ 代入 $4ab+\frac{1}{2}π b^2$ 中,有 $4ab+\frac{1}{2}π b^2=4×80×60+\frac{1}{2}π×60^2=(19200+1800π)(\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】
要解决窗户面积的问题，可采用拆分法分析：首先观察窗户的构成，它由上部半圆形和下部4个相同长方形组合而成，第一步先分别计算下部4个长方形的总面积、上部半圆形的面积，第二步将两部分面积相加即可得到窗户的总面积；第二问只需将a、b的数值代入第一问得到的代数式，按运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 计算下部4个长方形的总面积：单个长方形面积为$ab$，4个长方形的总面积为$4ab$；
计算上部半圆形的面积：由图可知半圆的直径为$b+b=2b$，因此半圆的半径为$b$，根据半圆面积公式可得面积为$\frac{1}{2}π b^2$；
将两部分面积相加，得到窗户的面积为$(4ab+\frac{1}{2}π b^2)\mathrm{cm}^2$。
(2) 将$a=80$，$b=60$代入$4ab+\frac{1}{2}π b^2$中计算：
$\begin{aligned}4ab+\frac{1}{2}π b^2&=4×80×60+\frac{1}{2}×π×60^2\\&=19200+\frac{1}{2}×π×3600\\&=19200+1800π\end{aligned}$
即此时窗户的面积为$(19200+1800π)\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $\boxed{(4ab+\frac{1}{2}π b^2)\mathrm{cm}^2}$
(2) $\boxed{(19200+1800π)\mathrm{cm}^2}$
【知识点】
组合图形面积计算；列代数式；代数式求值
【点评】
本题属于组合图形面积的基础应用题，解题核心是将复杂的组合图形拆分为多个已知面积公式的基础图形，分别计算面积后再求和，代入数值计算时要注意正确计算乘方、乘法的运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
要解决窗户面积的问题，可采用拆分法分析：首先观察窗户的构成，它由上部半圆形和下部4个相同长方形组合而成，第一步先分别计算下部4个长方形的总面积、上部半圆形的面积，第二步将两部分面积相加即可得到窗户的总面积；第二问只需将a、b的数值代入第一问得到的代数式，按运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 计算下部4个长方形的总面积：单个长方形面积为$ab$，4个长方形的总面积为$4ab$；
计算上部半圆形的面积：由图可知半圆的直径为$b+b=2b$，因此半圆的半径为$b$，根据半圆面积公式可得面积为$\frac{1}{2}π b^2$；
将两部分面积相加，得到窗户的面积为$(4ab+\frac{1}{2}π b^2)\mathrm{cm}^2$。
(2) 将$a=80$，$b=60$代入$4ab+\frac{1}{2}π b^2$中计算：
$\begin{aligned}4ab+\frac{1}{2}π b^2&=4×80×60+\frac{1}{2}×π×60^2\\&=19200+\frac{1}{2}×π×3600\\&=19200+1800π\end{aligned}$
即此时窗户的面积为$(19200+1800π)\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $\boxed{(4ab+\frac{1}{2}π b^2)\mathrm{cm}^2}$
(2) $\boxed{(19200+1800π)\mathrm{cm}^2}$
【知识点】
组合图形面积计算；列代数式；代数式求值
【点评】
本题属于组合图形面积的基础应用题，解题核心是将复杂的组合图形拆分为多个已知面积公式的基础图形，分别计算面积后再求和，代入数值计算时要注意正确计算乘方、乘法的运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
举一反三 “文房四宝”中砚台的示意图如图所示. 砚台外部的正方形边长为 $m$,内部圆形凹槽半径为 $n$.
(1)用含有 $m,n$ 的式子表示这个砚台阴影部分的面积 $S$;
(2)当 $m=14,n=6$ 时,求 $S$ 的值.($π$取 3)
(2)将 $a=80,b=60$ 代入 $4ab+\frac{1}{2}π b^2$ 中,有 $4ab+\frac{1}{2}π b^2=4×80×60+\frac{1}{2}π×60^2=(19200+1800π)(\mathrm{cm}^2)$.
(1)用含有 $m,n$ 的式子表示这个砚台阴影部分的面积 $S$;
(2)当 $m=14,n=6$ 时,求 $S$ 的值.($π$取 3)
(2)将 $a=80,b=60$ 代入 $4ab+\frac{1}{2}π b^2$ 中,有 $4ab+\frac{1}{2}π b^2=4×80×60+\frac{1}{2}π×60^2=(19200+1800π)(\mathrm{cm}^2)$.
答案
(1)$S=m^2-π n^2$.
(2)当 $m=14,n=6$ 时,$S=14^2-3×6^2=88$.
(2)当 $m=14,n=6$ 时,$S=14^2-3×6^2=88$.
解析
【分析】
要计算阴影部分的面积，首先观察图形可知，阴影部分是正方形挖去内部圆形后剩余的部分，因此面积等于正方形的面积减去内部圆形的面积。
(1) 先分别根据正方形、圆的面积公式，代入对应的边长和半径表示出两个图形的面积，再作差即可得到S的表达式；
(2) 第二问属于代数式求值，将m、n和π的取值直接代入第一问得到的表达式，按照先乘方、再乘法、最后减法的运算顺序计算即可得到S的数值。
【解析】
(1) 已知外部正方形的边长为$m$，根据正方形面积公式可得正方形的面积为$m^2$；
内部圆形凹槽的半径为$n$，根据圆的面积公式可得圆形的面积为$π n^2$；
阴影部分面积 = 正方形面积 - 圆形凹槽面积，因此$S=m^2-π n^2$。
(2) 当$m=14$，$n=6$，$π$取3时，代入$S=m^2-π n^2$计算：
$\begin{aligned}S&=14^2 - 3×6^2\\&=196-3×36\\&=196-108\\&=88\end{aligned}$
【答案】
(1)$S=m^2-π n^2$；(2)$88$
【知识点】
正方形面积计算、圆的面积计算、代数式求值
【点评】
本题属于组合图形面积的基础题，解题的核心是利用“割补法”将不规则的阴影部分面积转化为两个规则图形面积的差，代入数值计算时要注意遵循运算顺序，避免因运算优先级出错导致结果错误。
【难度系数】
0.8
要计算阴影部分的面积，首先观察图形可知，阴影部分是正方形挖去内部圆形后剩余的部分，因此面积等于正方形的面积减去内部圆形的面积。
(1) 先分别根据正方形、圆的面积公式，代入对应的边长和半径表示出两个图形的面积，再作差即可得到S的表达式；
(2) 第二问属于代数式求值，将m、n和π的取值直接代入第一问得到的表达式，按照先乘方、再乘法、最后减法的运算顺序计算即可得到S的数值。
【解析】
(1) 已知外部正方形的边长为$m$，根据正方形面积公式可得正方形的面积为$m^2$；
内部圆形凹槽的半径为$n$，根据圆的面积公式可得圆形的面积为$π n^2$；
阴影部分面积 = 正方形面积 - 圆形凹槽面积，因此$S=m^2-π n^2$。
(2) 当$m=14$，$n=6$，$π$取3时，代入$S=m^2-π n^2$计算：
$\begin{aligned}S&=14^2 - 3×6^2\\&=196-3×36\\&=196-108\\&=88\end{aligned}$
【答案】
(1)$S=m^2-π n^2$；(2)$88$
【知识点】
正方形面积计算、圆的面积计算、代数式求值
【点评】
本题属于组合图形面积的基础题，解题的核心是利用“割补法”将不规则的阴影部分面积转化为两个规则图形面积的差，代入数值计算时要注意遵循运算顺序，避免因运算优先级出错导致结果错误。
【难度系数】
0.8
