14.【阅读材料】先来看一个有趣的现象：$\sqrt{2\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{8}{3}}=\sqrt{\dfrac{2^2×2}{3}}=2\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”。具有这种现象的数还有很多，例如：$\sqrt{3\dfrac{3}{8}}=3\sqrt{\dfrac{3}{8}}$，$\sqrt{4\dfrac{4}{15}}=4\sqrt{\dfrac{4}{15}}$等。
【猜想】(1) $\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=$，并证明你的猜想。
【推理证明】(2) 请你用一个正整数$n(n≥2)$表示含有上述规律的等式，并给出证明。
【创新应用】(3) 按此规律，若$\sqrt{a+\dfrac{8}{b}}=a\sqrt{\dfrac{8}{b}}$（$a$、$b$为正整数），则$a+b$的值为。

(1) $5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$ 证明：$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=\sqrt{\dfrac{24×5+5}{24}}=\sqrt{\dfrac{5^2×5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$
(2) $\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}$. 证明：当$n$为正整数且$n ≥ 2$时，$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3-n+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^2 · n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}$
(3) 71

【分析】
1. 解决第(1)问：先观察给出的“穿墙”实例，可发现规律：带分数的整数部分与分数部分的分子相同，分母是整数部分的平方减1，化简后为整数部分乘根号下原分数部分，按此规律猜想结果后，将带分数化为假分数，结合积的算术平方根的性质验证即可。
2. 解决第(2)问：将实例中的整数部分替换为正整数$n(n≥2)$，对应写出分数部分的分子、分母的表达式，仿照(1)的证明步骤验证等式成立即可。
3. 解决第(3)问：将给出的等式和总结的通用规律做对比，确定$a$的取值，再按规律计算$b$的值，最后求解$a+b$即可。
【解析】
(1) 猜想结果为$5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$，证明如下：
将带分数化为假分数：
$\sqrt{5\dfrac{5}{24}}=\sqrt{\dfrac{5×24 + 5}{24}}=\sqrt{\dfrac{5×(24+1)}{24}}=\sqrt{\dfrac{5^2×5}{24}}$
根据积的算术平方根的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$，可得：
$\sqrt{\dfrac{5^2×5}{24}}=\sqrt{5^2}×\sqrt{\dfrac{5}{24}}=5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$，猜想成立。
(2) 含规律的等式为$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}$（$n$为正整数，$n≥2$），证明如下：
先对左边通分合并：
$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3 -n +n}{n^2-1}}=\sqrt{\dfrac{n^3}{n^2-1}}$
将分子改写为$n^2· n$，再根据积的算术平方根的性质开方：
$\sqrt{\dfrac{n^2· n}{n^2-1}}=\sqrt{n^2}·\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}$
左边等于右边，等式成立。
(3) 根据(2)总结的规律，$\sqrt{a+\dfrac{8}{b}}=a\sqrt{\dfrac{8}{b}}$中，分数部分的分子为8，可得$a=8$，分母$b=a^2 -1=8^2 -1=63$，因此$a+b=8+63=71$。
【答案】
(1) $5\sqrt{\dfrac{5}{24}}$
(2) $\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}(n≥2$，$n$为正整数)
(3) $71$
【知识点】
积的算术平方根，二次根式化简，数字规律探究
【点评】
本题是结合二次根式运算的规律探究类题目，需要先从给定实例中归纳出共性规律，再用二次根式的运算性质验证规律，最后应用规律解题，能有效考查观察归纳能力和二次根式的运算能力。
【难度系数】
0.7