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例题解析
例1 有理数$a,b$在数轴上表示的点如图2-1所示，比较大小：
(1) $a - b$
(3) $\frac{a}{b}$
解:(1)$a - b ＜ 0$. (2)$a + b ＞ 0$. (3)$\frac{a}{b} ＜ 0$. (4)$a + b ＞ a - b$.
评析:在解决此类问题时，一般应根据有理数的性质来研究，但本题也可采用特殊值法来研究，例如，根据$a,b$在数轴上表示的点的位置，不妨设$a = -1,b = 2$，结果显而易见。
例1 有理数$a,b$在数轴上表示的点如图2-1所示，比较大小：
(1) $a - b$
＜
$0$. (2) $a + b$ ＞
$0$.(3) $\frac{a}{b}$
＜
$0$. (4) $a + b$ ＞
$a - b$.解:(1)$a - b ＜ 0$. (2)$a + b ＞ 0$. (3)$\frac{a}{b} ＜ 0$. (4)$a + b ＞ a - b$.
评析:在解决此类问题时，一般应根据有理数的性质来研究，但本题也可采用特殊值法来研究，例如，根据$a,b$在数轴上表示的点的位置，不妨设$a = -1,b = 2$，结果显而易见。
答案
1. ＜
2. ＞
3. ＜
4. ＞
评析:在解决此类问题时，一般应根据有理数的性质来研究，但本题也可采用特殊值法来研究，例如，根据$a,b$在数轴上表示的点的位置，不妨设$a = -1,b = 2$，结果显而易见。
2. ＞
3. ＜
4. ＞
评析:在解决此类问题时，一般应根据有理数的性质来研究，但本题也可采用特殊值法来研究，例如，根据$a,b$在数轴上表示的点的位置，不妨设$a = -1,b = 2$，结果显而易见。
例2 计算下列各题,并注明运算顺序和方法:
(1) $69\frac{8}{9} × (-3) - 2\frac{1}{2} × 25 × (-16)$. (2) $-3^2 - (-3)^2 + (-1)^{123} - 2^3 ÷ \frac{4}{9} × (-\frac{3}{2})^2$.
(3) $[\frac{1}{3} + (-\frac{2}{7}) ÷ (-\frac{4}{3}) - \frac{4}{7}] ÷ (-\frac{1}{28} × \frac{4}{3})$.
解:(1) 原式$= (70 - \frac{1}{9}) × (-3) + (\frac{5}{2} × 4) × (25 × 4)$ （先算乘除,凑整简算）
$= -210 + \frac{1}{3} + 1000 = 790\frac{1}{3}$. （再算加减）
(2) 原式$= -9 -9 + (-1) -8 ÷ \frac{4}{9} × \frac{9}{4}$ （有乘方先算乘方）
$= -19 -8 × \frac{9}{4} × \frac{9}{4}$ （化除为乘,同级运算,按从左至右的顺序进行）
$= -19 - \frac{81}{2} = -59\frac{1}{2}$. （最后算加减）
(3) 原式$= [\frac{1}{3} + (-\frac{2}{7}) × (-\frac{3}{4}) - \frac{4}{7}] ÷ (-\frac{1}{21})$ （先算括号内的,有乘除先算）
$= (\frac{1}{3} + \frac{3}{14} - \frac{4}{7}) × (-21)$ （化除为乘,运用乘法分配律）
$= \frac{1}{3} × (-21) + \frac{3}{14} × (-21) - \frac{4}{7} × (-21)$ （先算乘除）
$= -7 - \frac{9}{2} +12 = \frac{1}{2}$. （再算加减）
(1) $69\frac{8}{9} × (-3) - 2\frac{1}{2} × 25 × (-16)$. (2) $-3^2 - (-3)^2 + (-1)^{123} - 2^3 ÷ \frac{4}{9} × (-\frac{3}{2})^2$.
(3) $[\frac{1}{3} + (-\frac{2}{7}) ÷ (-\frac{4}{3}) - \frac{4}{7}] ÷ (-\frac{1}{28} × \frac{4}{3})$.
解:(1) 原式$= (70 - \frac{1}{9}) × (-3) + (\frac{5}{2} × 4) × (25 × 4)$ （先算乘除,凑整简算）
$= -210 + \frac{1}{3} + 1000 = 790\frac{1}{3}$. （再算加减）
(2) 原式$= -9 -9 + (-1) -8 ÷ \frac{4}{9} × \frac{9}{4}$ （有乘方先算乘方）
$= -19 -8 × \frac{9}{4} × \frac{9}{4}$ （化除为乘,同级运算,按从左至右的顺序进行）
$= -19 - \frac{81}{2} = -59\frac{1}{2}$. （最后算加减）
(3) 原式$= [\frac{1}{3} + (-\frac{2}{7}) × (-\frac{3}{4}) - \frac{4}{7}] ÷ (-\frac{1}{21})$ （先算括号内的,有乘除先算）
$= (\frac{1}{3} + \frac{3}{14} - \frac{4}{7}) × (-21)$ （化除为乘,运用乘法分配律）
$= \frac{1}{3} × (-21) + \frac{3}{14} × (-21) - \frac{4}{7} × (-21)$ （先算乘除）
$= -7 - \frac{9}{2} +12 = \frac{1}{2}$. （再算加减）
答案
1. 原式$= (70 - \frac{1}{9}) × (-3) + (\frac{5}{2} × 4) × (25 × 4)$ （先算乘除,凑整简算）
$= -210 + \frac{1}{3} + 1000 = 790\frac{1}{3}$. （再算加减）
2. 原式$= -9 -9 + (-1) -8 ÷ \frac{4}{9} × \frac{9}{4}$ （有乘方先算乘方）
$= -19 -8 × \frac{9}{4} × \frac{9}{4}$ （化除为乘,同级运算,按从左至右的顺序进行）
$= -19 - \frac{81}{2} = -59\frac{1}{2}$. （最后算加减）
3. 原式$= [\frac{1}{3} + (-\frac{2}{7}) × (-\frac{3}{4}) - \frac{4}{7}] ÷ (-\frac{1}{21})$ （先算括号内的,有乘除先算）
$= (\frac{1}{3} + \frac{3}{14} - \frac{4}{7}) × (-21)$ （化除为乘,运用乘法分配律）
$= \frac{1}{3} × (-21) + \frac{3}{14} × (-21) - \frac{4}{7} × (-21)$ （先算乘除）
$= -7 - \frac{9}{2} +12 = \frac{1}{2}$. （再算加减）
$= -210 + \frac{1}{3} + 1000 = 790\frac{1}{3}$. （再算加减）
2. 原式$= -9 -9 + (-1) -8 ÷ \frac{4}{9} × \frac{9}{4}$ （有乘方先算乘方）
$= -19 -8 × \frac{9}{4} × \frac{9}{4}$ （化除为乘,同级运算,按从左至右的顺序进行）
$= -19 - \frac{81}{2} = -59\frac{1}{2}$. （最后算加减）
3. 原式$= [\frac{1}{3} + (-\frac{2}{7}) × (-\frac{3}{4}) - \frac{4}{7}] ÷ (-\frac{1}{21})$ （先算括号内的,有乘除先算）
$= (\frac{1}{3} + \frac{3}{14} - \frac{4}{7}) × (-21)$ （化除为乘,运用乘法分配律）
$= \frac{1}{3} × (-21) + \frac{3}{14} × (-21) - \frac{4}{7} × (-21)$ （先算乘除）
$= -7 - \frac{9}{2} +12 = \frac{1}{2}$. （再算加减）
思考探究
学校鼓乐队有64名学生参加训练，其队形如图2-2所示，后一行总比前一行多2名学生。
（1）第4行站有多少名学生？第5行站有多少名学生？第n行站有多少名学生？
（2）前2行相加有多少名学生？前3行相加有多少名学生？前4行相加有多少名学生？前n行相加有多少名学生？
（3）64名学生共能站几行？最后一行有多少名学生？
学校鼓乐队有64名学生参加训练，其队形如图2-2所示，后一行总比前一行多2名学生。
（1）第4行站有多少名学生？第5行站有多少名学生？第n行站有多少名学生？
（2）前2行相加有多少名学生？前3行相加有多少名学生？前4行相加有多少名学生？前n行相加有多少名学生？
（3）64名学生共能站几行？最后一行有多少名学生？
答案
解：
（1）已知第1行有1名学生，后一行比前一行多2名学生：
第4行学生数：$1 + 2×(4-1) = 7$（名）
第5行学生数：$1 + 2×(5-1) = 9$（名）
第$n$行学生数：$1 + 2(n-1) = 2n-1$（名）
（2）前2行学生总数：$1 + 3 = 4$（名）
前3行学生总数：$1 + 3 + 5 = 9$（名）
前4行学生总数：$1 + 3 + 5 + 7 = 16$（名）
前$n$行学生总数：$1+3+5+\dots+(2n-1) = n^2$（名）
（3）令前$n$行总人数$n^2=64$，结合$n$是正整数，得$n=8$
最后一行学生数：$2×8 - 1 = 15$（名）
答：（1）第4行站有7名学生，第5行站有9名学生，第$n$行站有$(2n-1)$名学生；（2）前2行相加有4名学生，前3行相加有9名学生，前4行相加有16名学生，前$n$行相加有$n^2$名学生；（3）64名学生共能站8行，最后一行有15名学生。
（1）已知第1行有1名学生，后一行比前一行多2名学生：
第4行学生数：$1 + 2×(4-1) = 7$（名）
第5行学生数：$1 + 2×(5-1) = 9$（名）
第$n$行学生数：$1 + 2(n-1) = 2n-1$（名）
（2）前2行学生总数：$1 + 3 = 4$（名）
前3行学生总数：$1 + 3 + 5 = 9$（名）
前4行学生总数：$1 + 3 + 5 + 7 = 16$（名）
前$n$行学生总数：$1+3+5+\dots+(2n-1) = n^2$（名）
（3）令前$n$行总人数$n^2=64$，结合$n$是正整数，得$n=8$
最后一行学生数：$2×8 - 1 = 15$（名）
答：（1）第4行站有7名学生，第5行站有9名学生，第$n$行站有$(2n-1)$名学生；（2）前2行相加有4名学生，前3行相加有9名学生，前4行相加有16名学生，前$n$行相加有$n^2$名学生；（3）64名学生共能站8行，最后一行有15名学生。
