一、选择题
1. 2025年1月7日凌晨，长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心点火起飞，将实践二十五号卫星成功送入预定轨道，为2025年中国航天宇航发射取得“开门红”. 如图1，当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为()

A.$ a\sinθ $千米
B.$ a\cosθ $千米
C.$ \frac{a}{\sinθ} $千米
D.$ \frac{a}{\cosθ} $千米

1. A

【分析】
首先判断△ARL是直角三角形，其中AL垂直海平面RL，∠ALR=90°。题目已知斜边RA的长度为a千米，仰角∠ARL=θ，要求对边AL的长度，可结合锐角三角函数中正弦的定义列式求解即可。
【解析】
由题意可知，AL⊥RL，即△ALR为直角三角形，∠ALR=90°。
在Rt△ALR中，斜边RA=a千米，∠ARL=θ，
根据正弦函数的定义：$\sinθ=\frac{∠θ的对边}{斜边}=\frac{AL}{RA}$，
变形可得$AL=RA·\sinθ=a\sinθ$（千米）。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数定义；解直角三角形的应用；仰角的概念
【点评】
本题以航天发射为背景考查解直角三角形的实际应用，题干信息清晰，只要能准确找到直角三角形中角对应的对边、斜边，结合正弦函数定义即可快速求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

2. 如图，某飞机于空中A处探测到地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α=30°，飞行高度AC=1200米，则飞机到目标B的距离AB为()

A.1200米
B.2400米
C.$400\sqrt{3}$米
D.$1200\sqrt{3}$米

2. B

【分析】
首先明确图形中的直角关系：飞行高度AC垂直于地面BC，因此△ACB是直角三角形，∠C=90°。其次转化俯角：俯角是飞机位置的水平线与视线AB的夹角，根据平行线内错角相等，可推出地面上的∠B等于俯角α=30°。最后利用直角三角形的性质求解：AC是30°角对应的直角边，AB是斜边，结合直角三角形30°角对边与斜边的关系即可算出AB长度。
【解析】
解：由题意可知，飞行高度AC垂直于地面BC，即∠ACB=90°。
∵飞机所在位置的水平线与地面BC平行，根据平行线内错角相等，可得∠B=α=30°。
在Rt△ABC中，30°角∠B对应的直角边AC=1200米，根据直角三角形性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AC=\frac{1}{2}AB$
因此$AB=2AC=2×1200=2400$米。
【答案】
B
【知识点】
俯角的概念、解直角三角形、直角三角形30°角性质
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用题，解题核心是将实际场景中的俯角正确转化为直角三角形的内角，再结合直角三角形的性质计算即可，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8

3. 如图，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为$45°$，若点D到电线杆底部点B的距离为$b$，则电线杆AB的长可表示为()

A.$b$
B.$2b$
C.$\frac{3}{2}b$
D.$\frac{5}{2}b$

3. B

【分析】
本题属于解直角三角形中仰角的应用问题，解题思路如下：①首先明确电线杆AB垂直于地面BD，可得△CBD为直角三角形；②已知仰角∠CDB=45°和邻边BD的长度为b，可利用锐角三角函数求出直角边BC的长度；③结合C是AB中点的性质，即可推导出AB的总长度。
【解析】
由题意可知：$AB ⊥ BD$，即$∠ B = 90°$，$△ CBD$为直角三角形。
在$Rt△ CBD$中，$∠ CDB = 45°$，$BD = b$，根据正切函数的定义：
$\tan∠ CDB = \frac{BC}{BD}$
代入已知条件得：$BC = BD · \tan45° = b × 1 = b$
$\because$ C是AB的中点，
$\therefore AB = 2BC = 2b$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形仰角应用；锐角三角函数定义；线段中点性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，结合实际场景考察了仰角的概念、特殊角的三角函数值以及中点性质的运用，解题的关键是找准直角三角形中边角的对应关系。
【难度系数】
0.8

二、填空题
1. 如图4，某课外活动小组在测量学校旗杆的高度时发现，当太阳光线与地面成$30°$时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为9米，则旗杆AB的高度为米（结果保留根号）。

1. $3\sqrt{3}$

【分析】
本题是解直角三角形的实际应用问题，首先根据旗杆与地面垂直，可判断△ABC为直角三角形，且∠B=90°。已知锐角∠C=30°和其邻边BC的长度，要求对边AB的长度，可选择正切三角函数建立边角关系求解，代入30°角的正切值计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意可知AB⊥BC，即∠ABC=90°，△ABC是直角三角形。
在Rt△ABC中，∠C=30°，BC=9米，
根据正切的定义：$\tan C = \frac{AB}{BC}$，
则$AB = BC · \tan30°$，
代入$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，得：
$AB = 9 × \frac{\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$（米）。
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
解直角三角形的应用、正切三角函数、特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础类应用题，核心考查学生对直角三角形边角关系的掌握程度，以及运用特殊角三角函数值解决实际问题的能力，解题关键是准确判断直角三角形，选取合适的三角函数建立等式。
【难度系数】
0.8

2. 如图5，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工.在AC上的一点B处取$∠ ABD=140°$，并测量得$BD=520$米，$∠ D=50°$，为了使A，C，E在一直线上，开挖点E离D的距离应是米（结果用三角函数表示）.

2. $520\cos50°$(或$520\sin40°$)

【分析】
要使A、C、E在同一直线上，首先可得点E在直线AC上，先利用邻补角的性质求出∠DBE的度数，再结合三角形内角和定理判断出△BDE是直角三角形，最后根据锐角三角函数的定义即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵ 点A、B、C、E共线
∴ ∠ABD + ∠DBE = 180°
∵ ∠ABD = 140°
∴ ∠DBE = 180° - 140° = 40°
在△BDE中，∠DBE=40°，∠D=50°
∴ ∠BED = 180° - 40° - 50° = 90°，即△BDE是直角三角形，∠BED=90°
在Rt△BDE中，根据余弦的定义：$\cos D = \frac{DE}{BD}$
∴ $DE = BD · \cos D$
代入BD=520米，∠D=50°，得$DE=520\cos50°$米
（或根据正弦定义，$\sin∠DBE=\frac{DE}{BD}$，得$DE=520\sin40°$米）
【答案】
$520\cos50°$(或$520\sin40°$)
【知识点】
邻补角性质、三角形内角和、解直角三角形
【点评】
本题结合实际施工场景考查解直角三角形的应用，解题的关键是根据共线条件推导出直角三角形，再结合锐角三角函数的定义列式求解，注重了数学知识在实际问题中的运用。
【难度系数】
0.7

3. 如图6,在某建筑物AC上,挂着一条宣传广告条幅BC,昌明站在点F处,看条幅顶端B,测得仰角为$30°$,他往前走到E处,看条幅顶端B,测得仰角为$60°$,已知$EC=10$ m,则$FC=$m.

3. 30

【分析】
本题属于解直角三角形的仰角应用类问题，解题思路如下：首先观察图形可知△BEC和△BFC均为直角三角形，公共边BC是衔接两个三角形的关键。第一步先在Rt△BEC中，利用已知的EC长度和60°的仰角，通过正切三角函数求出BC的长度；第二步再在Rt△BFC中，利用求出的BC长度和30°的仰角，再次通过正切三角函数即可求出FC的长度。
【解析】
解：由题意可知$AC⊥ FC$，即$∠ C=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BEC$中，$∠ BEC=60°$，$EC=10\ \mathrm{m}$，
根据正切函数定义：$\tan∠ BEC=\frac{BC}{EC}$，
$\therefore BC=EC·\tan60°=10×\sqrt{3}=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BFC$中，$∠ F=30°$，
根据正切函数定义：$\tan∠ F=\frac{BC}{FC}$，
$\therefore FC=\frac{BC}{\tan30°}=\frac{10\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=10\sqrt{3}×\frac{3}{\sqrt{3}}=30\ \mathrm{m}$。
【答案】
30
【知识点】
解直角三角形，锐角三角函数，仰角应用
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题，解题核心是找到两个直角三角形的公共边作为中间量，通过锐角三角函数建立边与角的关系即可求解，是解直角三角形章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7