【拓展思考】
木兰灯塔是一座颇为现代化的航标灯塔,位于海南岛的北端,是海南岛东北部一处重要的航标.某天,一艘渔船自西向东(沿AC方向)以每小时10海里的速度在琼州海峡航行,如图4所示.

航行记录
记录一:上午8时,渔船到达木兰灯塔P北偏西60°方向上的A处
记录二:上午8时30分,渔船到达木兰灯塔P北偏西45°方向上的B处
记录三:根据气象观测,当天凌晨4时到上午9时,受天文大潮和天气影响,琼州海峡C点周围5海里内,会出现异常海况,点C位于木兰灯塔P北偏东15°方向
请你根据以上信息解决下列问题:
(1)填空:∠PAB=°,∠APC=°,AB=海里;
(2)若该渔船不改变航线与速度,是否会进入“海况异常”区,请计算说明(参考数据:$\sqrt{2}\approx1.41$,$\sqrt{3}\approx1.73$,$\sqrt{6}\approx2.45$).

(1) 30,75,5
(2) 如图,过点P作PD⊥AC于点D,则∠PBD=∠BPD=45°,DP=DB. 设DP为x海里,则DB为x海里,DA为(x+5)海里,在Rt△ADP中,∠A=30°,tan30°=$\frac{PD}{AD}$,即$\frac{x}{x+5}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

∴$x = \frac{5}{2}(\sqrt{3}+1)$,即$PD=\frac{5}{2}(\sqrt{3}+1)$(海里)

∴$AP=2PD=5\sqrt{3}+5$(海里). 又∠APC=75°

∴∠ACP=∠APC=75°

∴$AC=AP=5\sqrt{3}+5$(海里)

∴$BC = 5\sqrt{3}$(海里). 若不改变航线与速度,渔船8时30分至9时将行驶10×0.5=5(海里),此时与点C相距$(5\sqrt{3} - 5)$海里
∵$5\sqrt{3} - 5 ＜ 5$

∴渔船不改变航线与速度,会进入“海况异常”区

【分析】
第(1)问思路：
1. 求∠PAB：AC为东西方向，正北方向与AC垂直，A在P北偏西60°方向，因此∠PAB=90°-60°；
2. 求∠APC：A在P北偏西60°，C在P北偏东15°，因此∠APC为两个方向角的和；
3. 求AB：渔船航行速度为10海里/时，从8时到8时30分共航行0.5小时，根据路程=速度×时间即可计算。
第(2)问思路：
要判断渔船是否进入海况异常区，需计算9时（异常海况结束时间）渔船到C点的距离，若距离小于5海里则会进入。首先过P作PD⊥AC构造直角三角形，利用特殊角的三角函数求出PD、AP的长度，再通过角度计算证明△APC为等腰三角形得到AC的长度，进而求出BC的长度，最后计算8时30分到9时渔船的航行距离，对比剩余到C的距离和5海里的大小即可判断。
【解析】
(1) 计算过程：
∵ AC为东西方向，正北方向与AC垂直，A在P北偏西60°方向，
∴ $∠ PAB=90°-60°=30°$；
∵ A在P北偏西60°，C在P北偏东15°，
∴ $∠ APC=60°+15°=75°$；
渔船从A到B航行时间为0.5小时，速度为10海里/时，
∴ $AB=10×0.5=5$海里。
(2) 过点P作$PD⊥ AC$于点D，
∵ B在P北偏西45°方向，
∴ $∠ PBD=45°$，$△ PBD$为等腰直角三角形，即$DP=DB$。
设$DP=x$海里，则$DB=x$海里，$DA=DB+AB=(x+5)$海里。
在$Rt△ ADP$中，$∠ A=30°$，由正切定义得：$\tan30°=\frac{PD}{AD}$，即$\frac{x}{x+5}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得：$x = \frac{5}{2}(\sqrt{3}+1)$，即$PD=\frac{5}{2}(\sqrt{3}+1)$海里。
在$Rt△ ADP$中，$∠ A=30°$，
∴ $AP=2PD=5\sqrt{3}+5$海里。
在$△ APC$中，$∠ ACP=180°-∠ A-∠ APC=180°-30°-75°=75°$，
∴ $∠ ACP=∠ APC$，
∴ $AC=AP=5\sqrt{3}+5$海里。
∴ $BC=AC-AB=5\sqrt{3}+5-5=5\sqrt{3}$海里。
上午8时30分到9时共0.5小时，渔船航行路程为$10×0.5=5$海里，
此时渔船距离C点的距离为$5\sqrt{3}-5\approx5×1.73-5=3.65$海里，
∵ $3.65＜5$，
∴ 渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区。
【答案】
(1) 30,75,5
(2) 如图,过点P作PD⊥AC于点D,则∠PBD=∠BPD=45°,DP=DB. 设DP为x海里,则DB为x海里,DA为(x+5)海里,在Rt△ADP中,∠A=30°,tan30°=$\frac{PD}{AD}$,即$\frac{x}{x+5}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴$x = \frac{5}{2}(\sqrt{3}+1)$,即$PD=\frac{5}{2}(\sqrt{3}+1)$(海里)
∴$AP=2PD=5\sqrt{3}+5$(海里). 又∠APC=75°
∴∠ACP=∠APC=75°
∴$AC=AP=5\sqrt{3}+5$(海里)
∴$BC = 5\sqrt{3}$(海里). 若不改变航线与速度,渔船8时30分至9时将行驶10×0.5=5(海里),此时与点C相距$(5\sqrt{3} - 5)$海里
∵$5\sqrt{3} - 5 ＜ 5$
∴渔船不改变航线与速度,会进入“海况异常”区
【知识点】
方向角的应用，解直角三角形，等腰三角形的判定
【点评】
本题结合实际航海场景命题，将实际问题转化为几何求解问题，既考查了方向角、锐角三角函数、等腰三角形等基础知识点，也考查了学生构建几何模型解决实际问题的能力，综合性较强。
【难度系数】
0.6