知识点 加减消元法
解方程组时，通过两式消去其中，这种解二元一次方程组的方法称为加减消元法。

相加(或相减) 一个未知数

例 1 解方程组$\begin{cases}\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{3}=\dfrac{1}{3},\\3(x - 1)=y + 1。\end{cases}$

方程组可化为：
第一个方程两边同时乘以6：$3x - 2y = 2 \quad \mathrm{①}$，
第二个方程展开：$3x - y = 4 \quad \mathrm{②}$，
用方程②减去方程①：
$ (3x - y) - (3x - 2y) = 4 - 2 $
$ y = 2 $
将 $ y = 2 $ 代入方程②：
$ 3x - 2 = 4 $
$ 3x = 6 $
$ x = 2 $
所以原方程组的解是：
$ \begin{cases}x = 2, \\y = 2 \end{cases}$

【变式训练 1】 解方程组$\begin{cases}\dfrac{x}{2}-\dfrac{1 + y}{4}=-1,\\x + y = - 9。\end{cases}$

$\{\begin{array}{l} x=-4,\\ y=-5\end{array} $

解：$\begin{cases}\dfrac{x}{2}-\dfrac{1 + y}{4}=-1,\\x + y = - 9\end{cases}$
由第一个方程得：$2x-(1 + y)=-4$
$2x - y = -3$
联立$\begin{cases}2x - y = -3\\x + y = -9\end{cases}$
两式相加得：$3x=-12$
$x=-4$
将$x=-4$代入$x + y=-9$得：$-4 + y=-9$
$y=-5$
$\begin{cases} x=-4\\ y=-5\end{cases}$

例 2 已知$\begin{cases}x = 1,\\y = 2\end{cases}$和$\begin{cases}x = - 1,\\y = - 3\end{cases}$都是方程$2ax - by = 4$的解，求$a$，$b$的值。

【点拨】 将两组解分别代入方程，得到关于$a$与$b$的方程组，求出方程组的解即可得到$a$与$b$的值。
【解】 将$\begin{cases}x = 1,\\y = 2\end{cases}$和$\begin{cases}x = - 1,\\y = - 3\end{cases}$分别代入方程$2ax - by = 4$，得$\begin{cases}2a - 2b = 4,\\- 2a + 3b = 4。\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 10,\\b = 8。\end{cases}$

【变式训练 2】 已知$\begin{cases}x = 2,\\y = 4\end{cases}$是关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}4x + ay = 7b,\\ax - by = - 6\end{cases}$的解。
(1)求$a$，$b$的值；
(2)求$2ab - a + 1$的算术平方根。

(1)$\{\begin{array}{l} a=5,\\ b=4\end{array} $ (2)6

(1)将$\begin{cases}x = 2\\y = 4\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}4x + ay = 7b\\ax - by = - 6\end{cases}$，得：
$\begin{cases}4×2 + a×4 = 7b \\a×2 - b×4 = - 6\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}8 + 4a = 7b \\2a - 4b = - 6\end{cases}$
由第二个方程$2a - 4b = - 6$，化简得$a = 2b - 3$，将其代入第一个方程：
$8 + 4(2b - 3) = 7b$
$8 + 8b - 12 = 7b$
$8b - 4 = 7b$
$b = 4$
将$b = 4$代入$a = 2b - 3$，得$a = 2×4 - 3 = 5$
所以$\begin{cases}a = 5\\b = 4\end{cases}$
(2)将$a = 5$，$b = 4$代入$2ab - a + 1$：
$2×5×4 - 5 + 1 = 40 - 5 + 1 = 36$
$36$的算术平方根为$\sqrt{36} = 6$