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27. (本题满分 14 分)【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点 O 为圆心,相邻横线的间距为半径画圆,然后半径依次增加一个间距画同心圆,描出了同心圆与横线的一些交点,如图 1 所示,他发现这些点的位置有一定的规律.
【提出问题】
小明通过观察,提出猜想:按此步骤继续画圆描点,所描的点都在某二次函数图像上.
【分析问题】
小明利用已学知识和经验,以圆心 O 为原点,过点 O 的横线所在直线为 x 轴,过点 O 且垂直于横线的直线为 y 轴,相邻横线的间距为一个单位长度,建立平面直角坐标系,如图 2 所示.当所描的点在半径为 5 的同心圆上时,其坐标为
【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立.
【深度思考】
小明继续思考:设点$P(0,m)$,m 为正整数,以 OP 为直径画$\odot M$,是否存在所描的点在$\odot M$上.若存在,求 m 的值;若不存在,说明理由.
小明在练习簿的横线上取点 O 为圆心,相邻横线的间距为半径画圆,然后半径依次增加一个间距画同心圆,描出了同心圆与横线的一些交点,如图 1 所示,他发现这些点的位置有一定的规律.
【提出问题】
小明通过观察,提出猜想:按此步骤继续画圆描点,所描的点都在某二次函数图像上.
【分析问题】
小明利用已学知识和经验,以圆心 O 为原点,过点 O 的横线所在直线为 x 轴,过点 O 且垂直于横线的直线为 y 轴,相邻横线的间距为一个单位长度,建立平面直角坐标系,如图 2 所示.当所描的点在半径为 5 的同心圆上时,其坐标为
$(-3,4)$或$(3,4)$
.【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立.
【深度思考】
小明继续思考:设点$P(0,m)$,m 为正整数,以 OP 为直径画$\odot M$,是否存在所描的点在$\odot M$上.若存在,求 m 的值;若不存在,说明理由.
答案
27. 【分析问题】$(-3,4)$或$(3,4)$
【解决问题】证明:设所描的点在半径为$n$($n$为正整数)的同心圆上,则该点的纵坐标为$(n - 1)$,$\therefore$ 该点的横坐标为$\pm \sqrt{n^{2}-(n - 1)^{2}}=\pm \sqrt{2n - 1}$,$\therefore$ 该点的坐标为$(-\sqrt{2n - 1},n - 1)$或$(\sqrt{2n - 1},n - 1)$.$\therefore$ 该点在二次函数$y=\dfrac{1}{2}(x^{2}-1)=\dfrac{1}{2}x^{2}-\dfrac{1}{2}$的图像上,$\therefore$ 小明的猜想正确.
【深度思考】解:设该点的坐标为$(\pm \sqrt{2n - 1},n - 1)$,$\odot M$的圆心坐标为$(0,\dfrac{1}{2}m)$,$\therefore \sqrt{(\pm \sqrt{2n - 1}-0)^{2}+(n - 1-\dfrac{1}{2}m)^{2}}=\dfrac{1}{2}m$,$\therefore m=\dfrac{n^{2}}{n - 1}=\dfrac{(n - 1 + 1)^{2}}{n - 1}=\dfrac{(n - 1)^{2}+2(n - 1)+1}{n - 1}=n - 1 + 2+\dfrac{1}{n - 1}$.又$\because m,n$均为正整数,$\therefore n - 1 = 1$,$\therefore m = 1 + 2 + 1 = 4$,$\therefore$ 存在所描的点在$\odot M$上,$m$的值为4.
【解决问题】证明:设所描的点在半径为$n$($n$为正整数)的同心圆上,则该点的纵坐标为$(n - 1)$,$\therefore$ 该点的横坐标为$\pm \sqrt{n^{2}-(n - 1)^{2}}=\pm \sqrt{2n - 1}$,$\therefore$ 该点的坐标为$(-\sqrt{2n - 1},n - 1)$或$(\sqrt{2n - 1},n - 1)$.$\therefore$ 该点在二次函数$y=\dfrac{1}{2}(x^{2}-1)=\dfrac{1}{2}x^{2}-\dfrac{1}{2}$的图像上,$\therefore$ 小明的猜想正确.
【深度思考】解:设该点的坐标为$(\pm \sqrt{2n - 1},n - 1)$,$\odot M$的圆心坐标为$(0,\dfrac{1}{2}m)$,$\therefore \sqrt{(\pm \sqrt{2n - 1}-0)^{2}+(n - 1-\dfrac{1}{2}m)^{2}}=\dfrac{1}{2}m$,$\therefore m=\dfrac{n^{2}}{n - 1}=\dfrac{(n - 1 + 1)^{2}}{n - 1}=\dfrac{(n - 1)^{2}+2(n - 1)+1}{n - 1}=n - 1 + 2+\dfrac{1}{n - 1}$.又$\because m,n$均为正整数,$\therefore n - 1 = 1$,$\therefore m = 1 + 2 + 1 = 4$,$\therefore$ 存在所描的点在$\odot M$上,$m$的值为4.
