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10. 甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：
甲:8,8,7,8,9；
乙:5,9,7,10,9.
(1) 填写下表：
(2) 教练根据这5次成绩,选择甲参加射击比赛,教练的理由是什么?
(3) 如果乙再射击1次,命中8环,那么乙的射击成绩的方差会
甲:8,8,7,8,9；
乙:5,9,7,10,9.
(1) 填写下表：
(2) 教练根据这5次成绩,选择甲参加射击比赛,教练的理由是什么?
(3) 如果乙再射击1次,命中8环,那么乙的射击成绩的方差会
变小
(填“变大”“变小”或“不变”).答案
10. (1) 如表所示：
| | 平均数 | 众 数 | 中位数 | 方 差 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲 | 8 | 8 | 8 | 0.4 |
| 乙 | 8 | 9 | 9 | 3.2 |
(2) 理由:甲与乙的平均成绩相同,且甲的方差比较小,说明甲的成绩较乙来说比较稳定,故选甲；
(3) 变小
| | 平均数 | 众 数 | 中位数 | 方 差 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲 | 8 | 8 | 8 | 0.4 |
| 乙 | 8 | 9 | 9 | 3.2 |
(2) 理由:甲与乙的平均成绩相同,且甲的方差比较小,说明甲的成绩较乙来说比较稳定,故选甲；
(3) 变小
解析
【分析】
解题时先回忆各统计量的定义：①众数是一组数据中出现次数最多的数；②平均数是所有数据之和除以数据个数；③中位数是将数据排序后位于中间位置的数（数据个数为奇数时取中间的数，偶数时取中间两个数的平均数）；④方差是反映数据波动大小的量，方差越小数据越稳定。
第(1)问分别对应定义计算甲的众数、乙的平均数和中位数即可；第(2)问对比甲乙的平均数和方差，从稳定性角度分析选甲的原因；第(3)问先判断新增数据后乙的平均数是否变化，再结合方差公式判断方差的变化趋势。
【解析】
(1) 计算各统计量：
甲的打靶数据为8,8,7,8,9，其中8出现次数最多，故甲的众数为8；
乙的打靶数据为5,9,7,10,9，平均数为$\frac{5+9+7+10+9}{5}=8$；
将乙的数据从小到大排序为5,7,9,9,10，共5个数据，第3个数据为9，故乙的中位数为9。
(2) 对比甲乙的成绩：甲乙两人的平均成绩都是8，说明两人平均水平相当；甲的方差为0.4，远小于乙的方差3.2，方差越小说明成绩波动越小、越稳定，因此选择甲参加比赛。
(3) 乙原来5次成绩的平均数为8，新增1次命中8环后，6次成绩的平均数仍为$\frac{5×8+8}{6}=8$；原来的差平方和为$3.2×5=16$，新增数据与平均数的差的平方为$(8-8)^2=0$，新的差平方和仍为16，新方差为$\frac{16}{6}\approx2.67＜3.2$，因此方差变小。
【答案】
(1) 表格填写如下：
| | 平均数 | 众 数 | 中位数 | 方 差 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲 | 8 | 8 | 8 | 0.4 |
| 乙 | 8 | 9 | 9 | 3.2 |
(2) 甲与乙的平均成绩相同，且甲的方差比较小，说明甲的成绩较乙来说比较稳定，故选甲；
(3) 变小
【知识点】
1. 统计量计算 2. 方差的意义 3. 数据稳定性分析
【点评】
本题是统计的基础题型，核心考察各统计量的定义及实际应用，其中方差反映数据波动程度的性质是高频考点，只要掌握各统计量的计算方法和实际含义就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆各统计量的定义：①众数是一组数据中出现次数最多的数；②平均数是所有数据之和除以数据个数；③中位数是将数据排序后位于中间位置的数（数据个数为奇数时取中间的数，偶数时取中间两个数的平均数）；④方差是反映数据波动大小的量，方差越小数据越稳定。
第(1)问分别对应定义计算甲的众数、乙的平均数和中位数即可；第(2)问对比甲乙的平均数和方差，从稳定性角度分析选甲的原因；第(3)问先判断新增数据后乙的平均数是否变化，再结合方差公式判断方差的变化趋势。
【解析】
(1) 计算各统计量：
甲的打靶数据为8,8,7,8,9，其中8出现次数最多，故甲的众数为8；
乙的打靶数据为5,9,7,10,9，平均数为$\frac{5+9+7+10+9}{5}=8$；
将乙的数据从小到大排序为5,7,9,9,10，共5个数据，第3个数据为9，故乙的中位数为9。
(2) 对比甲乙的成绩：甲乙两人的平均成绩都是8，说明两人平均水平相当；甲的方差为0.4，远小于乙的方差3.2，方差越小说明成绩波动越小、越稳定，因此选择甲参加比赛。
(3) 乙原来5次成绩的平均数为8，新增1次命中8环后，6次成绩的平均数仍为$\frac{5×8+8}{6}=8$；原来的差平方和为$3.2×5=16$，新增数据与平均数的差的平方为$(8-8)^2=0$，新的差平方和仍为16，新方差为$\frac{16}{6}\approx2.67＜3.2$，因此方差变小。
【答案】
(1) 表格填写如下：
| | 平均数 | 众 数 | 中位数 | 方 差 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲 | 8 | 8 | 8 | 0.4 |
| 乙 | 8 | 9 | 9 | 3.2 |
(2) 甲与乙的平均成绩相同，且甲的方差比较小，说明甲的成绩较乙来说比较稳定，故选甲；
(3) 变小
【知识点】
1. 统计量计算 2. 方差的意义 3. 数据稳定性分析
【点评】
本题是统计的基础题型，核心考察各统计量的定义及实际应用，其中方差反映数据波动程度的性质是高频考点，只要掌握各统计量的计算方法和实际含义就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
11. 某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如下表所示：
那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是 （
A.18,7.5
B.18,7
C.7,8
D.7,7.5
那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是 （
D
）A.18,7.5
B.18,7
C.7,8
D.7,7.5
答案
11. D
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确众数和中位数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数据；中位数是将数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后，若数据总个数为奇数，取最中间的数，若为偶数，取最中间两个数的平均数。解题时先统计各锻炼时间的出现次数确定众数，再通过累计人数找到排序后第20、21位的数值，计算二者的平均值得到中位数即可。
【解析】
1. 求众数：
观察表格可知，参加体育锻炼时间为7h的同学有18人，是所有时间段中人数最多的，因此这组数据的众数为7。
2. 求中位数：
该班共有40名同学，即共有40个数据，中位数为排序后第20个和第21个数据的平均数。
累计各时间段人数：
锻炼时间6h的共2人，对应第1~2个数据；
锻炼时间7h的共18人，累计人数为2+18=20人，对应第3~20个数据；
锻炼时间8h的共14人，对应第21~34个数据。
因此第20个数据是7，第21个数据是8，中位数为$\frac{7+8}{2}=7.5$。
综上，众数为7，中位数为7.5，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
众数；中位数
【点评】
本题属于统计基础题型，核心考查众数和中位数的概念，解题的关键是准确理解两个统计量的定义，计算中位数时要注意先确定数据总个数的奇偶性，再准确找到中间位置对应的数值，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要明确众数和中位数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数据；中位数是将数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后，若数据总个数为奇数，取最中间的数，若为偶数，取最中间两个数的平均数。解题时先统计各锻炼时间的出现次数确定众数，再通过累计人数找到排序后第20、21位的数值，计算二者的平均值得到中位数即可。
【解析】
1. 求众数：
观察表格可知，参加体育锻炼时间为7h的同学有18人，是所有时间段中人数最多的，因此这组数据的众数为7。
2. 求中位数：
该班共有40名同学，即共有40个数据，中位数为排序后第20个和第21个数据的平均数。
累计各时间段人数：
锻炼时间6h的共2人，对应第1~2个数据；
锻炼时间7h的共18人，累计人数为2+18=20人，对应第3~20个数据；
锻炼时间8h的共14人，对应第21~34个数据。
因此第20个数据是7，第21个数据是8，中位数为$\frac{7+8}{2}=7.5$。
综上，众数为7，中位数为7.5，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
众数；中位数
【点评】
本题属于统计基础题型，核心考查众数和中位数的概念，解题的关键是准确理解两个统计量的定义，计算中位数时要注意先确定数据总个数的奇偶性，再准确找到中间位置对应的数值，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
12. 若样本$x_1+1,x_2+1,\dots,x_n+1$的平均数为10，方差为2，则对于样本$x_1+2,x_2+2,\dots,x_n+2$，下列结论正确的是（
A.平均数为10，方差为2
B.平均数为11，方差为3
C.平均数为11，方差为2
D.平均数为10，方差为3
C
）A.平均数为10，方差为2
B.平均数为11，方差为3
C.平均数为11，方差为2
D.平均数为10，方差为3
答案
12. C
解析
【分析】
解题时首先回忆平均数和方差的变化规律：当一组数据的每个数据都加上同一个常数时，平均数会相应加上这个常数；方差反映的是数据的波动程度，每个数据加相同常数时，数据间的相对差值不变，因此方差保持不变。观察两个样本的关系：样本$x_1+2,x_2+2,\dots,x_n+2$的每个数据比已知样本$x_1+1,x_2+1,\dots,x_n+1$的对应数据大1，由此可以直接推导新样本的平均数和方差。
【解析】
第一步：计算新样本的平均数
已知样本$x_1+1,x_2+1,\dots,x_n+1$的平均数为10，即：
$\frac{(x_1+1)+(x_2+1)+\dots+(x_n+1)}{n}=10$
化简得：$\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} +1=10$，因此原数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$10-1=9$。
新样本$x_1+2,x_2+2,\dots,x_n+2$的平均数为：
$\frac{(x_1+2)+(x_2+2)+\dots+(x_n+2)}{n}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} +2=9+2=11$。
第二步：计算新样本的方差
方差是衡量数据波动大小的量，已知原样本$x_1+1,x_2+1,\dots,x_n+1$的方差为2，根据方差公式：
$S_1^2=\frac{1}{n}[((x_1+1)-10)^2+((x_2+1)-10)^2+\dots+((x_n+1)-10)^2]=2$
即$\frac{1}{n}[(x_1-9)^2+(x_2-9)^2+\dots+(x_n-9)^2]=2$。
新样本的方差为：
$S_2^2=\frac{1}{n}[((x_1+2)-11)^2+((x_2+2)-11)^2+\dots+((x_n+2)-11)^2]$
化简得$S_2^2=\frac{1}{n}[(x_1-9)^2+(x_2-9)^2+\dots+(x_n-9)^2]=2$。
因此新样本的平均数为11，方差为2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平均数的性质，方差的性质
【点评】
本题属于统计基础题型，核心考查平均数和方差的变化规律，记住“一组数据全体加减同一个常数时，平均数同步加减该常数，方差不变”的结论，可快速解题，不需要复杂计算。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平均数和方差的变化规律：当一组数据的每个数据都加上同一个常数时，平均数会相应加上这个常数；方差反映的是数据的波动程度，每个数据加相同常数时，数据间的相对差值不变，因此方差保持不变。观察两个样本的关系：样本$x_1+2,x_2+2,\dots,x_n+2$的每个数据比已知样本$x_1+1,x_2+1,\dots,x_n+1$的对应数据大1，由此可以直接推导新样本的平均数和方差。
【解析】
第一步：计算新样本的平均数
已知样本$x_1+1,x_2+1,\dots,x_n+1$的平均数为10，即：
$\frac{(x_1+1)+(x_2+1)+\dots+(x_n+1)}{n}=10$
化简得：$\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} +1=10$，因此原数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数为$10-1=9$。
新样本$x_1+2,x_2+2,\dots,x_n+2$的平均数为：
$\frac{(x_1+2)+(x_2+2)+\dots+(x_n+2)}{n}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} +2=9+2=11$。
第二步：计算新样本的方差
方差是衡量数据波动大小的量，已知原样本$x_1+1,x_2+1,\dots,x_n+1$的方差为2，根据方差公式：
$S_1^2=\frac{1}{n}[((x_1+1)-10)^2+((x_2+1)-10)^2+\dots+((x_n+1)-10)^2]=2$
即$\frac{1}{n}[(x_1-9)^2+(x_2-9)^2+\dots+(x_n-9)^2]=2$。
新样本的方差为：
$S_2^2=\frac{1}{n}[((x_1+2)-11)^2+((x_2+2)-11)^2+\dots+((x_n+2)-11)^2]$
化简得$S_2^2=\frac{1}{n}[(x_1-9)^2+(x_2-9)^2+\dots+(x_n-9)^2]=2$。
因此新样本的平均数为11，方差为2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平均数的性质，方差的性质
【点评】
本题属于统计基础题型，核心考查平均数和方差的变化规律，记住“一组数据全体加减同一个常数时，平均数同步加减该常数，方差不变”的结论，可快速解题，不需要复杂计算。
【难度系数】
0.8
13. 根据李飞与刘亮射击训练的成绩绘制了如图所示的折线统计图,根据统计图所提供的信息,若要推荐一位成绩较稳定的选手去参赛,应推荐 (
A.李飞或刘亮
B.李飞
C.刘亮
D.无法确定
C
)A.李飞或刘亮
B.李飞
C.刘亮
D.无法确定
答案
13. C
解析
【分析】
要判断哪位选手成绩更稳定，本质是比较两人成绩的方差，方差越小说明成绩波动越小、稳定性越好。解题时首先从折线统计图中提取两人10次射击的所有成绩，分别计算平均数和方差，再比较方差大小即可得出结论，也可先通过折线的起伏程度初步判断波动大小辅助验证。
【解析】
解：判断成绩稳定性需比较方差，方差越小成绩越稳定。
①提取两人10次射击成绩：
刘亮（实线）的成绩：7、8、8、9、7、8、8、9、7、9
李飞（虚线）的成绩：5、8、9、7、8、9、10、8、9、7
②计算两人成绩的平均数：
$\overline{x}_\mathrm{刘亮}=\frac{7+8+8+9+7+8+8+9+7+9}{10}=8$（环）
$\overline{x}_\mathrm{李飞}=\frac{5+8+9+7+8+9+10+8+9+7}{10}=8$（环）
③计算两人成绩的方差：
$s^2_\mathrm{刘亮}=\frac{3×(7-8)^2 +4×(8-8)^2 +3×(9-8)^2}{10}=\frac{3×1+0+3×1}{10}=0.6$
$s^2_\mathrm{李飞}=\frac{(5-8)^2 +2×(7-8)^2 +3×(8-8)^2 +3×(9-8)^2 +(10-8)^2}{10}=\frac{9+2×1+0+3×1+4}{10}=1.8$
④比较方差：$\because 0.6＜1.8$，即刘亮的成绩方差更小，波动更小，成绩更稳定，因此应推荐刘亮参赛。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
折线统计图、方差的意义、方差计算
【点评】
本题考查数据离散程度的实际应用，核心是理解方差反映数据波动大小的性质，只要准确提取统计图中的数据，正确计算方差就能顺利解题，也可通过观察折线的起伏幅度快速判断波动大小。
【难度系数】
0.7
要判断哪位选手成绩更稳定，本质是比较两人成绩的方差，方差越小说明成绩波动越小、稳定性越好。解题时首先从折线统计图中提取两人10次射击的所有成绩，分别计算平均数和方差，再比较方差大小即可得出结论，也可先通过折线的起伏程度初步判断波动大小辅助验证。
【解析】
解：判断成绩稳定性需比较方差，方差越小成绩越稳定。
①提取两人10次射击成绩：
刘亮（实线）的成绩：7、8、8、9、7、8、8、9、7、9
李飞（虚线）的成绩：5、8、9、7、8、9、10、8、9、7
②计算两人成绩的平均数：
$\overline{x}_\mathrm{刘亮}=\frac{7+8+8+9+7+8+8+9+7+9}{10}=8$（环）
$\overline{x}_\mathrm{李飞}=\frac{5+8+9+7+8+9+10+8+9+7}{10}=8$（环）
③计算两人成绩的方差：
$s^2_\mathrm{刘亮}=\frac{3×(7-8)^2 +4×(8-8)^2 +3×(9-8)^2}{10}=\frac{3×1+0+3×1}{10}=0.6$
$s^2_\mathrm{李飞}=\frac{(5-8)^2 +2×(7-8)^2 +3×(8-8)^2 +3×(9-8)^2 +(10-8)^2}{10}=\frac{9+2×1+0+3×1+4}{10}=1.8$
④比较方差：$\because 0.6＜1.8$，即刘亮的成绩方差更小，波动更小，成绩更稳定，因此应推荐刘亮参赛。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
折线统计图、方差的意义、方差计算
【点评】
本题考查数据离散程度的实际应用，核心是理解方差反映数据波动大小的性质，只要准确提取统计图中的数据，正确计算方差就能顺利解题，也可通过观察折线的起伏幅度快速判断波动大小。
【难度系数】
0.7
14.一组数据2,3,x,y,12中,唯一的众数是12,平均数是6,则这组数据的中位数是
3
.答案
14. 3
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：第一步，根据平均数的定义，先计算出这组数据的总和；第二步，结合“唯一众数是12”的限制条件，判断未知数据x、y中必有12，进而求出另一个未知数据的值；第三步，将所有数据按从小到大的顺序排列，根据中位数的定义找出中位数即可。
【解析】
首先计算这组数据的总和：
∵ 5个数据的平均数是6，
∴ 数据总和 = 5×6 = 30。
可得等式：2 + 3 + x + y + 12 = 30，化简得x + y = 13。
又
∵ 这组数据的唯一众数是12，说明12出现的次数多于其他数，
已知的2、3、12各出现1次，因此x、y中至少有1个是12，
将其中一个数取12，另一个数为13 - 12 = 1，此时12共出现2次，其余数均只出现1次，满足唯一众数的条件。
将这组数据从小到大排列为：1，2，3，12，12，
共5个数据，中位数是排序后第3个数据，即3。
【答案】
3
【知识点】
平均数的计算，众数的概念，中位数的求法
【点评】
本题综合考查了数据集中趋势的三个统计量的概念与应用，解题的核心是抓住“唯一众数”的限制条件求出未知数值，再通过排序确定中位数，注意不要忽略众数的唯一性要求导致出错。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：第一步，根据平均数的定义，先计算出这组数据的总和；第二步，结合“唯一众数是12”的限制条件，判断未知数据x、y中必有12，进而求出另一个未知数据的值；第三步，将所有数据按从小到大的顺序排列，根据中位数的定义找出中位数即可。
【解析】
首先计算这组数据的总和：
∵ 5个数据的平均数是6，
∴ 数据总和 = 5×6 = 30。
可得等式：2 + 3 + x + y + 12 = 30，化简得x + y = 13。
又
∵ 这组数据的唯一众数是12，说明12出现的次数多于其他数，
已知的2、3、12各出现1次，因此x、y中至少有1个是12，
将其中一个数取12，另一个数为13 - 12 = 1，此时12共出现2次，其余数均只出现1次，满足唯一众数的条件。
将这组数据从小到大排列为：1，2，3，12，12，
共5个数据，中位数是排序后第3个数据，即3。
【答案】
3
【知识点】
平均数的计算，众数的概念，中位数的求法
【点评】
本题综合考查了数据集中趋势的三个统计量的概念与应用，解题的核心是抓住“唯一众数”的限制条件求出未知数值，再通过排序确定中位数，注意不要忽略众数的唯一性要求导致出错。
【难度系数】
0.7
15. 在一次爱心捐款中,某班有40名学生拿出自己的零花钱,有捐5元、10元、20元、50元的,如图所示反映了不同捐款金额的人数比例,那么这个班的学生平均每人捐款
16
元.答案
15. 16
解析
【分析】
本题要求平均每人捐款金额，可采用两种思路求解：思路一，先根据总人数和扇形统计图中各捐款金额的人数占比，分别算出捐5元、10元、20元、50元的人数，再计算所有学生的捐款总额，最后用捐款总额除以总人数得到平均值；思路二，直接把各捐款金额对应的占比作为权重，利用加权平均数公式直接计算，两种方法均能得到结果。
【解析】
方法1：先计算各捐款金额对应的人数：
捐5元的人数：$40×60\% = 24$人
捐10元的人数：$40×10\% = 4$人
捐20元的人数：$40×10\% = 4$人
捐50元的人数：$40×20\% = 8$人
总捐款金额：$5×24 + 10×4 + 20×4 + 50×8 = 120 + 40 + 80 + 400 = 640$元
平均每人捐款金额：$640÷40 = 16$元
方法2：利用加权平均数公式直接计算：
平均捐款金额$=5×60\% + 10×10\% + 20×10\% + 50×20\% = 3 + 1 + 2 + 10 = 16$元
【答案】
16
【知识点】
扇形统计图；加权平均数计算
【点评】
本题属于基础应用题，结合扇形统计图考查数据统计的相关计算，解题的关键是读懂扇形统计图，明确各部分占比的含义，熟练掌握加权平均数的计算方法。
【难度系数】
0.8
本题要求平均每人捐款金额，可采用两种思路求解：思路一，先根据总人数和扇形统计图中各捐款金额的人数占比，分别算出捐5元、10元、20元、50元的人数，再计算所有学生的捐款总额，最后用捐款总额除以总人数得到平均值；思路二，直接把各捐款金额对应的占比作为权重，利用加权平均数公式直接计算，两种方法均能得到结果。
【解析】
方法1：先计算各捐款金额对应的人数：
捐5元的人数：$40×60\% = 24$人
捐10元的人数：$40×10\% = 4$人
捐20元的人数：$40×10\% = 4$人
捐50元的人数：$40×20\% = 8$人
总捐款金额：$5×24 + 10×4 + 20×4 + 50×8 = 120 + 40 + 80 + 400 = 640$元
平均每人捐款金额：$640÷40 = 16$元
方法2：利用加权平均数公式直接计算：
平均捐款金额$=5×60\% + 10×10\% + 20×10\% + 50×20\% = 3 + 1 + 2 + 10 = 16$元
【答案】
16
【知识点】
扇形统计图；加权平均数计算
【点评】
本题属于基础应用题，结合扇形统计图考查数据统计的相关计算，解题的关键是读懂扇形统计图，明确各部分占比的含义，熟练掌握加权平均数的计算方法。
【难度系数】
0.8
