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11.用代入法解方程组$\begin{cases}2x + 5y = -21,①\\x + 3y = 8,②\end{cases}$较为简便的方法是（ ）
A.先把①变形
B.先把②变形
C.可先把①变形，也可先把②变形
D.把①②同时变形
A.先把①变形
B.先把②变形
C.可先把①变形，也可先把②变形
D.把①②同时变形
答案
B
解析
【分析】
用代入法解二元一次方程组时，优先选择未知数系数为±1的方程变形，这样变形过程不需要做除法，不会出现分数，能简化后续计算。观察题干中的两个方程，方程②中x的系数为1，变形难度更低，因此优先考虑变形方程②。
【解析】
代入消元法的优化变形原则：优先选择含系数为±1的未知数的方程进行变形，避免出现分数运算，减少计算错误。
观察方程组：
方程①中x的系数为2、y的系数为5，无论变形为用x表示y还是用y表示x，都会出现分数系数，计算较繁琐；
方程②中x的系数为1，只需移项即可得到$x=8-3y$，无分数运算，代入方程①计算非常简便，因此较为简便的方法是先把②变形。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
代入消元法；二元一次方程组解法
【点评】
本题侧重考查代入消元法解方程组的技巧选择，掌握优先选择系数为±1的未知数所在方程变形的技巧，可大幅降低计算量，提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.8
用代入法解二元一次方程组时，优先选择未知数系数为±1的方程变形，这样变形过程不需要做除法，不会出现分数，能简化后续计算。观察题干中的两个方程，方程②中x的系数为1，变形难度更低，因此优先考虑变形方程②。
【解析】
代入消元法的优化变形原则：优先选择含系数为±1的未知数的方程进行变形，避免出现分数运算，减少计算错误。
观察方程组：
方程①中x的系数为2、y的系数为5，无论变形为用x表示y还是用y表示x，都会出现分数系数，计算较繁琐；
方程②中x的系数为1，只需移项即可得到$x=8-3y$，无分数运算，代入方程①计算非常简便，因此较为简便的方法是先把②变形。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
代入消元法；二元一次方程组解法
【点评】
本题侧重考查代入消元法解方程组的技巧选择，掌握优先选择系数为±1的未知数所在方程变形的技巧，可大幅降低计算量，提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.8
12.七年级学生共有246人，其中男生人数$y$比女生人数$x$的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的是（
A.$\begin{cases} x+y=246, \\ 2y=x-2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=246, \\ 2x=y+2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=246, \\ y=2x+2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=246, \\ 2y=x+2 \end{cases}$
B
）A.$\begin{cases} x+y=246, \\ 2y=x-2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=246, \\ 2x=y+2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=246, \\ y=2x+2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=246, \\ 2y=x+2 \end{cases}$
答案
B
解析
【分析】
这是一道根据实际问题列二元一次方程组的题目，解题时先找题目中的两个等量关系：①总人数等于男生人数加女生人数；②男生人数比女生人数的2倍少2人。先根据第一个等量关系列出总人数对应的方程，再将第二个数量关系转化为方程，最后匹配选项即可，要注意不要混淆男女生人数的倍数对应关系。
【解析】
首先，根据七年级学生总共有246人，女生人数为x，男生人数为y，可得第一个方程：
$x + y = 246$
其次，根据“男生人数y比女生人数x的2倍少2人”，可列等量关系：男生人数=女生人数×2 - 2，代入字母得：
$y = 2x - 2$
对该式移项变形可得：$2x = y + 2$
联立两个方程，得到方程组$\begin{cases} x+y=246, \\ 2x=y+2 \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 实际问题列二元一次方程组
2. 等量关系识别
【点评】
本题是二元一次方程组应用的基础题型，解题核心是准确提取题目中的两个等量关系，将文字描述转化为数学方程，需注意区分倍数对应的主体，避免把数量关系写反。
【难度系数】
0.8
这是一道根据实际问题列二元一次方程组的题目，解题时先找题目中的两个等量关系：①总人数等于男生人数加女生人数；②男生人数比女生人数的2倍少2人。先根据第一个等量关系列出总人数对应的方程，再将第二个数量关系转化为方程，最后匹配选项即可，要注意不要混淆男女生人数的倍数对应关系。
【解析】
首先，根据七年级学生总共有246人，女生人数为x，男生人数为y，可得第一个方程：
$x + y = 246$
其次，根据“男生人数y比女生人数x的2倍少2人”，可列等量关系：男生人数=女生人数×2 - 2，代入字母得：
$y = 2x - 2$
对该式移项变形可得：$2x = y + 2$
联立两个方程，得到方程组$\begin{cases} x+y=246, \\ 2x=y+2 \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 实际问题列二元一次方程组
2. 等量关系识别
【点评】
本题是二元一次方程组应用的基础题型，解题核心是准确提取题目中的两个等量关系，将文字描述转化为数学方程，需注意区分倍数对应的主体，避免把数量关系写反。
【难度系数】
0.8
13.已知$\begin{cases}x+2y=6-3a,\\x-y=6a\end{cases}$是关于$x,y$的方程组，下列说法：
①当$a=1$时，方程组的解也是$x+y=a+3$的解；
②若$2x+y=3$，则$a=-1$；
③无论$a$取何值，$x,y$的值不可能互为相反数；
④$x,y$都为自然数的解有5对。
其中正确的个数为（
A.1
B.2
C.3
D.4
①当$a=1$时，方程组的解也是$x+y=a+3$的解；
②若$2x+y=3$，则$a=-1$；
③无论$a$取何值，$x,y$的值不可能互为相反数；
④$x,y$都为自然数的解有5对。
其中正确的个数为（
D
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
D
解析
【分析】
解题时首先通过加减消元法解给定的二元一次方程组，用含参数a的代数式表示出x和y的取值，再依次对4个结论逐一验证：①将a=1代入x、y的表达式，再代入方程x+y=a+3验证是否成立；②将x、y的表达式代入2x+y=3，求解a的值判断是否符合；③根据互为相反数的两数和为0，计算x+y的值判断是否可能为0；④根据x、y为自然数的要求，结合x+y=4的恒等关系，统计符合要求的解的对数，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
先解方程组$\begin{cases}x+2y=6-3a①\\x-y=6a②\end{cases}$：
用①-②消去x，得$3y=6-9a$，解得$y=2-3a$；
将$y=2-3a$代入②，得$x-(2-3a)=6a$，解得$x=3a+2$；
即方程组的解为$\begin{cases}x=3a+2\\y=2-3a\end{cases}$。
逐一验证结论：
①当$a=1$时，$x=3×1+2=5$，$y=2-3×1=-1$，此时$x+y=5+(-1)=4$，$a+3=1+3=4$，等式成立，故①正确；
②将$\begin{cases}x=3a+2\\y=2-3a\end{cases}$代入$2x+y=3$，得$2(3a+2)+(2-3a)=3$，化简得$3a+6=3$，解得$a=-1$，故②正确；
③计算$x+y=(3a+2)+(2-3a)=4$，即无论a取何值，x与y的和恒为4，不可能为0，因此x、y的值不可能互为相反数，故③正确；
④由x、y均为自然数（非负整数），且$x+y=4$，则x可取0、1、2、3、4，对应y可取4、3、2、1、0，共5组解，故④正确。
综上，4个结论都正确，正确个数为4。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解法，方程的解的定义，相反数的性质
【点评】
本题综合考查了二元一次方程组的求解、参数方程的验证、相反数的性质以及自然数解的计数，核心是先求出用参数a表示的方程组的解，再结合对应性质逐一分析结论，对学生的运算能力和综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先通过加减消元法解给定的二元一次方程组，用含参数a的代数式表示出x和y的取值，再依次对4个结论逐一验证：①将a=1代入x、y的表达式，再代入方程x+y=a+3验证是否成立；②将x、y的表达式代入2x+y=3，求解a的值判断是否符合；③根据互为相反数的两数和为0，计算x+y的值判断是否可能为0；④根据x、y为自然数的要求，结合x+y=4的恒等关系，统计符合要求的解的对数，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
先解方程组$\begin{cases}x+2y=6-3a①\\x-y=6a②\end{cases}$：
用①-②消去x，得$3y=6-9a$，解得$y=2-3a$；
将$y=2-3a$代入②，得$x-(2-3a)=6a$，解得$x=3a+2$；
即方程组的解为$\begin{cases}x=3a+2\\y=2-3a\end{cases}$。
逐一验证结论：
①当$a=1$时，$x=3×1+2=5$，$y=2-3×1=-1$，此时$x+y=5+(-1)=4$，$a+3=1+3=4$，等式成立，故①正确；
②将$\begin{cases}x=3a+2\\y=2-3a\end{cases}$代入$2x+y=3$，得$2(3a+2)+(2-3a)=3$，化简得$3a+6=3$，解得$a=-1$，故②正确；
③计算$x+y=(3a+2)+(2-3a)=4$，即无论a取何值，x与y的和恒为4，不可能为0，因此x、y的值不可能互为相反数，故③正确；
④由x、y均为自然数（非负整数），且$x+y=4$，则x可取0、1、2、3、4，对应y可取4、3、2、1、0，共5组解，故④正确。
综上，4个结论都正确，正确个数为4。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的解法，方程的解的定义，相反数的性质
【点评】
本题综合考查了二元一次方程组的求解、参数方程的验证、相反数的性质以及自然数解的计数，核心是先求出用参数a表示的方程组的解，再结合对应性质逐一分析结论，对学生的运算能力和综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
14.若$\sqrt{a+b+5} + |2a - b + 1| = 0$，则$(b - a)^{2025} = \_\_\_\_\_\_$
答案
$-1$
解析
【分析】
首先我们要明确算术平方根和绝对值都属于非负数，即它们的取值都大于等于0。当两个非负数相加的和为0时，只有这两个非负数各自为0才能满足条件，所以我们可以据此列出关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的数值后，再代入待求的乘方式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{a+b+5} ≥ 0$，$|2a - b + 1| ≥ 0$，且$\sqrt{a+b+5} + |2a - b + 1| = 0$
∴ 根据非负数的性质可列方程组：
$\begin{cases} a + b + 5 = 0 \quad \mathrm{①} \\ 2a - b + 1 = 0 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
①+②得：$3a + 6 = 0$，解得$a = -2$
将$a = -2$代入①得：$-2 + b + 5 = 0$，解得$b = -3$
∴ $b - a = -3 - (-2) = -1$
∴ $(b - a)^{2025} = (-1)^{2025} = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
非负数的性质，二元一次方程组的解法，有理数的乘方
【点评】
本题属于常考基础题型，解题的核心是熟练掌握算术平方根、绝对值的非负性，通过非负性建立方程组求出参数后代入计算即可，解题时注意负数奇次幂的符号规则。
【难度系数】
0.7
首先我们要明确算术平方根和绝对值都属于非负数，即它们的取值都大于等于0。当两个非负数相加的和为0时，只有这两个非负数各自为0才能满足条件，所以我们可以据此列出关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的数值后，再代入待求的乘方式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{a+b+5} ≥ 0$，$|2a - b + 1| ≥ 0$，且$\sqrt{a+b+5} + |2a - b + 1| = 0$
∴ 根据非负数的性质可列方程组：
$\begin{cases} a + b + 5 = 0 \quad \mathrm{①} \\ 2a - b + 1 = 0 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
①+②得：$3a + 6 = 0$，解得$a = -2$
将$a = -2$代入①得：$-2 + b + 5 = 0$，解得$b = -3$
∴ $b - a = -3 - (-2) = -1$
∴ $(b - a)^{2025} = (-1)^{2025} = -1$
【答案】
$-1$
【知识点】
非负数的性质，二元一次方程组的解法，有理数的乘方
【点评】
本题属于常考基础题型，解题的核心是熟练掌握算术平方根、绝对值的非负性，通过非负性建立方程组求出参数后代入计算即可，解题时注意负数奇次幂的符号规则。
【难度系数】
0.7
15.若$x^{3m-3}-2y^{n-1}=5$是二元一次方程，则$m=$
$\frac{4}{3}$
，$n=$2
。答案
$\frac{4}{3}\quad 2$
解析
【分析】
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。本题给出的方程已经有x、y两个未知数，且属于整式方程，因此只需让x、y对应的项的次数都等于1，分别列一元一次方程求解就能得到m和n的值。
【解析】
根据二元一次方程的定义，含未知数的项的次数均为1，可列等式：
1. 求m的值：
x的次数为1，即$3m - 3 = 1$
移项得：$3m = 3 + 1 = 4$
两边同时除以3得：$m = \frac{4}{3}$
2. 求n的值：
y的次数为1，即$n - 1 = 1$
移项得：$n = 1 + 1 = 2$
【答案】
$\frac{4}{3}\quad 2$
【知识点】
二元一次方程的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念类题目，解题核心是准确抓住二元一次方程“含两个未知数、未知项次数为1”的特征，结合定义列等式求解参数，掌握一元一次方程的解法即可轻松算出结果。
【难度系数】
0.8
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。本题给出的方程已经有x、y两个未知数，且属于整式方程，因此只需让x、y对应的项的次数都等于1，分别列一元一次方程求解就能得到m和n的值。
【解析】
根据二元一次方程的定义，含未知数的项的次数均为1，可列等式：
1. 求m的值：
x的次数为1，即$3m - 3 = 1$
移项得：$3m = 3 + 1 = 4$
两边同时除以3得：$m = \frac{4}{3}$
2. 求n的值：
y的次数为1，即$n - 1 = 1$
移项得：$n = 1 + 1 = 2$
【答案】
$\frac{4}{3}\quad 2$
【知识点】
二元一次方程的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念类题目，解题核心是准确抓住二元一次方程“含两个未知数、未知项次数为1”的特征，结合定义列等式求解参数，掌握一元一次方程的解法即可轻松算出结果。
【难度系数】
0.8
16. 已知 $ x, y $ 满足方程组 $\begin{cases}x + 6y = 12, \\3x - 2y = 8,\end{cases}$ 则 $ x + y $ 的值为 ______ 。
答案
5
解析
【分析】
要求$x+y$的值，有两种解题思路：一是常规思路，先利用加减消元法或代入消元法解出方程组中$x$、$y$的具体值，再相加得到结果；二是观察两个方程的系数特征，将两个方程左右两边分别相加，可直接得到含$x+y$的整体式子，无需单独求解$x$、$y$就能算出结果，这种整体法计算更简便。
【解析】
首先给方程组标号：
$\begin{cases}x + 6y = 12&① \\3x - 2y = 8&②\end{cases}$
方法一（整体法）：将①和②左右两边分别相加，
左边相加得：$x+6y+3x-2y=4x+4y=4(x+y)$，
右边相加得：$12+8=20$，
因此可得等式$4(x+y)=20$，两边同时除以4，得$x+y=5$。
方法二（常规加减消元法）：将②×3，得$9x-6y=24$ ③，
将①+③，消去$y$，得$10x=36$，解得$x=3.6$，
把$x=3.6$代入①，得$3.6+6y=12$，解得$y=1.4$，
因此$x+y=3.6+1.4=5$。
【答案】
5
【知识点】
二元一次方程组解法，加减消元法，整体思想
【点评】
本题是二元一次方程组的基础应用，既可以用常规消元方法求解，也可以通过观察系数特征用整体思想快速得出答案，平时做题时可以多观察式子特征，选择更简便的方法提升解题效率。
【难度系数】
0.85
要求$x+y$的值，有两种解题思路：一是常规思路，先利用加减消元法或代入消元法解出方程组中$x$、$y$的具体值，再相加得到结果；二是观察两个方程的系数特征，将两个方程左右两边分别相加，可直接得到含$x+y$的整体式子，无需单独求解$x$、$y$就能算出结果，这种整体法计算更简便。
【解析】
首先给方程组标号：
$\begin{cases}x + 6y = 12&① \\3x - 2y = 8&②\end{cases}$
方法一（整体法）：将①和②左右两边分别相加，
左边相加得：$x+6y+3x-2y=4x+4y=4(x+y)$，
右边相加得：$12+8=20$，
因此可得等式$4(x+y)=20$，两边同时除以4，得$x+y=5$。
方法二（常规加减消元法）：将②×3，得$9x-6y=24$ ③，
将①+③，消去$y$，得$10x=36$，解得$x=3.6$，
把$x=3.6$代入①，得$3.6+6y=12$，解得$y=1.4$，
因此$x+y=3.6+1.4=5$。
【答案】
5
【知识点】
二元一次方程组解法，加减消元法，整体思想
【点评】
本题是二元一次方程组的基础应用，既可以用常规消元方法求解，也可以通过观察系数特征用整体思想快速得出答案，平时做题时可以多观察式子特征，选择更简便的方法提升解题效率。
【难度系数】
0.85
17. 已知$\begin{cases} x=2, \\ y=-1 \end{cases}$是方程组$\begin{cases} mx - y = 3, \\ x - ny = 6 \end{cases}$的解，
则$m=$
则$m=$
1
，$n=$4
。答案
1 4
解析
【分析】
解题的核心是理解二元一次方程组解的定义：能使方程组中两个方程左右两边都相等的未知数的值就是方程组的解。所以我们可以直接把已知的x、y的值代入方程组的两个方程中，得到两个分别只含m、n的一元一次方程，再解这两个一元一次方程就能求出m和n的值。
【解析】
因为$\begin{cases} x=2, \\ y=-1 \end{cases}$是方程组$\begin{cases} mx - y = 3, \\ x - ny = 6 \end{cases}$的解，所以将其分别代入两个方程：
1. 代入$mx - y = 3$得：
$2m - (-1) = 3$
化简得$2m + 1 = 3$
移项得$2m = 3 - 1$，即$2m = 2$
两边同时除以2得$m = 1$
2. 代入$x - ny = 6$得：
$2 - n×(-1) = 6$
化简得$2 + n = 6$
移项得$n = 6 - 2$
计算得$n = 4$
【答案】
1；4
【知识点】
二元一次方程组的解；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，考查对二元一次方程组解的概念的理解与应用，解题时只要将解代入原方程组转化为熟悉的一元一次方程求解即可，计算时注意负号的运算，避免符号错误。
【难度系数】
0.85
解题的核心是理解二元一次方程组解的定义：能使方程组中两个方程左右两边都相等的未知数的值就是方程组的解。所以我们可以直接把已知的x、y的值代入方程组的两个方程中，得到两个分别只含m、n的一元一次方程，再解这两个一元一次方程就能求出m和n的值。
【解析】
因为$\begin{cases} x=2, \\ y=-1 \end{cases}$是方程组$\begin{cases} mx - y = 3, \\ x - ny = 6 \end{cases}$的解，所以将其分别代入两个方程：
1. 代入$mx - y = 3$得：
$2m - (-1) = 3$
化简得$2m + 1 = 3$
移项得$2m = 3 - 1$，即$2m = 2$
两边同时除以2得$m = 1$
2. 代入$x - ny = 6$得：
$2 - n×(-1) = 6$
化简得$2 + n = 6$
移项得$n = 6 - 2$
计算得$n = 4$
【答案】
1；4
【知识点】
二元一次方程组的解；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，考查对二元一次方程组解的概念的理解与应用，解题时只要将解代入原方程组转化为熟悉的一元一次方程求解即可，计算时注意负号的运算，避免符号错误。
【难度系数】
0.85
18. 小亮和小明解二元一次方程组
$\begin{cases} ax+by=2, \\ akx-7y=8. \end{cases}$ 小亮解得 $\begin{cases} x=3, \\ y=-2. \end{cases}$ 小明把 $k$ 的值抄错了，解得 $\begin{cases} x=-1, \\ y=2. \end{cases}$ 若两人的运算都没有问题，求 $a,b,k$ 的值。
$\begin{cases} ax+by=2, \\ akx-7y=8. \end{cases}$ 小亮解得 $\begin{cases} x=3, \\ y=-2. \end{cases}$ 小明把 $k$ 的值抄错了，解得 $\begin{cases} x=-1, \\ y=2. \end{cases}$ 若两人的运算都没有问题，求 $a,b,k$ 的值。
答案
$a=2,b=2,k=-1$
解析
【分析】
解题的关键是明确二元一次方程组解的含义：①小亮的解是完全正确的，因此同时满足原方程组的两个方程，代入可得到含a、b、k的两个等式；②小明仅抄错了k的值，a、b没有看错，因此他的解满足不含k的第一个方程$ax+by=2$。我们先通过小亮和小明的解得到关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的值后，再代入含k的等式求出k即可。
【解析】
解：
∵ 小亮的计算结果正确，将$\begin{cases} x=3 \\ y=-2 \end{cases}$代入原方程组，可得：
$\begin{cases} 3a - 2b = 2 \quad ① \\ 3ak - 7×(-2) = 8 \quad ② \end{cases}$
∵ 小明仅抄错了k的值，a、b取值无误，将$\begin{cases} x=-1 \\ y=2 \end{cases}$代入$ax+by=2$，可得：
$-a + 2b = 2 \quad ③$
联立①和③，解二元一次方程组：
①+③得：$2a = 4$，解得$a=2$
将$a=2$代入③得：$-2 + 2b = 2$，解得$b=2$
把$a=2$代入②得：$3×2× k +14 =8$
化简得：$6k = -6$，解得$k=-1$
【答案】
$a=2,b=2,k=-1$
【知识点】
二元一次方程组的解；解二元一次方程组；代入消元法
【点评】
本题核心是抓住“抄错k不影响不含k的方程的解”这一要点，解题时先求出a、b的值，再计算k即可，主要考察对二元一次方程组解的意义的理解和应用。
【难度系数】
0.7
解题的关键是明确二元一次方程组解的含义：①小亮的解是完全正确的，因此同时满足原方程组的两个方程，代入可得到含a、b、k的两个等式；②小明仅抄错了k的值，a、b没有看错，因此他的解满足不含k的第一个方程$ax+by=2$。我们先通过小亮和小明的解得到关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的值后，再代入含k的等式求出k即可。
【解析】
解：
∵ 小亮的计算结果正确，将$\begin{cases} x=3 \\ y=-2 \end{cases}$代入原方程组，可得：
$\begin{cases} 3a - 2b = 2 \quad ① \\ 3ak - 7×(-2) = 8 \quad ② \end{cases}$
∵ 小明仅抄错了k的值，a、b取值无误，将$\begin{cases} x=-1 \\ y=2 \end{cases}$代入$ax+by=2$，可得：
$-a + 2b = 2 \quad ③$
联立①和③，解二元一次方程组：
①+③得：$2a = 4$，解得$a=2$
将$a=2$代入③得：$-2 + 2b = 2$，解得$b=2$
把$a=2$代入②得：$3×2× k +14 =8$
化简得：$6k = -6$，解得$k=-1$
【答案】
$a=2,b=2,k=-1$
【知识点】
二元一次方程组的解；解二元一次方程组；代入消元法
【点评】
本题核心是抓住“抄错k不影响不含k的方程的解”这一要点，解题时先求出a、b的值，再计算k即可，主要考察对二元一次方程组解的意义的理解和应用。
【难度系数】
0.7
19. 对有理数 $ x, y $ 定义新运算：$ x \otimes y = ax + by + 5 $，其中 $ a, b $ 为常数. 已知 $ 1 \otimes 2 = 10 $，$ (-2) \otimes 2 = 7 $.
(1) 求 $ a, b $ 的值；
(2) 如果 $ x = -3 $，$ x \otimes y = -18 $，求 $ y $ 的值.
(1) 求 $ a, b $ 的值；
(2) 如果 $ x = -3 $，$ x \otimes y = -18 $，求 $ y $ 的值.
答案
(1)$a=1,b=2$
(2)$y=-10$
(2)$y=-10$
解析
【分析】
本题是新定义运算类题型，解题思路如下：
(1) 首先根据新运算的规则，将已知的两组运算结果分别代入公式$x \otimes y = ax + by + 5$，即可得到两个关于a、b的二元一次方程，联立组成二元一次方程组，解方程组就能求出a、b的值；
(2) 把求出的a、b的值代回新运算公式，得到化简后的运算规则，再将x=-3和运算结果-18代入，即可得到关于y的一元一次方程，解方程就能求出y的值。
【解析】
(1) 根据新运算定义，将$1 \otimes 2 = 10$代入公式得：
$a × 1 + b × 2 + 5 = 10$
整理得：$a + 2b = 5$ ①
将$(-2) \otimes 2 = 7$代入公式得：
$a × (-2) + b × 2 + 5 =7$
整理得：$-2a + 2b = 2$，化简为$-a + b =1$ ②
联立①②组成方程组：
$\begin{cases}a + 2b = 5 \\ -a + b = 1\end{cases}$
①+②得：$3b=6$，解得$b=2$
将$b=2$代入②得：$-a + 2 =1$，解得$a=1$
(2) 把$a=1$，$b=2$代入新运算公式得：
$x \otimes y = x + 2y + 5$
当$x=-3$，$x \otimes y = -18$时，代入得：
$-3 + 2y + 5 = -18$
整理得：$2y + 2 = -18$
移项得：$2y = -18 -2$
即$2y=-20$
解得$y=-10$
【答案】
(1)$a=1,b=2$
(2)$y=-10$
【知识点】
新定义运算；二元一次方程组的解法；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于新定义类基础题，核心是准确理解新运算的规则，将陌生的新运算转化为我们熟悉的方程（组）问题求解，计算过程难度较低，掌握基本的方程解法即可完成。
【难度系数】
0.7
本题是新定义运算类题型，解题思路如下：
(1) 首先根据新运算的规则，将已知的两组运算结果分别代入公式$x \otimes y = ax + by + 5$，即可得到两个关于a、b的二元一次方程，联立组成二元一次方程组，解方程组就能求出a、b的值；
(2) 把求出的a、b的值代回新运算公式，得到化简后的运算规则，再将x=-3和运算结果-18代入，即可得到关于y的一元一次方程，解方程就能求出y的值。
【解析】
(1) 根据新运算定义，将$1 \otimes 2 = 10$代入公式得：
$a × 1 + b × 2 + 5 = 10$
整理得：$a + 2b = 5$ ①
将$(-2) \otimes 2 = 7$代入公式得：
$a × (-2) + b × 2 + 5 =7$
整理得：$-2a + 2b = 2$，化简为$-a + b =1$ ②
联立①②组成方程组：
$\begin{cases}a + 2b = 5 \\ -a + b = 1\end{cases}$
①+②得：$3b=6$，解得$b=2$
将$b=2$代入②得：$-a + 2 =1$，解得$a=1$
(2) 把$a=1$，$b=2$代入新运算公式得：
$x \otimes y = x + 2y + 5$
当$x=-3$，$x \otimes y = -18$时，代入得：
$-3 + 2y + 5 = -18$
整理得：$2y + 2 = -18$
移项得：$2y = -18 -2$
即$2y=-20$
解得$y=-10$
【答案】
(1)$a=1,b=2$
(2)$y=-10$
【知识点】
新定义运算；二元一次方程组的解法；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于新定义类基础题，核心是准确理解新运算的规则，将陌生的新运算转化为我们熟悉的方程（组）问题求解，计算过程难度较低，掌握基本的方程解法即可完成。
【难度系数】
0.7
