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1. 已知$\sqrt{a} + |b - 3| = 0$，则$ab$的平方根、算术平方根、立方根的积是（
A.0
B.1
C.2
D.3
A
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
1.A
解析
【分析】
解题的核心是利用非负数的性质：算术平方根和绝对值都属于非负数，当两个非负数相加的和为0时，每个非负数都等于0。据此先求出a、b的值，再计算ab的结果，最后分别求出ab的平方根、算术平方根、立方根，将三者相乘就能得到最终答案。
【解析】
解：
∵$\sqrt{a} ≥ 0$，$|b - 3| ≥ 0$，且$\sqrt{a} + |b - 3| = 0$
∴根据非负数的性质可得：
$\sqrt{a} = 0$，$|b - 3| = 0$
解得：$a = 0$，$b = 3$
∴$ab = 0 × 3 = 0$
∵0的平方根是0，0的算术平方根是0，0的立方根是0
∴三者的积为：$0 × 0 × 0 = 0$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质、平方根与立方根
【点评】
本题重点考查非负性的应用以及特殊数0的开方相关性质，熟练掌握“若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”这一结论是解题的前提，同时要牢记0的平方根、算术平方根、立方根都为0，避免因混淆特殊数的性质出错。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用非负数的性质：算术平方根和绝对值都属于非负数，当两个非负数相加的和为0时，每个非负数都等于0。据此先求出a、b的值，再计算ab的结果，最后分别求出ab的平方根、算术平方根、立方根，将三者相乘就能得到最终答案。
【解析】
解：
∵$\sqrt{a} ≥ 0$，$|b - 3| ≥ 0$，且$\sqrt{a} + |b - 3| = 0$
∴根据非负数的性质可得：
$\sqrt{a} = 0$，$|b - 3| = 0$
解得：$a = 0$，$b = 3$
∴$ab = 0 × 3 = 0$
∵0的平方根是0，0的算术平方根是0，0的立方根是0
∴三者的积为：$0 × 0 × 0 = 0$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质、平方根与立方根
【点评】
本题重点考查非负性的应用以及特殊数0的开方相关性质，熟练掌握“若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”这一结论是解题的前提，同时要牢记0的平方根、算术平方根、立方根都为0，避免因混淆特殊数的性质出错。
【难度系数】
0.8
2.有下列说法:①带根号的数一定是无理数；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④$-\sqrt{17}$是17的一个平方根.
其中正确的有 (
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
其中正确的有 (
B
)A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查实数相关的基础概念，解题时需逐一判断4个说法的正误，结合无理数、有理数、立方根、平方根的定义及性质，可通过举反例的方式验证错误说法，最终统计正确说法的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
①带根号的数一定是无理数：例如$\sqrt{4}=2$，带根号但属于有理数，因此该说法错误；
②不带根号的数一定是有理数：例如$π$不带根号，但属于无理数，因此该说法错误；
③负数没有立方根：负数有立方根，例如$-8$的立方根是$-2$，因此该说法错误；
④$-\sqrt{17}$是17的一个平方根：17的平方根为$\pm\sqrt{17}$，因此$-\sqrt{17}$是17的一个平方根，该说法正确。
综上，只有1个说法正确。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义；立方根的性质；平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是对无理数、平方根、立方根的概念理解不透彻，判断错误说法时可通过举常见反例快速排除，要注意正数有两个互为相反数的平方根，负数也存在立方根。
【难度系数】
0.8
本题考查实数相关的基础概念，解题时需逐一判断4个说法的正误，结合无理数、有理数、立方根、平方根的定义及性质，可通过举反例的方式验证错误说法，最终统计正确说法的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
①带根号的数一定是无理数：例如$\sqrt{4}=2$，带根号但属于有理数，因此该说法错误；
②不带根号的数一定是有理数：例如$π$不带根号，但属于无理数，因此该说法错误；
③负数没有立方根：负数有立方根，例如$-8$的立方根是$-2$，因此该说法错误；
④$-\sqrt{17}$是17的一个平方根：17的平方根为$\pm\sqrt{17}$，因此$-\sqrt{17}$是17的一个平方根，该说法正确。
综上，只有1个说法正确。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义；立方根的性质；平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是对无理数、平方根、立方根的概念理解不透彻，判断错误说法时可通过举常见反例快速排除，要注意正数有两个互为相反数的平方根，负数也存在立方根。
【难度系数】
0.8
3. 已知$n$为正整数，且$n ＜ \sqrt{65} ＜ n + 1$，则$n$的值为（
A.5
B.6
C.7
D.8
D
）A.5
B.6
C.7
D.8
答案
3.D
解析
【分析】
要确定n的值，我们需要先估算出$\sqrt{65}$的取值范围。首先回忆完全平方数，找到与65相邻的两个正整数的平方，再根据“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，就能得到$\sqrt{65}$在哪两个相邻正整数之间，最后结合题目给出的$n ＜ \sqrt{65} ＜ n + 1$即可求出n。
【解析】
第一步：计算相邻正整数的平方
我们知道$8^2=64$，$9^2=81$，显然$64＜65＜81$。
第二步：根据算术平方根的性质推导$\sqrt{65}$的范围
对于非负数，被开方数越大，算术平方根越大，因此可得：
$\sqrt{64}＜\sqrt{65}＜\sqrt{81}$，也就是$8＜\sqrt{65}＜9$。
第三步：结合题目条件求n
已知n为正整数，且$n ＜ \sqrt{65} ＜ n + 1$，对比$8＜\sqrt{65}＜9$，可得$n=8$。
【答案】
D
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 算术平方根的性质
【点评】
本题考查无理数的估算，解题核心是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，从而确定无理数的取值范围，属于基础题型，熟练掌握常见完全平方数即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要确定n的值，我们需要先估算出$\sqrt{65}$的取值范围。首先回忆完全平方数，找到与65相邻的两个正整数的平方，再根据“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，就能得到$\sqrt{65}$在哪两个相邻正整数之间，最后结合题目给出的$n ＜ \sqrt{65} ＜ n + 1$即可求出n。
【解析】
第一步：计算相邻正整数的平方
我们知道$8^2=64$，$9^2=81$，显然$64＜65＜81$。
第二步：根据算术平方根的性质推导$\sqrt{65}$的范围
对于非负数，被开方数越大，算术平方根越大，因此可得：
$\sqrt{64}＜\sqrt{65}＜\sqrt{81}$，也就是$8＜\sqrt{65}＜9$。
第三步：结合题目条件求n
已知n为正整数，且$n ＜ \sqrt{65} ＜ n + 1$，对比$8＜\sqrt{65}＜9$，可得$n=8$。
【答案】
D
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 算术平方根的性质
【点评】
本题考查无理数的估算，解题核心是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，从而确定无理数的取值范围，属于基础题型，熟练掌握常见完全平方数即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4. 下列运算中，错误的有 （
① $\sqrt{1 \frac{25}{144}} = 1 \frac{5}{12}$；
② $\sqrt{(-4)^2} = \pm 4$；
③ $\sqrt{(-2)^2} = -\sqrt{2^2} = -2$；
④ $\sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{25}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{9}{20}$；
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
）① $\sqrt{1 \frac{25}{144}} = 1 \frac{5}{12}$；
② $\sqrt{(-4)^2} = \pm 4$；
③ $\sqrt{(-2)^2} = -\sqrt{2^2} = -2$；
④ $\sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{25}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{9}{20}$；
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
4.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确算术平方根的核心性质：非负数的算术平方根结果一定是非负数，同时要掌握根式运算的规则：带分数开方前要先化为假分数，根号下有加减运算时，要先计算根号内的和（差），再整体开方，不能拆分根号分别运算。我们只需要逐个判断4个运算的正误，统计错误的个数即可选出答案。
【解析】
我们逐个分析每个运算：
① 先将带分数化为假分数：$1\frac{25}{144}=\frac{144+25}{144}=\frac{169}{144}$，因此$\sqrt{1\frac{25}{144}}=\sqrt{\frac{169}{144}}=\frac{13}{12}=1\frac{1}{12}≠1\frac{5}{12}$，故①错误；
② 先计算根号内的乘方：$(-4)^2=16$，算术平方根仅取非负结果，因此$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4≠\pm4$，故②错误；
③ 先计算根号内的乘方：$(-2)^2=4$，因此$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，不等于$-2$，故③错误；
④ 先计算根号内的加法：$\frac{1}{16}+\frac{1}{25}=\frac{25}{400}+\frac{16}{400}=\frac{41}{400}$，因此$\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{1}{25}}=\sqrt{\frac{41}{400}}=\frac{\sqrt{41}}{20}≠\frac{9}{20}$，不能直接拆分根号下的加法分别开方，故④错误。
综上，4个运算全部错误。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的性质；二次根式化简；根式运算规则
【点评】
本题核心考查对算术平方根概念的理解，容易出错的点有三处：一是混淆平方根和算术平方根的区别，误认为算术平方根有正负两个结果；二是开方前未将带分数正确化为假分数直接拆分整数和分数部分开方；三是随意拆分根号下的加减运算，只要牢记算术平方根的非负性和运算顺序就能准确判断。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需要明确算术平方根的核心性质：非负数的算术平方根结果一定是非负数，同时要掌握根式运算的规则：带分数开方前要先化为假分数，根号下有加减运算时，要先计算根号内的和（差），再整体开方，不能拆分根号分别运算。我们只需要逐个判断4个运算的正误，统计错误的个数即可选出答案。
【解析】
我们逐个分析每个运算：
① 先将带分数化为假分数：$1\frac{25}{144}=\frac{144+25}{144}=\frac{169}{144}$，因此$\sqrt{1\frac{25}{144}}=\sqrt{\frac{169}{144}}=\frac{13}{12}=1\frac{1}{12}≠1\frac{5}{12}$，故①错误；
② 先计算根号内的乘方：$(-4)^2=16$，算术平方根仅取非负结果，因此$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4≠\pm4$，故②错误；
③ 先计算根号内的乘方：$(-2)^2=4$，因此$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，不等于$-2$，故③错误；
④ 先计算根号内的加法：$\frac{1}{16}+\frac{1}{25}=\frac{25}{400}+\frac{16}{400}=\frac{41}{400}$，因此$\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{1}{25}}=\sqrt{\frac{41}{400}}=\frac{\sqrt{41}}{20}≠\frac{9}{20}$，不能直接拆分根号下的加法分别开方，故④错误。
综上，4个运算全部错误。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的性质；二次根式化简；根式运算规则
【点评】
本题核心考查对算术平方根概念的理解，容易出错的点有三处：一是混淆平方根和算术平方根的区别，误认为算术平方根有正负两个结果；二是开方前未将带分数正确化为假分数直接拆分整数和分数部分开方；三是随意拆分根号下的加减运算，只要牢记算术平方根的非负性和运算顺序就能准确判断。
【难度系数】
0.6
5. 满足$-\sqrt{2} ＜ x ＜ \sqrt{5}$的整数有
-1,0,1,2
。答案
5.-1,0,1,2
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要估算出无理数$-\sqrt{2}$和$\sqrt{5}$的大致取值范围，确定它们分别介于哪两个相邻整数之间，再在得到的取值区间内找出所有符合要求的整数即可。具体思考步骤：第一步用平方数比较法估算$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$的范围，第二步转化得到$-\sqrt{2}$的范围，第三步列出介于两个边界之间的所有整数。
【解析】
首先通过平方数比较估算无理数的范围：
1. 因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$，所以$1＜\sqrt{2}＜2$，不等式两边同乘$-1$，不等号方向改变，可得$-2＜-\sqrt{2}＜-1$，即$-\sqrt{2}$约为$-1.414$；
2. 因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$，即$\sqrt{5}$约为$2.236$。
结合不等式$-\sqrt{2}＜x＜\sqrt{5}$，可知x的取值范围是大于$-1.414$、小于$2.236$，这个范围内的整数为：$-1,0,1,2$。
【答案】
-1,0,1,2
【知识点】
无理数的估算；实数的大小比较
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是通过平方数比较法准确估算无理数的取值范围，再结合整数的定义筛选符合条件的结果，熟记常见无理数的近似值也可帮助快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要估算出无理数$-\sqrt{2}$和$\sqrt{5}$的大致取值范围，确定它们分别介于哪两个相邻整数之间，再在得到的取值区间内找出所有符合要求的整数即可。具体思考步骤：第一步用平方数比较法估算$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$的范围，第二步转化得到$-\sqrt{2}$的范围，第三步列出介于两个边界之间的所有整数。
【解析】
首先通过平方数比较估算无理数的范围：
1. 因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$，所以$1＜\sqrt{2}＜2$，不等式两边同乘$-1$，不等号方向改变，可得$-2＜-\sqrt{2}＜-1$，即$-\sqrt{2}$约为$-1.414$；
2. 因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$，即$\sqrt{5}$约为$2.236$。
结合不等式$-\sqrt{2}＜x＜\sqrt{5}$，可知x的取值范围是大于$-1.414$、小于$2.236$，这个范围内的整数为：$-1,0,1,2$。
【答案】
-1,0,1,2
【知识点】
无理数的估算；实数的大小比较
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是通过平方数比较法准确估算无理数的取值范围，再结合整数的定义筛选符合条件的结果，熟记常见无理数的近似值也可帮助快速解题。
【难度系数】
0.8
6.已知一个正数的平方根是$2a-1$和$-a+2$，且$2a-1≠-a+2$，则$a$的值是
-1
，这个正数是9
。答案
6.-1 9
解析
【分析】
拿到题目首先回忆平方根的性质：正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数和为0。因此我们可以将两个平方根相加等于0，列出关于a的一元一次方程，求解得到a的值；再将a的值代入任意一个平方根，对结果平方即可得到这个正数。
【解析】
解：
∵ 正数的两个平方根互为相反数
∴ 两个平方根的和为0，可列方程：
$\begin{aligned}(2a-1)+(-a+2)&=0\\2a-1-a+2&=0\\a+1&=0\\a&=-1\end{aligned}$
将$a=-1$代入$2a-1$得：$2×(-1)-1=-3$
则这个正数为：$(-3)^2=9$
【答案】
-1；9
【知识点】
平方根的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是牢记正数的两个平方根互为相反数的性质，熟练掌握一元一次方程的解法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
拿到题目首先回忆平方根的性质：正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数和为0。因此我们可以将两个平方根相加等于0，列出关于a的一元一次方程，求解得到a的值；再将a的值代入任意一个平方根，对结果平方即可得到这个正数。
【解析】
解：
∵ 正数的两个平方根互为相反数
∴ 两个平方根的和为0，可列方程：
$\begin{aligned}(2a-1)+(-a+2)&=0\\2a-1-a+2&=0\\a+1&=0\\a&=-1\end{aligned}$
将$a=-1$代入$2a-1$得：$2×(-1)-1=-3$
则这个正数为：$(-3)^2=9$
【答案】
-1；9
【知识点】
平方根的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是牢记正数的两个平方根互为相反数的性质，熟练掌握一元一次方程的解法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7.若$\sqrt{a}$的平方根等于$\pm 2$,则$a=$
16
.答案
7.16
解析
【分析】
解题时先明确平方根的定义：如果一个数的平方根是±b，那么这个数等于b²。题目中给出√a的平方根是±2，所以第一步先根据平方根的定义求出√a的值，再根据算术平方根的意义，两边平方求出a的值即可。
【解析】
根据平方根的定义，若一个数的平方根为±2，则这个数为$(\pm2)^2=4$。
由题意可知$\sqrt{a}$的平方根是±2，因此可得：
$\sqrt{a}=(\pm2)^2=4$
对$\sqrt{a}=4$两边同时平方，可得：
$a=4^2=16$
【答案】
16
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题易错点是容易忽略题目中是“$\sqrt{a}$的平方根”而非“a的平方根”，直接误算a=4，解题时要注意审清题意，区分平方根和算术平方根的概念，分两步计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.7
解题时先明确平方根的定义：如果一个数的平方根是±b，那么这个数等于b²。题目中给出√a的平方根是±2，所以第一步先根据平方根的定义求出√a的值，再根据算术平方根的意义，两边平方求出a的值即可。
【解析】
根据平方根的定义，若一个数的平方根为±2，则这个数为$(\pm2)^2=4$。
由题意可知$\sqrt{a}$的平方根是±2，因此可得：
$\sqrt{a}=(\pm2)^2=4$
对$\sqrt{a}=4$两边同时平方，可得：
$a=4^2=16$
【答案】
16
【知识点】
平方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题易错点是容易忽略题目中是“$\sqrt{a}$的平方根”而非“a的平方根”，直接误算a=4，解题时要注意审清题意，区分平方根和算术平方根的概念，分两步计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.7
8.当a为
全体实数
时，$\sqrt[3]{a-1}$有意义.答案
8.全体实数
解析
【分析】
解题时首先要区分开平方根和立方根的有意义条件：平方根的被开方数必须是非负数，而立方根的性质是任意实数都有唯一的立方根，所以三次根式的被开方数没有正负限制。本题是三次根号，被开方数为a-1，只要a-1是实数即可，由此就能推出a的取值范围。
【解析】
根据立方根的性质可知，任意实数都存在唯一的立方根，因此三次根式的被开方数可以是全体实数，没有取值限制。
本题中三次根号的被开方数为a-1，a-1可以取任意实数，因此a可以取全体实数。
【答案】
全体实数
【知识点】
立方根的性质；代数式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是区分立方根和平方根的被开方数的限制要求，避免混淆两类根式的有意义条件导致出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先要区分开平方根和立方根的有意义条件：平方根的被开方数必须是非负数，而立方根的性质是任意实数都有唯一的立方根，所以三次根式的被开方数没有正负限制。本题是三次根号，被开方数为a-1，只要a-1是实数即可，由此就能推出a的取值范围。
【解析】
根据立方根的性质可知，任意实数都存在唯一的立方根，因此三次根式的被开方数可以是全体实数，没有取值限制。
本题中三次根号的被开方数为a-1，a-1可以取任意实数，因此a可以取全体实数。
【答案】
全体实数
【知识点】
立方根的性质；代数式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是区分立方根和平方根的被开方数的限制要求，避免混淆两类根式的有意义条件导致出错。
【难度系数】
0.8
9.计算：
(1) $\sqrt{(-\dfrac{1}{3})^2} + \sqrt[3]{$
$(1 - \dfrac{5}{9})(\dfrac{1}{3} - 1)}$；
(2) $\sqrt[3]{-8} - 2\sqrt{5} + 2×(\sqrt{5} + 2)$。
(1) $\sqrt{(-\dfrac{1}{3})^2} + \sqrt[3]{$
$(1 - \dfrac{5}{9})(\dfrac{1}{3} - 1)}$；(2) $\sqrt[3]{-8} - 2\sqrt{5} + 2×(\sqrt{5} + 2)$。
答案
9.(1)$-\frac{1}{3}$ (2)2
解析
【分析】
第(1)题：首先利用算术平方根的性质$\sqrt{a^2}=|a|$计算第一项，再计算立方根内的乘积，之后开立方，最后将两部分结果相加即可。第(2)题：先计算立方根，再用乘法分配律去括号，最后合并同类项得到结果，计算时注意符号判断。
【解析】
(1) 计算第一项：$\sqrt{(-\dfrac{1}{3})^2}=\left|-\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{1}{3}$
计算立方根内的算式：$(1-\dfrac{5}{9})(\dfrac{1}{3}-1)=\dfrac{4}{9}×(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{8}{27}$
开立方：$\sqrt[3]{-\dfrac{8}{27}}=-\dfrac{2}{3}$
原式$=\dfrac{1}{3}+(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{1}{3}$
(2) 计算立方根：$\sqrt[3]{-8}=-2$
去括号：$2×(\sqrt{5}+2)=2\sqrt{5}+4$
原式$=-2-2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+4=(-2+4)+(-2\sqrt{5}+2\sqrt{5})=2$
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{3}$；(2) $2$
【知识点】
算术平方根运算，立方根运算，二次根式混合运算
【点评】
本题是根式运算的基础题型，重点考查根式的性质和基本运算规则，解题时要注意算术平方根结果非负、立方根符号与被开方数一致，计算时按顺序逐步运算，避免因粗心导致符号错误。
【难度系数】
0.75
第(1)题：首先利用算术平方根的性质$\sqrt{a^2}=|a|$计算第一项，再计算立方根内的乘积，之后开立方，最后将两部分结果相加即可。第(2)题：先计算立方根，再用乘法分配律去括号，最后合并同类项得到结果，计算时注意符号判断。
【解析】
(1) 计算第一项：$\sqrt{(-\dfrac{1}{3})^2}=\left|-\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{1}{3}$
计算立方根内的算式：$(1-\dfrac{5}{9})(\dfrac{1}{3}-1)=\dfrac{4}{9}×(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{8}{27}$
开立方：$\sqrt[3]{-\dfrac{8}{27}}=-\dfrac{2}{3}$
原式$=\dfrac{1}{3}+(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{1}{3}$
(2) 计算立方根：$\sqrt[3]{-8}=-2$
去括号：$2×(\sqrt{5}+2)=2\sqrt{5}+4$
原式$=-2-2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+4=(-2+4)+(-2\sqrt{5}+2\sqrt{5})=2$
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{3}$；(2) $2$
【知识点】
算术平方根运算，立方根运算，二次根式混合运算
【点评】
本题是根式运算的基础题型，重点考查根式的性质和基本运算规则，解题时要注意算术平方根结果非负、立方根符号与被开方数一致，计算时按顺序逐步运算，避免因粗心导致符号错误。
【难度系数】
0.75
10.已知两个正方形的面积之和为468，面积之差为180，求这两个正方形的边长。
答案
10.18 12
解析
【分析】
解题时首先根据题目给出的两个正方形面积的和、差关系，先设两个正方形的面积为未知数列二元一次方程组，求解得到两个面积后，再根据正方形边长是面积的算术平方根（边长为正数），计算得到最终的边长即可。
【解析】
解：设较大正方形的面积为$S_1$，较小正方形的面积为$S_2$，根据题意列方程组得：
$\begin{cases}S_1 + S_2 = 468 \\S_1 - S_2 = 180\end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，得$2S_1=648$，解得$S_1=324$。
把$S_1=324$代入$S_1 + S_2 = 468$，得$324+S_2=468$，解得$S_2=144$。
因为正方形边长为面积的算术平方根（边长为正），因此：
较大正方形的边长为$\sqrt{324}=18$，
较小正方形的边长为$\sqrt{144}=12$。
【答案】
18、12
【知识点】
二元一次方程组的应用；算术平方根的计算；正方形面积公式
【点评】
本题属于基础和差类应用题，解题核心是先通过和差关系求出两个正方形的面积，再结合算术平方根的非负性得到符合实际意义的边长，计算时注意区分平方根和算术平方根的概念，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据题目给出的两个正方形面积的和、差关系，先设两个正方形的面积为未知数列二元一次方程组，求解得到两个面积后，再根据正方形边长是面积的算术平方根（边长为正数），计算得到最终的边长即可。
【解析】
解：设较大正方形的面积为$S_1$，较小正方形的面积为$S_2$，根据题意列方程组得：
$\begin{cases}S_1 + S_2 = 468 \\S_1 - S_2 = 180\end{cases}$
将两个方程左右两边分别相加，得$2S_1=648$，解得$S_1=324$。
把$S_1=324$代入$S_1 + S_2 = 468$，得$324+S_2=468$，解得$S_2=144$。
因为正方形边长为面积的算术平方根（边长为正），因此：
较大正方形的边长为$\sqrt{324}=18$，
较小正方形的边长为$\sqrt{144}=12$。
【答案】
18、12
【知识点】
二元一次方程组的应用；算术平方根的计算；正方形面积公式
【点评】
本题属于基础和差类应用题，解题核心是先通过和差关系求出两个正方形的面积，再结合算术平方根的非负性得到符合实际意义的边长，计算时注意区分平方根和算术平方根的概念，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
11. 已知$\sqrt{a^3 + 64} + |b^3 - 27| = 0$，求$(a - b)^b$的立方根。
答案
11.-7
解析
【分析】
算术平方根和绝对值都具有非负性（即结果≥0），两个非负数相加和为0时，只有每个非负数都等于0才能成立。我们可以据此列方程求出a、b的值，再代入代数式计算，最后求所得结果的立方根即可。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{a^3 + 64} ≥ 0$，$|b^3 - 27| ≥ 0$，且$\sqrt{a^3 + 64} + |b^3 - 27| = 0$
∴ 可得：
$\begin{cases}a^3 + 64 = 0 \\ b^3 - 27 = 0\end{cases}$
分别解方程：
由$a^3 = -64$，得$a = -4$（因为$(-4)^3=-64$）
由$b^3 = 27$，得$b = 3$（因为$3^3=27$）
将$a=-4$，$b=3$代入$(a - b)^b$得：
$(a - b)^b = (-4 - 3)^3 = (-7)^3$
则$(a - b)^b$的立方根为：$\sqrt[3]{(-7)^3} = -7$
【答案】
-7
【知识点】
非负数的性质，立方根运算，代数式求值
【点评】
本题属于代数基础常考题，解题关键是掌握算术平方根、绝对值的非负性，结合立方与立方根的逆运算关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
算术平方根和绝对值都具有非负性（即结果≥0），两个非负数相加和为0时，只有每个非负数都等于0才能成立。我们可以据此列方程求出a、b的值，再代入代数式计算，最后求所得结果的立方根即可。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{a^3 + 64} ≥ 0$，$|b^3 - 27| ≥ 0$，且$\sqrt{a^3 + 64} + |b^3 - 27| = 0$
∴ 可得：
$\begin{cases}a^3 + 64 = 0 \\ b^3 - 27 = 0\end{cases}$
分别解方程：
由$a^3 = -64$，得$a = -4$（因为$(-4)^3=-64$）
由$b^3 = 27$，得$b = 3$（因为$3^3=27$）
将$a=-4$，$b=3$代入$(a - b)^b$得：
$(a - b)^b = (-4 - 3)^3 = (-7)^3$
则$(a - b)^b$的立方根为：$\sqrt[3]{(-7)^3} = -7$
【答案】
-7
【知识点】
非负数的性质，立方根运算，代数式求值
【点评】
本题属于代数基础常考题，解题关键是掌握算术平方根、绝对值的非负性，结合立方与立方根的逆运算关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
