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12.下列各数中，立方根一定是负数的是
（
A.$-a$
B.$-a^2$
C.$-a^2 -1$
D.$-a^2 +1$
（
C
）A.$-a$
B.$-a^2$
C.$-a^2 -1$
D.$-a^2 +1$
答案
12.C
解析
【分析】
要判断哪个数的立方根一定是负数，首先依据立方根的性质：只有负数的立方根才是负数，因此本题的核心是找到四个选项中取值恒小于0的代数式。解题时可以结合平方的非负性，逐个分析每个选项的取值范围，也可以代入特殊值快速排除错误选项。
【解析】
根据立方根的性质：正数的立方根为正数，0的立方根为0，负数的立方根为负数，可知立方根为负数的数本身一定是负数，因此只需判断哪个代数式的值恒为负数：
选项A：$-a$，当$a＜0$时，$-a＞0$，此时立方根是正数，不符合要求；
选项B：$-a^2$，由平方的非负性可知$a^2≥0$，因此$-a^2≤0$，当$a=0$时，$-a^2=0$，此时立方根是0，不符合要求；
选项C：$-a^2-1$，因为$a^2≥0$，所以$-a^2≤0$，因此$-a^2-1≤-1＜0$，该式的值恒为负数，它的立方根一定是负数，符合要求；
选项D：$-a^2+1$，当$a=0$时，$-a^2+1=1＞0$，此时立方根是正数，不符合要求。
综上，只有选项C符合条件。
【答案】
C
【知识点】
立方根的性质，平方的非负性
【点评】
本题将立方根的符号判断和代数式取值范围结合考查，解题时既可以根据非负性推导代数式的取值范围，也可以通过代入特殊值快速排除错误选项，是基础类的综合题。
【难度系数】
0.8
要判断哪个数的立方根一定是负数，首先依据立方根的性质：只有负数的立方根才是负数，因此本题的核心是找到四个选项中取值恒小于0的代数式。解题时可以结合平方的非负性，逐个分析每个选项的取值范围，也可以代入特殊值快速排除错误选项。
【解析】
根据立方根的性质：正数的立方根为正数，0的立方根为0，负数的立方根为负数，可知立方根为负数的数本身一定是负数，因此只需判断哪个代数式的值恒为负数：
选项A：$-a$，当$a＜0$时，$-a＞0$，此时立方根是正数，不符合要求；
选项B：$-a^2$，由平方的非负性可知$a^2≥0$，因此$-a^2≤0$，当$a=0$时，$-a^2=0$，此时立方根是0，不符合要求；
选项C：$-a^2-1$，因为$a^2≥0$，所以$-a^2≤0$，因此$-a^2-1≤-1＜0$，该式的值恒为负数，它的立方根一定是负数，符合要求；
选项D：$-a^2+1$，当$a=0$时，$-a^2+1=1＞0$，此时立方根是正数，不符合要求。
综上，只有选项C符合条件。
【答案】
C
【知识点】
立方根的性质，平方的非负性
【点评】
本题将立方根的符号判断和代数式取值范围结合考查，解题时既可以根据非负性推导代数式的取值范围，也可以通过代入特殊值快速排除错误选项，是基础类的综合题。
【难度系数】
0.8
13.下列说法正确的是 （
A.4 的平方根是 2
B.$\sqrt{9}$的算术平方根是 3
C.8 的立方根是 2
D.立方根是它本身的数是 1
C
）A.4 的平方根是 2
B.$\sqrt{9}$的算术平方根是 3
C.8 的立方根是 2
D.立方根是它本身的数是 1
答案
13.C
解析
【分析】
这道题考查平方根、算术平方根、立方根的基本概念，解题时需要逐一结合对应概念分析每个选项的正误，排除错误选项即可得到正确答案。首先回忆相关定义：1. 若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根；2. 正数正的平方根叫做它的算术平方根，0的算术平方根是0；3. 若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A选项：4的平方根是$\pm2$，并非只有2，因此A错误；
B选项：先计算$\sqrt{9}=3$，3的算术平方根是$\sqrt{3}$，不是3，因此B错误；
C选项：因为$2^3=8$，所以8的立方根是2，因此C正确；
D选项：立方根是它本身的数有$-1、0、1$三个，并非只有1，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
平方根，算术平方根，立方根
【点评】
本题属于基础概念辨析题，容易在算术平方根的二次化简、特殊数的根式取值上出错，学习时要牢记各类根式的定义，区分易混概念，整理记忆特殊值的相关结论。
【难度系数】
0.8
这道题考查平方根、算术平方根、立方根的基本概念，解题时需要逐一结合对应概念分析每个选项的正误，排除错误选项即可得到正确答案。首先回忆相关定义：1. 若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根；2. 正数正的平方根叫做它的算术平方根，0的算术平方根是0；3. 若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A选项：4的平方根是$\pm2$，并非只有2，因此A错误；
B选项：先计算$\sqrt{9}=3$，3的算术平方根是$\sqrt{3}$，不是3，因此B错误；
C选项：因为$2^3=8$，所以8的立方根是2，因此C正确；
D选项：立方根是它本身的数有$-1、0、1$三个，并非只有1，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
平方根，算术平方根，立方根
【点评】
本题属于基础概念辨析题，容易在算术平方根的二次化简、特殊数的根式取值上出错，学习时要牢记各类根式的定义，区分易混概念，整理记忆特殊值的相关结论。
【难度系数】
0.8
14.现有以下结论:①绝对值等于它本身的实数只有0;②相反数等于它本身的实数只有0;③倒数等于它本身的实数只有1;④算术平方根等于它本身的实数只有1.
其中正确的有 (
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
其中正确的有 (
B
)A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
14.B
解析
【分析】
本题考查实数相关基础概念的辨析，解题时需逐一分析四个结论，结合绝对值、相反数、倒数、算术平方根的定义，找出所有符合条件的实数，再判断结论是否正确，最后统计正确结论的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个判断4个结论的正误：
1. 分析结论①：根据绝对值的性质，正数和0的绝对值都等于它本身，因此绝对值等于本身的实数是所有非负数，不只有0，故①错误；
2. 分析结论②：设实数为$a$，若它的相反数等于本身，则$a=-a$，解得$a=0$，因此相反数等于它本身的实数只有0，故②正确；
3. 分析结论③：倒数等于本身的实数满足$a× a=1$，解得$a=\pm1$，即1和-1的倒数都等于本身，故③错误；
4. 分析结论④：0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，因此算术平方根等于本身的实数有0和1，不只有1，故④错误。
综上，只有1个结论正确。
【答案】
B
【知识点】
绝对值的性质、相反数的定义、算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是忽略特殊值0、-1的存在，解题时要全面梳理符合条件的所有实数，避免因考虑不全面导致判断错误。
【难度系数】
0.7
本题考查实数相关基础概念的辨析，解题时需逐一分析四个结论，结合绝对值、相反数、倒数、算术平方根的定义，找出所有符合条件的实数，再判断结论是否正确，最后统计正确结论的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个判断4个结论的正误：
1. 分析结论①：根据绝对值的性质，正数和0的绝对值都等于它本身，因此绝对值等于本身的实数是所有非负数，不只有0，故①错误；
2. 分析结论②：设实数为$a$，若它的相反数等于本身，则$a=-a$，解得$a=0$，因此相反数等于它本身的实数只有0，故②正确；
3. 分析结论③：倒数等于本身的实数满足$a× a=1$，解得$a=\pm1$，即1和-1的倒数都等于本身，故③错误；
4. 分析结论④：0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，因此算术平方根等于本身的实数有0和1，不只有1，故④错误。
综上，只有1个结论正确。
【答案】
B
【知识点】
绝对值的性质、相反数的定义、算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点是忽略特殊值0、-1的存在，解题时要全面梳理符合条件的所有实数，避免因考虑不全面导致判断错误。
【难度系数】
0.7
15.已知$x^2=1$，$\sqrt[3]{y}=-2$，且$xy＜0$，则$\sqrt{x-y}=$
3
。答案
15.3
解析
【分析】
解题时可分四步思考：第一步，根据平方根的定义，求出x的所有可能取值；第二步，根据立方根的定义求出y的确定值；第三步，结合xy＜0的符号限制，筛选出符合条件的x的值；第四步，将x、y的取值代入待求式，计算算术平方根即可得到结果。
【解析】
1. 求x的取值：
∵ $x^2=1$，根据平方根的定义，平方等于1的数为±1，
∴ $x=1$ 或 $x=-1$。
2. 求y的取值：
∵ $\sqrt[3]{y}=-2$，根据立方根的定义，
∴ $y=(-2)^3=-8$。
3. 筛选符合条件的x：
∵ $xy＜0$，说明x与y异号，已知y=-8＜0，
∴ x必须为正数，即$x=1$。
4. 计算待求式：
将x=1，y=-8代入得：
$x-y=1-(-8)=9$，
∴ $\sqrt{x-y}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
3
【知识点】
平方根的定义；立方根的定义；算术平方根计算
【点评】
本题属于基础综合题，主要易错点是忽略平方等于正数的数有两个互为相反数的解，解题时先求出所有可能的取值，再结合限制条件筛选出正确的取值后代入计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时可分四步思考：第一步，根据平方根的定义，求出x的所有可能取值；第二步，根据立方根的定义求出y的确定值；第三步，结合xy＜0的符号限制，筛选出符合条件的x的值；第四步，将x、y的取值代入待求式，计算算术平方根即可得到结果。
【解析】
1. 求x的取值：
∵ $x^2=1$，根据平方根的定义，平方等于1的数为±1，
∴ $x=1$ 或 $x=-1$。
2. 求y的取值：
∵ $\sqrt[3]{y}=-2$，根据立方根的定义，
∴ $y=(-2)^3=-8$。
3. 筛选符合条件的x：
∵ $xy＜0$，说明x与y异号，已知y=-8＜0，
∴ x必须为正数，即$x=1$。
4. 计算待求式：
将x=1，y=-8代入得：
$x-y=1-(-8)=9$，
∴ $\sqrt{x-y}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
3
【知识点】
平方根的定义；立方根的定义；算术平方根计算
【点评】
本题属于基础综合题，主要易错点是忽略平方等于正数的数有两个互为相反数的解，解题时先求出所有可能的取值，再结合限制条件筛选出正确的取值后代入计算即可。
【难度系数】
0.8
16.若$\sqrt[3]{3a-1}$与$\sqrt[3]{1-2b}$互为相反数，求$\frac{a}{b}$的值.
答案
16.$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
解题时首先回忆立方根的相关性质：如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数本身也互为相反数。依据这个性质，我们可以先列出两个被开方数的和为0的等式，再通过化简等式得到a与b的数量关系，最后代入求出$\frac{a}{b}$的比值即可。本题要求$\frac{a}{b}$的值，默认分母$b≠0$，可直接计算比值。
【解析】
解：
∵$\sqrt[3]{3a-1}$与$\sqrt[3]{1-2b}$互为相反数
∴根据立方根的性质可得，两个被开方数互为相反数，即：
$3a - 1 + (1 - 2b) = 0$
化简等式：
$3a -1 +1 - 2b = 0$
整理得$3a = 2b$
∵$b≠0$，等式两边同时除以$3b$，得：
$\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
立方根的性质，相反数的性质，等式化简求值
【点评】
本题属于基础常考题，核心是利用立方根的性质建立a与b的等量关系，解题时注意区分立方根和平方根的性质差异，结合隐含条件分母不为0即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆立方根的相关性质：如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数本身也互为相反数。依据这个性质，我们可以先列出两个被开方数的和为0的等式，再通过化简等式得到a与b的数量关系，最后代入求出$\frac{a}{b}$的比值即可。本题要求$\frac{a}{b}$的值，默认分母$b≠0$，可直接计算比值。
【解析】
解：
∵$\sqrt[3]{3a-1}$与$\sqrt[3]{1-2b}$互为相反数
∴根据立方根的性质可得，两个被开方数互为相反数，即：
$3a - 1 + (1 - 2b) = 0$
化简等式：
$3a -1 +1 - 2b = 0$
整理得$3a = 2b$
∵$b≠0$，等式两边同时除以$3b$，得：
$\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
立方根的性质，相反数的性质，等式化简求值
【点评】
本题属于基础常考题，核心是利用立方根的性质建立a与b的等量关系，解题时注意区分立方根和平方根的性质差异，结合隐含条件分母不为0即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
17.如果$\sqrt{34}$的整数部分为$a$，$7-\sqrt{7}$的整数部分为$b$，求$12a+b$的立方根。
答案
17.4
解析
【分析】
解题时首先要明确目标：求12a+b的立方根，需先求出a、b的值。a是√34的整数部分，b是7-√7的整数部分，求无理数的整数部分的核心方法是估算：先找到和被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数在哪两个相邻整数之间，即可得到其整数部分。求出a、b后代入计算12a+b的值，最后求该值的立方根即可。
【解析】
1. 求a的值：
∵ $5^2=25$，$6^2=36$，且$25＜34＜36$
∴ $\sqrt{25}＜\sqrt{34}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{34}＜6$
∴ $\sqrt{34}$的整数部分$a=5$
2. 求b的值：
∵ $2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$
∴ $\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$
不等式两边同乘$-1$得：$-3＜-\sqrt{7}＜-2$
不等式两边同时加7得：$7-3＜7-\sqrt{7}＜7-2$，即$4＜7-\sqrt{7}＜5$
∴ $7-\sqrt{7}$的整数部分$b=4$
3. 计算12a+b的值：
将$a=5$，$b=4$代入得：
$12a + b = 12×5 + 4 = 60 + 4 = 64$
4. 求64的立方根：
∵ $4^3=64$
∴ 64的立方根为4
【答案】
4
【知识点】
无理数的估算；代数式求值；立方根计算
【点评】
本题是实数章节的典型基础题型，重点考察利用相邻完全平方数估算无理数范围的方法，计算过程中要注意不等式两边乘负数时不等号方向改变，掌握估算技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确目标：求12a+b的立方根，需先求出a、b的值。a是√34的整数部分，b是7-√7的整数部分，求无理数的整数部分的核心方法是估算：先找到和被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数在哪两个相邻整数之间，即可得到其整数部分。求出a、b后代入计算12a+b的值，最后求该值的立方根即可。
【解析】
1. 求a的值：
∵ $5^2=25$，$6^2=36$，且$25＜34＜36$
∴ $\sqrt{25}＜\sqrt{34}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{34}＜6$
∴ $\sqrt{34}$的整数部分$a=5$
2. 求b的值：
∵ $2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜7＜9$
∴ $\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$
不等式两边同乘$-1$得：$-3＜-\sqrt{7}＜-2$
不等式两边同时加7得：$7-3＜7-\sqrt{7}＜7-2$，即$4＜7-\sqrt{7}＜5$
∴ $7-\sqrt{7}$的整数部分$b=4$
3. 计算12a+b的值：
将$a=5$，$b=4$代入得：
$12a + b = 12×5 + 4 = 60 + 4 = 64$
4. 求64的立方根：
∵ $4^3=64$
∴ 64的立方根为4
【答案】
4
【知识点】
无理数的估算；代数式求值；立方根计算
【点评】
本题是实数章节的典型基础题型，重点考察利用相邻完全平方数估算无理数范围的方法，计算过程中要注意不等式两边乘负数时不等号方向改变，掌握估算技巧即可快速解题。
【难度系数】
0.7
18.已知$M=\sqrt[m-4]{m+3}$是$m+3$的算术平方根，$N=\sqrt[2m-4n+3]{n-2}$是$n-2$的立方根，试求$M-N$的平方根。
答案
18.$\pm\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题的关键是明确算术平方根和立方根的根指数特点：算术平方根的根指数为2，立方根的根指数为3。我们可以先根据M是算术平方根列出关于m的方程，求出m的值，进而得到M的数值；再根据N是立方根列出关于n的方程，代入m的值求出n，进而得到N的数值；最后计算M-N的值，再求它的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
解：
∵$M=\sqrt[m-4]{m+3}$是$m+3$的算术平方根，算术平方根的根指数为2
∴$m-4=2$，解得$m=6$
∴$M=\sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3$
∵$N=\sqrt[2m-4n+3]{n-2}$是$n-2$的立方根，立方根的根指数为3
∴$2m-4n+3=3$
把$m=6$代入上式，得：
$2×6 -4n +3=3$
$12-4n=0$，解得$n=3$
∴$N=\sqrt[3]{3-2}=\sqrt[3]{1}=1$
∴$M-N=3-1=2$
∵2的平方根是$\pm\sqrt{2}$
∴$M-N$的平方根为$\pm\sqrt{2}$
【答案】
$\pm\sqrt{2}$
【知识点】
1. 算术平方根的概念
2. 立方根的概念
3. 平方根的计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是区分算术平方根、立方根、平方根三者的定义，特别要注意正数的平方根有两个，不要漏写负数情况，避免出现结果只写$\sqrt{2}$的错误。
【难度系数】
0.7
解题的关键是明确算术平方根和立方根的根指数特点：算术平方根的根指数为2，立方根的根指数为3。我们可以先根据M是算术平方根列出关于m的方程，求出m的值，进而得到M的数值；再根据N是立方根列出关于n的方程，代入m的值求出n，进而得到N的数值；最后计算M-N的值，再求它的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
解：
∵$M=\sqrt[m-4]{m+3}$是$m+3$的算术平方根，算术平方根的根指数为2
∴$m-4=2$，解得$m=6$
∴$M=\sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3$
∵$N=\sqrt[2m-4n+3]{n-2}$是$n-2$的立方根，立方根的根指数为3
∴$2m-4n+3=3$
把$m=6$代入上式，得：
$2×6 -4n +3=3$
$12-4n=0$，解得$n=3$
∴$N=\sqrt[3]{3-2}=\sqrt[3]{1}=1$
∴$M-N=3-1=2$
∵2的平方根是$\pm\sqrt{2}$
∴$M-N$的平方根为$\pm\sqrt{2}$
【答案】
$\pm\sqrt{2}$
【知识点】
1. 算术平方根的概念
2. 立方根的概念
3. 平方根的计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是区分算术平方根、立方根、平方根三者的定义，特别要注意正数的平方根有两个，不要漏写负数情况，避免出现结果只写$\sqrt{2}$的错误。
【难度系数】
0.7
19.小明家买了一张边长是1.3 m的正方形的新桌子，原有边长是1 m的两块正方形桌布都不适用了，丢掉又太可惜了.小明的姥姥按如图所示的方法，将两块桌布拼成一块正方形的大桌布，请你帮小明的姥姥算一算，这块大桌布能盖住新桌子吗？
答案
19.能
解析
【分析】
要判断大桌布能否盖住新桌子，只需比较大桌布的边长和新桌子的边长大小即可。拼接前后桌布的总面积不变，我们可以先算出两块小桌布的总面积，也就是拼成的大桌布的面积，再根据正方形面积公式求出大桌布的边长，最后和新桌子的边长1.3m比较大小就能得到结论。
【解析】
解：首先计算两块边长为1m的正方形桌布的总面积：
每块小桌布的面积 = 边长×边长 = $1×1=1\ \mathrm{m}^2$
两块桌布的总面积 = $1×2=2\ \mathrm{m}^2$
因为拼接过程中总面积不变，所以拼成的大正方形桌布的面积为$2\ \mathrm{m}^2$。
设大正方形桌布的边长为$x\ \mathrm{m}$，根据正方形面积公式可得：
$x^2=2$
因为边长为正数，所以$x=\sqrt{2}\approx1.414$
已知新桌子的边长为1.3m，比较得：$1.414＞1.3$，即大桌布的边长大于新桌子的边长。
所以这块大桌布能盖住新桌子。
【答案】
能
【知识点】
正方形面积计算，算术平方根的应用，实数大小比较
【点评】
本题是结合生活场景的实际应用题，解题核心是抓住拼接前后图形总面积不变的特点，通过计算拼接后大正方形的边长，再与桌子边长比较即可得到结果，体现了数学知识在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.7
要判断大桌布能否盖住新桌子，只需比较大桌布的边长和新桌子的边长大小即可。拼接前后桌布的总面积不变，我们可以先算出两块小桌布的总面积，也就是拼成的大桌布的面积，再根据正方形面积公式求出大桌布的边长，最后和新桌子的边长1.3m比较大小就能得到结论。
【解析】
解：首先计算两块边长为1m的正方形桌布的总面积：
每块小桌布的面积 = 边长×边长 = $1×1=1\ \mathrm{m}^2$
两块桌布的总面积 = $1×2=2\ \mathrm{m}^2$
因为拼接过程中总面积不变，所以拼成的大正方形桌布的面积为$2\ \mathrm{m}^2$。
设大正方形桌布的边长为$x\ \mathrm{m}$，根据正方形面积公式可得：
$x^2=2$
因为边长为正数，所以$x=\sqrt{2}\approx1.414$
已知新桌子的边长为1.3m，比较得：$1.414＞1.3$，即大桌布的边长大于新桌子的边长。
所以这块大桌布能盖住新桌子。
【答案】
能
【知识点】
正方形面积计算，算术平方根的应用，实数大小比较
【点评】
本题是结合生活场景的实际应用题，解题核心是抓住拼接前后图形总面积不变的特点，通过计算拼接后大正方形的边长，再与桌子边长比较即可得到结果，体现了数学知识在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.7
