登录
1. [2026淮安开明中学月考]定义:我们把一次函数$y=kx+b(k≠0)$与正比例函数$y=x$图象的交点称为一次函数$y=kx+b(k≠0)$的“不动点”.例如求$y=2x-1$的“不动点”:联立方程组$\begin{cases}y=2x-1, \\ y=x,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=1, \\ y=1,\end{cases}$则$y=2x-1$的“不动点”为$(1,1)$.
(1)由定义可知,一次函数$y=3x+2$的“不动点”为
(2)若一次函数$y=mx+n$的“不动点”为$(2,n-1)$,求$m,n$的值;
(3)若直线$y=kx-3(k≠0)$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,且直线$y=kx-3$上没有“不动点”,若点$P$为$x$轴上一个动点,使得$S_{△ ABP}=3S_{△ ABO}$,求满足条件的点$P$的坐标.
(1)由定义可知,一次函数$y=3x+2$的“不动点”为
(-1,-1)
;(2)若一次函数$y=mx+n$的“不动点”为$(2,n-1)$,求$m,n$的值;
(3)若直线$y=kx-3(k≠0)$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,且直线$y=kx-3$上没有“不动点”,若点$P$为$x$轴上一个动点,使得$S_{△ ABP}=3S_{△ ABO}$,求满足条件的点$P$的坐标.
答案
(1) $(-1,-1)$
(2) $\because$ 一次函数 $y=mx+n$ 的“不动点”为 $(2,n-1)$,
$\therefore n-1=2$, 解得 $n=3$,
$\therefore$ “不动点”为 $(2,2)$,
$\therefore 2=2m+3$, 解得 $m=-\frac{1}{2}$.
(3) $\because$ 直线 $y=kx-3$ 上没有“不动点”,
$\therefore$ 直线 $y=kx-3$ 与直线 $y=x$ 平行,
$\therefore k=1,\therefore y=x-3$.
令 $x=0$, 得 $y=-3,\therefore B(0,-3)$;
令 $y=0$, 得 $0=x-3$, 解得 $x=3,\therefore A(3,0)$.
设 $P(t,0),\therefore AP=|3-t|$,
$\therefore S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×|t-3|×3,S_{△ ABO}=\frac{1}{2}×3×3$.
$\because S_{△ ABP}=3S_{△ ABO},\therefore |t-3|=9$,
$\therefore t-3=9$ 或 $t-3=-9$, 解得 $t=12$ 或 $t=-6$,
$\therefore$ 满足条件的点 $P$ 的坐标为 $(-6,0)$ 或 $(12,0)$.
(2) $\because$ 一次函数 $y=mx+n$ 的“不动点”为 $(2,n-1)$,
$\therefore n-1=2$, 解得 $n=3$,
$\therefore$ “不动点”为 $(2,2)$,
$\therefore 2=2m+3$, 解得 $m=-\frac{1}{2}$.
(3) $\because$ 直线 $y=kx-3$ 上没有“不动点”,
$\therefore$ 直线 $y=kx-3$ 与直线 $y=x$ 平行,
$\therefore k=1,\therefore y=x-3$.
令 $x=0$, 得 $y=-3,\therefore B(0,-3)$;
令 $y=0$, 得 $0=x-3$, 解得 $x=3,\therefore A(3,0)$.
设 $P(t,0),\therefore AP=|3-t|$,
$\therefore S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×|t-3|×3,S_{△ ABO}=\frac{1}{2}×3×3$.
$\because S_{△ ABP}=3S_{△ ABO},\therefore |t-3|=9$,
$\therefore t-3=9$ 或 $t-3=-9$, 解得 $t=12$ 或 $t=-6$,
$\therefore$ 满足条件的点 $P$ 的坐标为 $(-6,0)$ 或 $(12,0)$.
解析
【分析】
本题是一次函数的新定义问题，解题核心是先明确“不动点”的含义：一次函数与正比例函数$y=x$的交点即为不动点。
(1) 求指定一次函数的不动点，直接联立该一次函数与$y=x$组成方程组，求解即可得到不动点坐标；
(2) 不动点在$y=x$上，因此点的横纵坐标相等，可先利用这个性质求出$n$的值，再将不动点坐标代入一次函数表达式求出$m$的值；
(3) 直线上没有不动点，说明该直线与$y=x$没有交点，即两直线平行，一次项系数相等，先求出$k$的值得到直线解析式，再求出$A$、$B$两点坐标，设出点$P$的坐标，分别表示出两个三角形的面积，根据面积关系列方程求解，注意绝对值的情况，避免漏解。
【解析】
(1) 联立方程组$\begin{cases}y=3x+2 \\ y=x\end{cases}$，将$y=x$代入$y=3x+2$得$x=3x+2$，解得$x=-1$，则$y=x=-1$，即不动点为$(-1,-1)$；
(2) $\because$ 一次函数$y=mx+n$的“不动点”为$(2,n-1)$，且不动点在$y=x$上，
$\therefore$ 横纵坐标相等，即$n-1=2$，解得$n=3$，
$\therefore$ 不动点坐标为$(2,2)$，
将$(2,2)$代入$y=mx+3$得$2=2m+3$，解得$m=-\frac{1}{2}$；
(3) $\because$ 直线$y=kx-3$上没有“不动点”，说明直线$y=kx-3$与$y=x$无交点，两直线平行，
$\therefore$ 一次项系数相等，$k=1$，直线解析式为$y=x-3$，
令$x=0$，得$y=-3$，$\therefore B(0,-3)$；
令$y=0$，得$0=x-3$，解得$x=3$，$\therefore A(3,0)$；
设点$P$的坐标为$(t,0)$，则$AP=|t-3|$，
$S_{△ ABP}=\frac{1}{2} × |t-3| × 3$，$S_{△ ABO}=\frac{1}{2} × 3 × 3=\frac{9}{2}$，
$\because S_{△ ABP}=3S_{△ ABO}$，
$\therefore \frac{1}{2} × |t-3| × 3 = 3 × \frac{9}{2}$，化简得$|t-3|=9$，
$\therefore t-3=9$或$t-3=-9$，解得$t=12$或$t=-6$，
即点$P$的坐标为$(-6,0)$或$(12,0)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-1,-1)}$
(2) $\boldsymbol{m=-\dfrac{1}{2},n=3}$
(3) $\boldsymbol{(-6,0)}$或$\boldsymbol{(12,0)}$
【知识点】
一次函数新定义、一次函数图象性质、三角形面积计算
【点评】
本题以新定义“不动点”为载体考查一次函数的综合应用，解题的关键是准确理解新定义的内涵，将新定义问题转化为常规的一次函数交点、解析式求解问题，处理动点相关的面积问题时要注意考虑点的不同位置，避免漏解。
【难度系数】
0.65
本题是一次函数的新定义问题，解题核心是先明确“不动点”的含义：一次函数与正比例函数$y=x$的交点即为不动点。
(1) 求指定一次函数的不动点，直接联立该一次函数与$y=x$组成方程组，求解即可得到不动点坐标；
(2) 不动点在$y=x$上，因此点的横纵坐标相等，可先利用这个性质求出$n$的值，再将不动点坐标代入一次函数表达式求出$m$的值；
(3) 直线上没有不动点，说明该直线与$y=x$没有交点，即两直线平行，一次项系数相等，先求出$k$的值得到直线解析式，再求出$A$、$B$两点坐标，设出点$P$的坐标，分别表示出两个三角形的面积，根据面积关系列方程求解，注意绝对值的情况，避免漏解。
【解析】
(1) 联立方程组$\begin{cases}y=3x+2 \\ y=x\end{cases}$，将$y=x$代入$y=3x+2$得$x=3x+2$，解得$x=-1$，则$y=x=-1$，即不动点为$(-1,-1)$；
(2) $\because$ 一次函数$y=mx+n$的“不动点”为$(2,n-1)$，且不动点在$y=x$上，
$\therefore$ 横纵坐标相等，即$n-1=2$，解得$n=3$，
$\therefore$ 不动点坐标为$(2,2)$，
将$(2,2)$代入$y=mx+3$得$2=2m+3$，解得$m=-\frac{1}{2}$；
(3) $\because$ 直线$y=kx-3$上没有“不动点”，说明直线$y=kx-3$与$y=x$无交点，两直线平行，
$\therefore$ 一次项系数相等，$k=1$，直线解析式为$y=x-3$，
令$x=0$，得$y=-3$，$\therefore B(0,-3)$；
令$y=0$，得$0=x-3$，解得$x=3$，$\therefore A(3,0)$；
设点$P$的坐标为$(t,0)$，则$AP=|t-3|$，
$S_{△ ABP}=\frac{1}{2} × |t-3| × 3$，$S_{△ ABO}=\frac{1}{2} × 3 × 3=\frac{9}{2}$，
$\because S_{△ ABP}=3S_{△ ABO}$，
$\therefore \frac{1}{2} × |t-3| × 3 = 3 × \frac{9}{2}$，化简得$|t-3|=9$，
$\therefore t-3=9$或$t-3=-9$，解得$t=12$或$t=-6$，
即点$P$的坐标为$(-6,0)$或$(12,0)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-1,-1)}$
(2) $\boldsymbol{m=-\dfrac{1}{2},n=3}$
(3) $\boldsymbol{(-6,0)}$或$\boldsymbol{(12,0)}$
【知识点】
一次函数新定义、一次函数图象性质、三角形面积计算
【点评】
本题以新定义“不动点”为载体考查一次函数的综合应用，解题的关键是准确理解新定义的内涵，将新定义问题转化为常规的一次函数交点、解析式求解问题，处理动点相关的面积问题时要注意考虑点的不同位置，避免漏解。
【难度系数】
0.65
2. [2025常州期末]如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(8,0),直线l经过原点O,与x轴正半轴的夹角为30°,B为直线l上一动点,C为平面内一点,连接AB,BC,CA.若△ABC为等边三角形(点A,B,C按逆时针排列),则称C为点B的“伴随点”.
(1)若AB⊥l,则点B的“伴随点”C的坐标为
(2)若AB=5,求点B的“伴随点”C的坐标;
(3)连接OC,延长AC交y轴于点D.若△ODC为直角三角形,求出线段AB的长.
(1)若AB⊥l,则点B的“伴随点”C的坐标为
(4,0)
;(2)若AB=5,求点B的“伴随点”C的坐标;
(3)连接OC,延长AC交y轴于点D.若△ODC为直角三角形,求出线段AB的长.
答案
(1) $(4,0)$
如图1,当 $AB⊥ l$ 时,则 $∠ ABO=90°$. $\because$ 点 $A$ 的坐标为 $(8,0)$,
$\therefore OA=8$. $\because ∠ AOB=30°,OA=8,\therefore ∠ OAB=60°,AB=\frac{1}{2}OA=4$. $\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore$ 此时点 $C$ 在 $x$ 轴上, $\therefore OC=4$,
$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(4,0)$.
(2) 由题意,分两种情况讨论:
①如图2,当点 $C$ 在 $x$ 轴上方时,过点 $A,C$ 分别作 $AE⊥ OB$, $CF⊥ OA$, 垂足分别为 $E,F$.
$\because △ ABC$ 为等边三角形,
$\therefore ∠ BAC=∠ CAE+∠ BAE=60°,AC=AB$.
$\because ∠ BOA=30°,AE⊥ OB$,
$\therefore ∠ EAO=∠ CAE+∠ CAO=60°$,
$\therefore ∠ CAF=∠ BAE$.
在 $△ ABE$ 和 $△ ACF$ 中, $\begin{cases}∠ AEB=∠ AFC,\\∠ BAE=∠ CAF,\\AB=AC,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ACF(\mathrm{AAS})$,
$\therefore BE=CF,AE=AF$.
在 $\mathrm{Rt}△ AOE$ 中, $∠ AEO=90°,∠ EOA=30°$,
$\therefore AE=\frac{1}{2}OA=4,\therefore AF=4,\therefore OF=OA-AF=4$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中, $∠ AEB=90°,AB=5$,
$\therefore BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=3$,
$\therefore CF=3,\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(4,3)$;
②如图3,当点 $C$ 在 $x$ 轴下方时,同理可求得点 $C$ 的坐标为 $(4,-3)$.
综上所述,点 $C$ 的坐标为 $(4,3)$ 或 $(4,-3)$.
(3) 由题意,分两种情况讨论:
①当点 $C$ 在 $x$ 轴上方时,如图4所示.
由(2),知 $AF=AE=\frac{1}{2}OA=4$, 则 $CF$ 垂直平分 $OA$,
$\therefore CO=CA,\therefore ∠ COA=∠ CAO$.
$\because ∠ COA+∠ COD=90°,∠ CAO+∠ CDO=90°$,
$\therefore ∠ COD=∠ CDO,\therefore CO=CD$.
$\because △ ODC$ 为直角三角形,
$\therefore ∠ CDO=∠ COD=\frac{1}{2}×90°=45°$,
$\therefore ∠ CAO=90°-∠ CDO=45°$,
$\therefore ∠ ACF=90°-∠ CAO=45°$,
$\therefore ∠ CAO=∠ ACF,\therefore CF=AF=4$,
$\therefore AC=\sqrt{CF^2+AF^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}$,
$\therefore AB=\sqrt{32}$;
②当点 $C$ 在 $x$ 轴下方时,如图5所示,同理可得 $AB=\sqrt{32}$.
综上所述,线段 $AB$ 的长为 $\sqrt{32}$.
解析
【分析】
(1) 当AB⊥l时，先根据∠AOB=30°、OA=8，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，求出AB的长度和∠OAB的度数，再结合△ABC是等边三角形的性质，可判断点C落在x轴上，进而计算得到点C的坐标。
(2) 分点C在x轴上方、下方两种情况讨论：过点A作AE⊥OB，过点C作CF⊥OA，结合等边三角形的边角关系证明△ABE≌△ACF，再利用含30°角的直角三角形性质求出AE的长度，结合勾股定理算出BE的长度，根据全等性质得到CF、AF的长度，即可求出点C的坐标。
(3) 分点C在x轴上方、下方两种情况讨论：由(2)的结论可知CF垂直平分OA，可得CO=CA，再结合△ODC为直角三角形推导角的等量关系，得出△AFC为等腰直角三角形，求出AC的长度，即为AB的长度。
【解析】
(1) 当 $AB⊥ l$ 时，则 $∠ ABO=90°$。
$\because$ 点 $A$ 的坐标为 $(8,0)$，$\therefore OA=8$。
$\because ∠ AOB=30°,OA=8$，$\therefore ∠ OAB=60°,AB=\frac{1}{2}OA=4$。
$\because △ ABC$ 是等边三角形，$\therefore AC=AB=4,∠BAC=60°$，即点 $C$ 在 $x$ 轴上，
$\therefore OC=OA-AC=8-4=4$，$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(4,0)$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当点 $C$ 在 $x$ 轴上方时，过点 $A,C$ 分别作 $AE⊥ OB$, $CF⊥ OA$, 垂足分别为 $E,F$。
$\because △ ABC$ 为等边三角形，$\therefore ∠ BAC=∠ CAE+∠ BAE=60°,AC=AB$。
$\because ∠ BOA=30°,AE⊥ OB$，$\therefore ∠ EAO=∠ CAE+∠ CAO=60°$，
$\therefore ∠ CAF=∠ BAE$。
在 $△ ABE$ 和 $△ ACF$ 中，$\begin{cases}∠ AEB=∠ AFC=90°,\\∠ BAE=∠ CAF,\\AB=AC,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ACF(\mathrm{AAS})$，$\therefore BE=CF,AE=AF$。
在 $\mathrm{Rt}△ AOE$ 中，$∠ AEO=90°,∠ EOA=30°$，
$\therefore AE=\frac{1}{2}OA=4$，$\therefore AF=4$，$\therefore OF=OA-AF=8-4=4$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中，$∠ AEB=90°,AB=5$，
$\therefore BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
$\therefore CF=3$，$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(4,3)$。
② 当点 $C$ 在 $x$ 轴下方时，同理可证 $△ ABE≌△ ACF$，可得 $CF=3,OF=4$，即点 $C$ 的坐标为 $(4,-3)$。
综上，点 $C$ 的坐标为 $(4,3)$ 或 $(4,-3)$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当点 $C$ 在 $x$ 轴上方时，
由(2)可知 $AF=AE=\frac{1}{2}OA=4$，即 $CF$ 垂直平分 $OA$，
$\therefore CO=CA$，$\therefore ∠ COA=∠ CAO$。
$\because ∠ COA+∠ COD=90°,∠ CAO+∠ CDO=90°$，
$\therefore ∠ COD=∠ CDO$，$\therefore CO=CD$。
$\because △ ODC$ 为直角三角形，$\therefore ∠ OCD=90°$，
$\therefore ∠ CDO=∠ COD=\frac{1}{2}×90°=45°$，
$\therefore ∠ CAO=90°-∠ CDO=45°$，
$\therefore ∠ ACF=90°-∠ CAO=45°$，
$\therefore ∠ CAO=∠ ACF$，$\therefore CF=AF=4$，
$\therefore AC=\sqrt{CF^2+AF^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}$，即 $AB=\sqrt{32}$。
② 当点 $C$ 在 $x$ 轴下方时，同理可得 $AC=\sqrt{32}$，即 $AB=\sqrt{32}$。
综上，线段 $AB$ 的长为 $\sqrt{32}$。
【答案】
(1) $\boxed{(4,0)}$
(2) $\boxed{(4,3)}$ 或 $\boxed{(4,-3)}$
(3) $\boxed{\sqrt{32}}$
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于新定义类几何综合题，融合了平面直角坐标系、特殊三角形的性质、全等三角形的判定等知识点，解题时需要灵活运用分类讨论思想，合理构造辅助线建立边角关系，对几何综合分析能力有较高要求。
【难度系数】
0.4
(1) 当AB⊥l时，先根据∠AOB=30°、OA=8，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，求出AB的长度和∠OAB的度数，再结合△ABC是等边三角形的性质，可判断点C落在x轴上，进而计算得到点C的坐标。
(2) 分点C在x轴上方、下方两种情况讨论：过点A作AE⊥OB，过点C作CF⊥OA，结合等边三角形的边角关系证明△ABE≌△ACF，再利用含30°角的直角三角形性质求出AE的长度，结合勾股定理算出BE的长度，根据全等性质得到CF、AF的长度，即可求出点C的坐标。
(3) 分点C在x轴上方、下方两种情况讨论：由(2)的结论可知CF垂直平分OA，可得CO=CA，再结合△ODC为直角三角形推导角的等量关系，得出△AFC为等腰直角三角形，求出AC的长度，即为AB的长度。
【解析】
(1) 当 $AB⊥ l$ 时，则 $∠ ABO=90°$。
$\because$ 点 $A$ 的坐标为 $(8,0)$，$\therefore OA=8$。
$\because ∠ AOB=30°,OA=8$，$\therefore ∠ OAB=60°,AB=\frac{1}{2}OA=4$。
$\because △ ABC$ 是等边三角形，$\therefore AC=AB=4,∠BAC=60°$，即点 $C$ 在 $x$ 轴上，
$\therefore OC=OA-AC=8-4=4$，$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(4,0)$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当点 $C$ 在 $x$ 轴上方时，过点 $A,C$ 分别作 $AE⊥ OB$, $CF⊥ OA$, 垂足分别为 $E,F$。
$\because △ ABC$ 为等边三角形，$\therefore ∠ BAC=∠ CAE+∠ BAE=60°,AC=AB$。
$\because ∠ BOA=30°,AE⊥ OB$，$\therefore ∠ EAO=∠ CAE+∠ CAO=60°$，
$\therefore ∠ CAF=∠ BAE$。
在 $△ ABE$ 和 $△ ACF$ 中，$\begin{cases}∠ AEB=∠ AFC=90°,\\∠ BAE=∠ CAF,\\AB=AC,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ACF(\mathrm{AAS})$，$\therefore BE=CF,AE=AF$。
在 $\mathrm{Rt}△ AOE$ 中，$∠ AEO=90°,∠ EOA=30°$，
$\therefore AE=\frac{1}{2}OA=4$，$\therefore AF=4$，$\therefore OF=OA-AF=8-4=4$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中，$∠ AEB=90°,AB=5$，
$\therefore BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
$\therefore CF=3$，$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(4,3)$。
② 当点 $C$ 在 $x$ 轴下方时，同理可证 $△ ABE≌△ ACF$，可得 $CF=3,OF=4$，即点 $C$ 的坐标为 $(4,-3)$。
综上，点 $C$ 的坐标为 $(4,3)$ 或 $(4,-3)$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当点 $C$ 在 $x$ 轴上方时，
由(2)可知 $AF=AE=\frac{1}{2}OA=4$，即 $CF$ 垂直平分 $OA$，
$\therefore CO=CA$，$\therefore ∠ COA=∠ CAO$。
$\because ∠ COA+∠ COD=90°,∠ CAO+∠ CDO=90°$，
$\therefore ∠ COD=∠ CDO$，$\therefore CO=CD$。
$\because △ ODC$ 为直角三角形，$\therefore ∠ OCD=90°$，
$\therefore ∠ CDO=∠ COD=\frac{1}{2}×90°=45°$，
$\therefore ∠ CAO=90°-∠ CDO=45°$，
$\therefore ∠ ACF=90°-∠ CAO=45°$，
$\therefore ∠ CAO=∠ ACF$，$\therefore CF=AF=4$，
$\therefore AC=\sqrt{CF^2+AF^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}$，即 $AB=\sqrt{32}$。
② 当点 $C$ 在 $x$ 轴下方时，同理可得 $AC=\sqrt{32}$，即 $AB=\sqrt{32}$。
综上，线段 $AB$ 的长为 $\sqrt{32}$。
【答案】
(1) $\boxed{(4,0)}$
(2) $\boxed{(4,3)}$ 或 $\boxed{(4,-3)}$
(3) $\boxed{\sqrt{32}}$
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于新定义类几何综合题，融合了平面直角坐标系、特殊三角形的性质、全等三角形的判定等知识点，解题时需要灵活运用分类讨论思想，合理构造辅助线建立边角关系，对几何综合分析能力有较高要求。
【难度系数】
0.4
3. [2025淮安期末]定义:在平面直角坐标系$xOy$中,任意两点$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$,如果$x_1 + x_2 = y_1 - y_2$,那么称点$Q$是点$P$的和差点.
【概念理解】
(1)已知点$P(2,0),Q(x,y)$,且点$Q$是点$P$的和差点,那么根据定义可得:$2 + x = 0 - y$,即$y = -x -2$.由此可知:点$P(2,0)$的和差点$Q$在一次函数$y = -x -2$的图象上.请判断:在点$Q_1(0,-2),Q_2(-2,-1),Q_3(1,-3)$中,点$P$的和差点为
【初步应用】
(2)若点$Q$是点$P(-2,1)$的一个和差点,且点$Q$在直线$y = 3x +1$上,求出点$Q$的坐标.
【拓展提升】
(3)如图,已知$△ ABC$的顶点坐标分别为$A(1,1),B(3,1),C(3,3)$,$P$为$△ ABC$三条边上的任意一点.请用阴影标注所有点$P$的和差点组成的区域,只需标注网格内(含边界)的部分.
【概念理解】
(1)已知点$P(2,0),Q(x,y)$,且点$Q$是点$P$的和差点,那么根据定义可得:$2 + x = 0 - y$,即$y = -x -2$.由此可知:点$P(2,0)$的和差点$Q$在一次函数$y = -x -2$的图象上.请判断:在点$Q_1(0,-2),Q_2(-2,-1),Q_3(1,-3)$中,点$P$的和差点为
$Q_1,Q_3$
.【初步应用】
(2)若点$Q$是点$P(-2,1)$的一个和差点,且点$Q$在直线$y = 3x +1$上,求出点$Q$的坐标.
【拓展提升】
(3)如图,已知$△ ABC$的顶点坐标分别为$A(1,1),B(3,1),C(3,3)$,$P$为$△ ABC$三条边上的任意一点.请用阴影标注所有点$P$的和差点组成的区域,只需标注网格内(含边界)的部分.
答案
(1) $Q_1,Q_3$
把 $x=0$ 代入 $y=-x-2$, 得 $y=-2,\therefore Q_1(0,-2)$ 在直线 $y=-x-2$ 上. 把 $x=-2$ 代入 $y=-x-2$, 得 $y=2-2=0≠-1$,
$\therefore Q_2(-2,-1)$ 不在直线 $y=-x-2$ 上. 把 $x=1$ 代入 $y=-x-2$, 得 $y=-1-2=-3,\therefore Q_3(1,-3)$ 在直线 $y=-x-2$ 上,
$\therefore$ 点 $P$ 的和差点为 $Q_1,Q_3$.
(2) 设点 $Q$ 的坐标为 $(x,y)$.
$\because$ 点 $Q$ 是点 $P(-2,1)$ 的一个和差点,
$\therefore -2+x=1-y,\therefore y=-x+3$,
$\therefore$ 点 $Q$ 在直线 $y=-x+3$ 上.
又 $\because$ 点 $Q$ 在直线 $y=3x+1$,
$\therefore -x+3=3x+1$, 解得 $x=\frac{1}{2}$,
$\therefore y=-\frac{1}{2}+3=\frac{5}{2}$,
$\therefore$ 点 $Q$ 的坐标为 $(\frac{1}{2},\frac{5}{2})$.
(3) 设点 $P$ 的和差点 $Q$ 的坐标为 $(x,y)$.
分以下三种情况讨论:
①当点 $P$ 在边 $AC$ 上时,
设直线 $AC$ 的函数表达式为 $y=kx+b$.
把 $A(1,1),C(3,3)$ 分别代入,
得 $\begin{cases}k+b=1,\\3k+b=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=1,\\b=0,\end{cases}$
$\therefore$ 直线 $AC$ 的函数表达式为 $y=x$.
设此时点 $P$ 的坐标为 $(a,a)(1≤ a≤3)$.
由题意,得 $a+x=a-y$,
整理,得 $y=-x$,
$\therefore$ 此时点 $P$ 的和差点 $Q$ 在直线 $y=-x$ 上.
②当点 $P$ 在边 $AB$ 上时,
设此时点 $P$ 的坐标为 $(m,1)(1≤ m≤3)$.
由题意,得 $m+x=1-y$,
整理,得 $y=-x+1-m$.
$\because 1≤ m≤3,\therefore -2≤1-m≤0$,
$\therefore$ 此时点 $P$ 的和差点 $Q$ 在直线 $y=-x$ 和 $y=-x-2$ 之间.
③当点 $P$ 在边 $BC$ 上时,
设此时点 $P$ 的坐标为 $(3,n)(1≤ n≤3)$.
由题意,得 $3+x=n-y$,
整理,得 $y=-x+n-3$.
$\because 1≤ n≤3,\therefore -2≤ n-3≤0$,
$\therefore$ 此时点 $P$ 的和差点 $Q$ 在直线 $y=-x$ 和 $y=-x-2$ 之间.
综上所述,点 $P$ 的和差点 $Q$ 在直线 $y=-x$ 和 $y=-x-2$ 之间(包括这两条直线),如图所示:
解析
【分析】
(1) 根据题干给出的和差点定义，已知点$P(2,0)$的所有和差点都在一次函数$y=-x-2$的图象上，只需将三个点的横坐标代入解析式，验证计算得到的纵坐标是否与点的纵坐标一致，即可判断是否为和差点。
(2) 先根据和差点的定义，结合点$P(-2,1)$的坐标，推导得出它的和差点$Q(x,y)$满足的函数关系式，再结合点$Q$在直线$y=3x+1$上，联立两个解析式组成方程组求解，即可得到点$Q$的坐标。
(3) 分三种情况讨论：当点$P$分别在$AB$、$BC$、$AC$三条边上时，先设出点$P$的坐标，根据和差点定义推导对应和差点$Q$满足的关系式，结合点$P$的坐标范围确定$Q$所在的区域，最后标注网格内的阴影部分即可。
【解析】
(1) 已知点$P(2,0)$的和差点在函数$y=-x-2$上：
将$x=0$代入$y=-x-2$，得$y=-0-2=-2$，与$Q_1(0,-2)$的纵坐标一致，故$Q_1$是点$P$的和差点；
将$x=-2$代入$y=-x-2$，得$y=2-2=0≠-1$，故$Q_2$不是点$P$的和差点；
将$x=1$代入$y=-x-2$，得$y=-1-2=-3$，与$Q_3(1,-3)$的纵坐标一致，故$Q_3$是点$P$的和差点。
(2) 设点$Q$的坐标为$(x,y)$。
$\because$点$Q$是点$P(-2,1)$的和差点，根据定义得：$-2 + x = 1 - y$，
整理得$y = -x + 3$，即点$Q$在直线$y=-x+3$上，
又$\because$点$Q$在直线$y=3x+1$上，
$\therefore$联立得$\begin{cases}y=-x+3\\y=3x+1\end{cases}$，
将两式相等得：$-x+3=3x+1$，
移项合并得：$4x=2$，解得$x=\frac{1}{2}$，
将$x=\frac{1}{2}$代入$y=3x+1$得$y=3×\frac{1}{2}+1=\frac{5}{2}$，
$\therefore$点$Q$的坐标为$(\frac{1}{2},\frac{5}{2})$。
(3) 设点$P$的和差点$Q$的坐标为$(x,y)$，分三种情况讨论：
①当点$P$在边$AC$上时：
设直线$AC$的解析式为$y=kx+b$，将$A(1,1)$、$C(3,3)$代入得$\begin{cases}k+b=1\\3k+b=3\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=1\\b=0\end{cases}$，即$AC$的解析式为$y=x$（$1≤ x≤3$），
设此时$P(a,a)$（$1≤ a≤3$），根据和差点定义得：$a + x = a - y$，
整理得$y=-x$，即此时和差点$Q$在直线$y=-x$上；
②当点$P$在边$AB$上时：
$AB$上的点纵坐标均为1，设$P(m,1)$（$1≤ m≤3$），
根据定义得：$m + x = 1 - y$，整理得$y=-x + 1 - m$，
$\because1≤ m≤3$，$\therefore-2≤1-m≤0$，
$\therefore$此时和差点$Q$在直线$y=-x$和$y=-x-2$之间（含边界）；
③当点$P$在边$BC$上时：
$BC$上的点横坐标均为3，设$P(3,n)$（$1≤ n≤3$），
根据定义得：$3 + x = n - y$，整理得$y=-x + n - 3$，
$\because1≤ n≤3$，$\therefore-2≤ n-3≤0$，
$\therefore$此时和差点$Q$也在直线$y=-x$和$y=-x-2$之间（含边界）；
综上，所有和差点$Q$组成的区域是直线$y=-x$和$y=-x-2$之间的部分（含两条直线），网格内的阴影区域标注如下：
【答案】
(1) $Q_1,Q_3$
(2) $(\frac{1}{2},\frac{5}{2})$
(3)
【知识点】
新定义问题，一次函数的性质，一次函数交点计算
【点评】
本题以新定义“和差点”为背景，考查一次函数的相关应用，解题的核心是准确理解新定义的规则，将新定义问题转化为熟悉的一次函数解析式求解、联立方程求交点、分类讨论范围等常规问题，能有效提升信息提取和知识迁移的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 根据题干给出的和差点定义，已知点$P(2,0)$的所有和差点都在一次函数$y=-x-2$的图象上，只需将三个点的横坐标代入解析式，验证计算得到的纵坐标是否与点的纵坐标一致，即可判断是否为和差点。
(2) 先根据和差点的定义，结合点$P(-2,1)$的坐标，推导得出它的和差点$Q(x,y)$满足的函数关系式，再结合点$Q$在直线$y=3x+1$上，联立两个解析式组成方程组求解，即可得到点$Q$的坐标。
(3) 分三种情况讨论：当点$P$分别在$AB$、$BC$、$AC$三条边上时，先设出点$P$的坐标，根据和差点定义推导对应和差点$Q$满足的关系式，结合点$P$的坐标范围确定$Q$所在的区域，最后标注网格内的阴影部分即可。
【解析】
(1) 已知点$P(2,0)$的和差点在函数$y=-x-2$上：
将$x=0$代入$y=-x-2$，得$y=-0-2=-2$，与$Q_1(0,-2)$的纵坐标一致，故$Q_1$是点$P$的和差点；
将$x=-2$代入$y=-x-2$，得$y=2-2=0≠-1$，故$Q_2$不是点$P$的和差点；
将$x=1$代入$y=-x-2$，得$y=-1-2=-3$，与$Q_3(1,-3)$的纵坐标一致，故$Q_3$是点$P$的和差点。
(2) 设点$Q$的坐标为$(x,y)$。
$\because$点$Q$是点$P(-2,1)$的和差点，根据定义得：$-2 + x = 1 - y$，
整理得$y = -x + 3$，即点$Q$在直线$y=-x+3$上，
又$\because$点$Q$在直线$y=3x+1$上，
$\therefore$联立得$\begin{cases}y=-x+3\\y=3x+1\end{cases}$，
将两式相等得：$-x+3=3x+1$，
移项合并得：$4x=2$，解得$x=\frac{1}{2}$，
将$x=\frac{1}{2}$代入$y=3x+1$得$y=3×\frac{1}{2}+1=\frac{5}{2}$，
$\therefore$点$Q$的坐标为$(\frac{1}{2},\frac{5}{2})$。
(3) 设点$P$的和差点$Q$的坐标为$(x,y)$，分三种情况讨论：
①当点$P$在边$AC$上时：
设直线$AC$的解析式为$y=kx+b$，将$A(1,1)$、$C(3,3)$代入得$\begin{cases}k+b=1\\3k+b=3\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=1\\b=0\end{cases}$，即$AC$的解析式为$y=x$（$1≤ x≤3$），
设此时$P(a,a)$（$1≤ a≤3$），根据和差点定义得：$a + x = a - y$，
整理得$y=-x$，即此时和差点$Q$在直线$y=-x$上；
②当点$P$在边$AB$上时：
$AB$上的点纵坐标均为1，设$P(m,1)$（$1≤ m≤3$），
根据定义得：$m + x = 1 - y$，整理得$y=-x + 1 - m$，
$\because1≤ m≤3$，$\therefore-2≤1-m≤0$，
$\therefore$此时和差点$Q$在直线$y=-x$和$y=-x-2$之间（含边界）；
③当点$P$在边$BC$上时：
$BC$上的点横坐标均为3，设$P(3,n)$（$1≤ n≤3$），
根据定义得：$3 + x = n - y$，整理得$y=-x + n - 3$，
$\because1≤ n≤3$，$\therefore-2≤ n-3≤0$，
$\therefore$此时和差点$Q$也在直线$y=-x$和$y=-x-2$之间（含边界）；
综上，所有和差点$Q$组成的区域是直线$y=-x$和$y=-x-2$之间的部分（含两条直线），网格内的阴影区域标注如下：
【答案】
(1) $Q_1,Q_3$
(2) $(\frac{1}{2},\frac{5}{2})$
(3)
【知识点】
新定义问题，一次函数的性质，一次函数交点计算
【点评】
本题以新定义“和差点”为背景，考查一次函数的相关应用，解题的核心是准确理解新定义的规则，将新定义问题转化为熟悉的一次函数解析式求解、联立方程求交点、分类讨论范围等常规问题，能有效提升信息提取和知识迁移的能力。
【难度系数】
0.7
