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8. [2026宜春期中]如图,两盏灯笼的位置A,B的坐标分别是$(-3,3),(1,2)$,将点B先向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到点$B'$,则关于点$A,B'$的位置描述正确的是 (
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点O对称
D.关于直线$y=x$对称
B
)A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点O对称
D.关于直线$y=x$对称
答案
B $\because$ 点$B'$是由点$B(1,2)$先向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到的,$\therefore$ 点$B'$的坐标为$(1+2,2+1)$,即$(3,3)$,$\therefore$ 点A与点$B'$关于y轴对称.
解析
【分析】
解题时首先需根据点平移的坐标变化规律求出平移后点$B'$的坐标，再对比点$A$与点$B'$的坐标特征，结合不同对称关系对应的坐标特点判断二者的位置关系即可。第一步，点平移遵循“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”的规则，据此计算$B'$的坐标；第二步，依次回忆各类对称对应的点的坐标特征，和$A$、$B'$的坐标匹配得出结论。
【解析】
已知点$B$的坐标为$(1,2)$，将点$B$向右平移2个单位长度，横坐标加2，变为$1+2=3$；再向上平移1个单位长度，纵坐标加1，变为$2+1=3$，因此得到的点$B'$的坐标为$(3,3)$。
已知点$A$的坐标为$(-3,3)$，点$A$和点$B'$的纵坐标相同，横坐标互为相反数，符合“关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数”的特征，因此点$A$与点$B'$关于y轴对称。故选B。
【答案】
B
【知识点】
坐标平移规律、关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查点的平移坐标变化规则以及对称点的坐标特征，熟练掌握对应的坐标变化规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先需根据点平移的坐标变化规律求出平移后点$B'$的坐标，再对比点$A$与点$B'$的坐标特征，结合不同对称关系对应的坐标特点判断二者的位置关系即可。第一步，点平移遵循“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”的规则，据此计算$B'$的坐标；第二步，依次回忆各类对称对应的点的坐标特征，和$A$、$B'$的坐标匹配得出结论。
【解析】
已知点$B$的坐标为$(1,2)$，将点$B$向右平移2个单位长度，横坐标加2，变为$1+2=3$；再向上平移1个单位长度，纵坐标加1，变为$2+1=3$，因此得到的点$B'$的坐标为$(3,3)$。
已知点$A$的坐标为$(-3,3)$，点$A$和点$B'$的纵坐标相同，横坐标互为相反数，符合“关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数”的特征，因此点$A$与点$B'$关于y轴对称。故选B。
【答案】
B
【知识点】
坐标平移规律、关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查点的平移坐标变化规则以及对称点的坐标特征，熟练掌握对应的坐标变化规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9. [2025攀枝花中考]已知直角坐标系$xOy$,点$A$在该坐标系中的坐标为$(-1,2)$,现将直角坐标系$xOy$绕点$O$按逆时针方向旋转$90°$到$x'Oy'$的位置,则点$A$在新坐标系$x'Oy'$中的坐标为 (
A.$(-1,2)$
B.$(2,1)$
C.$(2,-1)$
D.$(-2,-1)$
B
)A.$(-1,2)$
B.$(2,1)$
C.$(2,-1)$
D.$(-2,-1)$
答案
B $\because$ 将直角坐标系$xOy$绕点O按逆时针方向旋转$90°$到$x'Oy'$的位置,$\therefore$ 此时点A在新坐标系$x'Oy'$中的第一象限,且原来的横纵坐标互换,均为正数,$\therefore$ 点A在新坐标系$x'Oy'$中的坐标为$(2,1)$.
解析
【分析】
解决这道题首先要明确旋转对象是直角坐标系，而非点A。我们可以通过坐标轴的对应关系来思考：坐标系绕原点逆时针旋转90°后，新的x'轴正方向对应原坐标系y轴正方向，新的y'轴正方向对应原坐标系x轴负方向。接下来结合点A的原坐标，判断它在新坐标系中横、纵坐标的数值和符号即可，也可以通过手绘坐标系的方式直观推导，避免混淆旋转方向。
【解析】
∵ 将直角坐标系$xOy$绕点$O$按逆时针方向旋转$90°$到$x'Oy'$的位置，
∴ 新坐标系的$x'$轴正方向与原坐标系$y$轴正方向一致，$y'$轴正方向与原坐标系$x$轴负方向一致。
点$A$原坐标为$(-1,2)$，说明点$A$到原$x$轴的距离为2，到原$y$轴的距离为1。
在新坐标系$x'Oy'$中，点$A$位于第一象限：横坐标为点到$y'$轴的距离，即原来到原$x$轴的距离2，符号为正；纵坐标为点到$x'$轴的距离，即原来到原$y$轴的距离1，符号为正。
因此点$A$在新坐标系中的坐标为$(2,1)$。
【答案】
B
【知识点】
坐标与图形旋转，旋转变换的性质，平面直角坐标系
【点评】
这道题是坐标与旋转结合的常规考题，解题核心是区分坐标系旋转和点旋转的差异，二者的相对旋转方向相反，借助画图的方式能更直观判断坐标，避免因记错旋转方向出错。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确旋转对象是直角坐标系，而非点A。我们可以通过坐标轴的对应关系来思考：坐标系绕原点逆时针旋转90°后，新的x'轴正方向对应原坐标系y轴正方向，新的y'轴正方向对应原坐标系x轴负方向。接下来结合点A的原坐标，判断它在新坐标系中横、纵坐标的数值和符号即可，也可以通过手绘坐标系的方式直观推导，避免混淆旋转方向。
【解析】
∵ 将直角坐标系$xOy$绕点$O$按逆时针方向旋转$90°$到$x'Oy'$的位置，
∴ 新坐标系的$x'$轴正方向与原坐标系$y$轴正方向一致，$y'$轴正方向与原坐标系$x$轴负方向一致。
点$A$原坐标为$(-1,2)$，说明点$A$到原$x$轴的距离为2，到原$y$轴的距离为1。
在新坐标系$x'Oy'$中，点$A$位于第一象限：横坐标为点到$y'$轴的距离，即原来到原$x$轴的距离2，符号为正；纵坐标为点到$x'$轴的距离，即原来到原$y$轴的距离1，符号为正。
因此点$A$在新坐标系中的坐标为$(2,1)$。
【答案】
B
【知识点】
坐标与图形旋转，旋转变换的性质，平面直角坐标系
【点评】
这道题是坐标与旋转结合的常规考题，解题核心是区分坐标系旋转和点旋转的差异，二者的相对旋转方向相反，借助画图的方式能更直观判断坐标，避免因记错旋转方向出错。
【难度系数】
0.7
10. [2025宿迁中考] 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为$(3,2)$,将线段OA绕着点O逆时针旋转$90°$得线段$OA'$,则点$A'$的坐标为 (
A.$(-3,2)$
B.$(-2,3)$
C.$(3,-2)$
D.$(2,-3)$
B
)A.$(-3,2)$
B.$(-2,3)$
C.$(3,-2)$
D.$(2,-3)$
答案
B 如图,过点A作$AB ⊥ x$轴于点B,过点$A'$作$A'C ⊥ y$轴于点C,则$∠ A'CO = ∠ ABO = 90°$. 由旋转的性质可知,$∠ AOA' = 90°$,$AO = A'O$,$\therefore ∠ COA + ∠ A'OC = 90°$. $\because ∠ AOB + ∠ COA = 90°$,$\therefore ∠ AOB = ∠ A'OC$,$\therefore △ A'CO ≌ △ ABO$,$\therefore A'C = AB$,$OC = OB$. $\because$ 点A的坐标为$(3,2)$,$\therefore AB=2$,$OB=3$,$\therefore A'C = AB=2$,$OC=OB=3$,$\therefore$ 点$A'$的坐标为$(-2,3)$.
解析
【分析】
本题是坐标平面内线段绕原点逆时针旋转90°后求对应点坐标的问题，解题思路如下：第一步，结合旋转的性质可得旋转后对应线段OA=OA'，且∠AOA'=90°；第二步，通过作辅助线构造直角三角形，利用同角的余角相等得到一组等角，结合直角相等、对应边相等证明两个三角形全等；第三步，根据全等三角形对应边相等得到点A'横纵坐标的绝对值，再结合A'所在象限确定坐标符号，即可求出结果。
【解析】
如图，过点A作$AB ⊥ x$轴于点B，过点$A'$作$A'C ⊥ y$轴于点C，则$∠ A'CO = ∠ ABO = 90°$。
由旋转的性质可知：$∠ AOA' = 90°$，$AO = A'O$，
$\therefore ∠ COA + ∠ A'OC = 90°$，
又$\because ∠ AOB + ∠ COA = 90°$，
$\therefore ∠ AOB = ∠ A'OC$。
在$△ A'CO$和$△ ABO$中：
$\begin{cases}∠ A'CO = ∠ ABO \\∠ A'OC = ∠ AOB \\A'O = AO\end{cases}$
$\therefore △ A'CO ≌ △ ABO \mathrm{（AAS）}$，
$\therefore A'C = AB$，$OC = OB$。
$\because$点A的坐标为$(3,2)$，
$\therefore AB=2$，$OB=3$，
$\therefore A'C = 2$，$OC=3$。
$\because$点$A'$在第二象限，横坐标为负、纵坐标为正，
$\therefore$点$A'$的坐标为$(-2,3)$。
【答案】
B
【知识点】
1.旋转的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.坐标与图形变化
【点评】
本题是坐标与几何变换的基础综合题，核心考查旋转性质的运用和构造全等三角形求解坐标的能力，解题时要注意点所在象限对坐标符号的影响，避免出现符号错误或横纵坐标颠倒的问题。
【难度系数】
0.7
本题是坐标平面内线段绕原点逆时针旋转90°后求对应点坐标的问题，解题思路如下：第一步，结合旋转的性质可得旋转后对应线段OA=OA'，且∠AOA'=90°；第二步，通过作辅助线构造直角三角形，利用同角的余角相等得到一组等角，结合直角相等、对应边相等证明两个三角形全等；第三步，根据全等三角形对应边相等得到点A'横纵坐标的绝对值，再结合A'所在象限确定坐标符号，即可求出结果。
【解析】
如图，过点A作$AB ⊥ x$轴于点B，过点$A'$作$A'C ⊥ y$轴于点C，则$∠ A'CO = ∠ ABO = 90°$。
由旋转的性质可知：$∠ AOA' = 90°$，$AO = A'O$，
$\therefore ∠ COA + ∠ A'OC = 90°$，
又$\because ∠ AOB + ∠ COA = 90°$，
$\therefore ∠ AOB = ∠ A'OC$。
在$△ A'CO$和$△ ABO$中：
$\begin{cases}∠ A'CO = ∠ ABO \\∠ A'OC = ∠ AOB \\A'O = AO\end{cases}$
$\therefore △ A'CO ≌ △ ABO \mathrm{（AAS）}$，
$\therefore A'C = AB$，$OC = OB$。
$\because$点A的坐标为$(3,2)$，
$\therefore AB=2$，$OB=3$，
$\therefore A'C = 2$，$OC=3$。
$\because$点$A'$在第二象限，横坐标为负、纵坐标为正，
$\therefore$点$A'$的坐标为$(-2,3)$。
【答案】
B
【知识点】
1.旋转的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.坐标与图形变化
【点评】
本题是坐标与几何变换的基础综合题，核心考查旋转性质的运用和构造全等三角形求解坐标的能力，解题时要注意点所在象限对坐标符号的影响，避免出现符号错误或横纵坐标颠倒的问题。
【难度系数】
0.7
11. [2025镇江丹徒区期末] 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,2)，点B在第一象限内，AO=AB，∠OAB=90°，将△AOB关于y轴对称得到△A₁OB₁，将△A₁OB₁关于x轴对称得到△A₂OB₂，将△A₂OB₂关于y轴对称得到△A₃OB₃，将△A₃OB₃关于x轴对称得到△A₄OB₄……则按照这样的顺序继续对称下去，第2025次对称后，点B₂₀₂₅的坐标为
(-2,2)
。答案
(-2,2) 由题意,得点B的坐标为$(2,2)$,$B_1(-2,2)$,$B_2(-2,-2)$,$B_3(2,-2)$,$B_4(2,2)$,$B_5(-2,2)$.$\because 2025 ÷ 4 = 506······1$,$\therefore$ 点$B_{2025}$的坐标与点$B_1$的坐标相同,$\therefore$ 点$B_{2025}$的坐标为$(-2,2)$.
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先根据已知点A的坐标、AO=AB及∠OAB=90°的条件，求出初始点B的坐标；第二步，按照题目给出的对称顺序，依次计算前几次对称后点B对应的坐标，总结出坐标变化的循环周期；第三步，用对称总次数2025除以周期，根据余数判断B₂₀₂₅的坐标与第几次对称后的坐标一致，最终得出结果。
【解析】
1. 求初始点B的坐标：
已知A(0,2)，则AO的长度为2，因为∠OAB=90°，AO=AB，所以AB⊥AO，AB平行于x轴，又点B在第一象限，因此B的横坐标为0+2=2，纵坐标与A相同为2，即B(2,2)。
2. 计算前几次对称后的坐标，找周期：
第1次关于y轴对称，根据“关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数”，得B₁(-2,2)；
第2次关于x轴对称，根据“关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数”，得B₂(-2,-2)；
第3次关于y轴对称，得B₃(2,-2)；
第4次关于x轴对称，得B₄(2,2)，与初始点B坐标相同，可知坐标变化的周期为4。
3. 确定B₂₀₂₅的坐标：
计算2025÷4=506……1，余数为1，说明B₂₀₂₅的坐标与第1次对称后的B₁坐标相同，即为(-2,2)。
【答案】
(-2,2)
【知识点】
轴对称的坐标变化，周期规律探究，平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题将坐标的轴对称变换与规律探究结合，需要学生熟练掌握不同轴对称下的坐标变化规则，同时具备总结周期规律的能力，能够有效考察学生对坐标变换知识的掌握程度和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，先根据已知点A的坐标、AO=AB及∠OAB=90°的条件，求出初始点B的坐标；第二步，按照题目给出的对称顺序，依次计算前几次对称后点B对应的坐标，总结出坐标变化的循环周期；第三步，用对称总次数2025除以周期，根据余数判断B₂₀₂₅的坐标与第几次对称后的坐标一致，最终得出结果。
【解析】
1. 求初始点B的坐标：
已知A(0,2)，则AO的长度为2，因为∠OAB=90°，AO=AB，所以AB⊥AO，AB平行于x轴，又点B在第一象限，因此B的横坐标为0+2=2，纵坐标与A相同为2，即B(2,2)。
2. 计算前几次对称后的坐标，找周期：
第1次关于y轴对称，根据“关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数”，得B₁(-2,2)；
第2次关于x轴对称，根据“关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数”，得B₂(-2,-2)；
第3次关于y轴对称，得B₃(2,-2)；
第4次关于x轴对称，得B₄(2,2)，与初始点B坐标相同，可知坐标变化的周期为4。
3. 确定B₂₀₂₅的坐标：
计算2025÷4=506……1，余数为1，说明B₂₀₂₅的坐标与第1次对称后的B₁坐标相同，即为(-2,2)。
【答案】
(-2,2)
【知识点】
轴对称的坐标变化，周期规律探究，平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题将坐标的轴对称变换与规律探究结合，需要学生熟练掌握不同轴对称下的坐标变化规则，同时具备总结周期规律的能力，能够有效考察学生对坐标变换知识的掌握程度和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
12. 应用意识 [2026北京三十五中期中] 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$l$经过点$M(4,0)$,且平行于$y$轴.给出如下定义:点$P(x,y)$先关于$y$轴对称得点$P_1$,再将点$P_1$关于直线$l$对称得点$P'$,则称点$P'$是点$P$关于$y$轴和直线$l$的二次反射点.
(1)已知点$A(-5,0)$,$B(\frac{1}{2},1)$,$C(3,-1)$,则它们关于$y$轴和直线$l$的二次反射点$A'$,$B'$,$C'$的坐标分别是
(2)若点$D$的坐标是$(a,0)$,点$D$关于$y$轴和直线$l$的二次反射点是点$D'$,求线段$DD'$的长;
(3)已知点$P(a,1)$,$Q(a+1,1)$,$E(5-a,0)$,$F(7-a,0)$,以线段$EF$为边在$x$轴上方作正方形$EFGH$,若点$P$,$Q$关于$y$轴和直线$l$的二次反射点分别为点$P'$,$Q'$,且线段$P'Q'$与正方形$EFGH$的边有公共点,直接写出$a$的取值范围.
(1)已知点$A(-5,0)$,$B(\frac{1}{2},1)$,$C(3,-1)$,则它们关于$y$轴和直线$l$的二次反射点$A'$,$B'$,$C'$的坐标分别是
(3,0)
,$(\frac{17}{2},1)$
,(11,-1)
;(2)若点$D$的坐标是$(a,0)$,点$D$关于$y$轴和直线$l$的二次反射点是点$D'$,求线段$DD'$的长;
(3)已知点$P(a,1)$,$Q(a+1,1)$,$E(5-a,0)$,$F(7-a,0)$,以线段$EF$为边在$x$轴上方作正方形$EFGH$,若点$P$,$Q$关于$y$轴和直线$l$的二次反射点分别为点$P'$,$Q'$,且线段$P'Q'$与正方形$EFGH$的边有公共点,直接写出$a$的取值范围.
答案
解:(1)$(3,0)$ $(\frac{17}{2},1)$ $(11,-1)$
$\because A(-5,0)$,$\therefore$ 点A关于y轴对称的点的坐标为$A_1(5,0)$.
$\because$ 点$A_1(5,0)$关于直线l对称的点$A'$的坐标为$(3,0)$,
$\therefore$ 点$A(-5,0)$关于y轴和直线l的二次反射点$A'$的坐标为$(3,0)$. $\because B(\frac{1}{2},1)$,$\therefore$ 点B关于y轴对称的点$B_1$的坐标为$(-\frac{1}{2},1)$. $\because$ 点$B_1(-\frac{1}{2},1)$关于直线l对称的点$B'$的坐标为$(\frac{17}{2},1)$,$\therefore$ 点$B(\frac{1}{2},1)$关于y轴和直线l的二次反射点$B'$的坐标为$(\frac{17}{2},1)$. $\because C(3,-1)$,$\therefore$ 点C关于y轴对称的点$C_1$的坐标为$(-3,-1)$. $\because$ 点$C_1(-3,-1)$关于直线l对称的点$C'$的坐标为$(11,-1)$,$\therefore$ 点$C(3,-1)$关于y轴和直线l的二次反射点$C'$的坐标为$(11,-1)$.
(2)$\because$ 点D的坐标是$(a,0)$,
$\therefore$ 点D关于y轴的对称点$D_1$的坐标为$(-a,0)$,
$\because$ 点$D_1(-a,0)$关于直线l对称的点$D'$的坐标为$(8+a,0)$,
$\therefore DD' = 8 + a - a = 8$.
(3)$a$的取值范围为$-2 ≤ a ≤ -\frac{3}{2}$或$-1 ≤ a ≤ -\frac{1}{2}$.
$\because P(a,1)$,
$\therefore$ 点$P(a,1)$关于y轴和直线l的二次反射点为点$P'(8+a,1)$.
$\because Q(a+1,1)$,
$\therefore$ 点$Q(a+1,1)$关于y轴和直线l的二次反射点为点$Q'(9+a,1)$.
如图,当线段$P'Q'$与线段EH有公共点时,
$\begin{cases} 8+a ≤ 5 - a, \\ 9+a ≥ 5 - a, \end{cases}$ $\therefore -2 ≤ a ≤ -\frac{3}{2}$.
当线段$P'Q'$与线段FG有公共点时,$\begin{cases} 8+a ≤ 7 - a, \\ 9+a ≥ 7 - a, \end{cases}$ $\therefore -1 ≤ a ≤ -\frac{1}{2}$.
综上,$a$的取值范围为$-2 ≤ a ≤ -\frac{3}{2}$或$-1 ≤ a ≤ -\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
本题是新定义类的坐标与轴对称综合题，解题思路如下：①首先明确“二次反射点”的定义：先作点关于y轴的对称点（坐标规律：横坐标变为相反数，纵坐标不变），再作该对称点关于直线$l:x=4$的对称点（坐标规律：纵坐标不变，两点横坐标的和为$2×4=8$）；②第(1)问直接将三个点的坐标按上述两步规则计算，即可得到对应二次反射点坐标；③第(2)问先按规则写出$D'$的坐标，再结合两点都在x轴上，横坐标差的绝对值就是线段长度，计算即可；④第(3)问先求出$P'$、$Q'$的坐标，可知线段$P'Q'$是纵坐标为1的水平线段，再结合正方形EFGH各边的坐标范围，分$P'Q'$与EH相交、与FG相交两种情况列不等式组求解，最后合并a的取值范围即可。
【解析】
(1) 计算各点的二次反射点：
①点$A(-5,0)$关于y轴对称的点为$A_1(5,0)$，$A_1$关于直线$l:x=4$对称的点$A'$的横坐标为$2×4-5=3$，纵坐标不变，故$A'(3,0)$；
②点$B(\frac{1}{2},1)$关于y轴对称的点为$B_1(-\frac{1}{2},1)$，$B_1$关于直线$l:x=4$对称的点$B'$的横坐标为$2×4-(-\frac{1}{2})=\frac{17}{2}$，纵坐标不变，故$B'(\frac{17}{2},1)$；
③点$C(3,-1)$关于y轴对称的点为$C_1(-3,-1)$，$C_1$关于直线$l:x=4$对称的点$C'$的横坐标为$2×4-(-3)=11$，纵坐标不变，故$C'(11,-1)$。
(2) 点$D(a,0)$关于y轴对称的点为$D_1(-a,0)$，$D_1$关于直线$l:x=4$对称的点$D'$的横坐标为$2×4-(-a)=8+a$，纵坐标不变，即$D'(8+a,0)$。
线段$DD'$的长度为$|(8+a)-a|=8$。
(3) 先求$P'$、$Q'$的坐标：
点$P(a,1)$的二次反射点$P'$坐标为$(8+a,1)$，点$Q(a+1,1)$的二次反射点$Q'$坐标为$(9+a,1)$，线段$P'Q'$是纵坐标为1的水平线段，横坐标范围为$[8+a,9+a]$。
正方形EFGH中，$E(5-a,0)$、$F(7-a,0)$，则EH为$x=5-a$（y∈[0,2]）的线段，FG为$x=7-a$（y∈[0,2]）的线段。
分两种情况讨论：
①当$P'Q'$与EH有公共点时：$\begin{cases} 8+a ≤ 5 - a \\ 9+a ≥ 5 - a \end{cases}$，解得$-2 ≤ a ≤ -\frac{3}{2}$；
②当$P'Q'$与FG有公共点时：$\begin{cases} 8+a ≤ 7 - a \\ 9+a ≥ 7 - a \end{cases}$，解得$-1 ≤ a ≤ -\frac{1}{2}$。
综上可得a的取值范围。
【答案】
(1) $(3,0)$；$(\frac{17}{2},1)$；$(11,-1)$
(2) $8$
(3) $-2 ≤ a ≤ -\frac{3}{2}$或$-1 ≤ a ≤ -\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 轴对称的坐标特征
2. 两点间距离计算
3. 不等式组应用
【点评】
本题以新定义为载体，考查坐标与轴对称的综合应用，核心是准确理解新定义的运算规则，熟练掌握特殊对称的坐标变化规律，第三问需要结合线段交点的位置关系分类讨论，能有效考查分类讨论思想和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5
本题是新定义类的坐标与轴对称综合题，解题思路如下：①首先明确“二次反射点”的定义：先作点关于y轴的对称点（坐标规律：横坐标变为相反数，纵坐标不变），再作该对称点关于直线$l:x=4$的对称点（坐标规律：纵坐标不变，两点横坐标的和为$2×4=8$）；②第(1)问直接将三个点的坐标按上述两步规则计算，即可得到对应二次反射点坐标；③第(2)问先按规则写出$D'$的坐标，再结合两点都在x轴上，横坐标差的绝对值就是线段长度，计算即可；④第(3)问先求出$P'$、$Q'$的坐标，可知线段$P'Q'$是纵坐标为1的水平线段，再结合正方形EFGH各边的坐标范围，分$P'Q'$与EH相交、与FG相交两种情况列不等式组求解，最后合并a的取值范围即可。
【解析】
(1) 计算各点的二次反射点：
①点$A(-5,0)$关于y轴对称的点为$A_1(5,0)$，$A_1$关于直线$l:x=4$对称的点$A'$的横坐标为$2×4-5=3$，纵坐标不变，故$A'(3,0)$；
②点$B(\frac{1}{2},1)$关于y轴对称的点为$B_1(-\frac{1}{2},1)$，$B_1$关于直线$l:x=4$对称的点$B'$的横坐标为$2×4-(-\frac{1}{2})=\frac{17}{2}$，纵坐标不变，故$B'(\frac{17}{2},1)$；
③点$C(3,-1)$关于y轴对称的点为$C_1(-3,-1)$，$C_1$关于直线$l:x=4$对称的点$C'$的横坐标为$2×4-(-3)=11$，纵坐标不变，故$C'(11,-1)$。
(2) 点$D(a,0)$关于y轴对称的点为$D_1(-a,0)$，$D_1$关于直线$l:x=4$对称的点$D'$的横坐标为$2×4-(-a)=8+a$，纵坐标不变，即$D'(8+a,0)$。
线段$DD'$的长度为$|(8+a)-a|=8$。
(3) 先求$P'$、$Q'$的坐标：
点$P(a,1)$的二次反射点$P'$坐标为$(8+a,1)$，点$Q(a+1,1)$的二次反射点$Q'$坐标为$(9+a,1)$，线段$P'Q'$是纵坐标为1的水平线段，横坐标范围为$[8+a,9+a]$。
正方形EFGH中，$E(5-a,0)$、$F(7-a,0)$，则EH为$x=5-a$（y∈[0,2]）的线段，FG为$x=7-a$（y∈[0,2]）的线段。
分两种情况讨论：
①当$P'Q'$与EH有公共点时：$\begin{cases} 8+a ≤ 5 - a \\ 9+a ≥ 5 - a \end{cases}$，解得$-2 ≤ a ≤ -\frac{3}{2}$；
②当$P'Q'$与FG有公共点时：$\begin{cases} 8+a ≤ 7 - a \\ 9+a ≥ 7 - a \end{cases}$，解得$-1 ≤ a ≤ -\frac{1}{2}$。
综上可得a的取值范围。
【答案】
(1) $(3,0)$；$(\frac{17}{2},1)$；$(11,-1)$
(2) $8$
(3) $-2 ≤ a ≤ -\frac{3}{2}$或$-1 ≤ a ≤ -\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 轴对称的坐标特征
2. 两点间距离计算
3. 不等式组应用
【点评】
本题以新定义为载体，考查坐标与轴对称的综合应用，核心是准确理解新定义的运算规则，熟练掌握特殊对称的坐标变化规律，第三问需要结合线段交点的位置关系分类讨论，能有效考查分类讨论思想和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5
