登录
1. [2025德阳中考]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,将$△ ABC$沿$CB$方向向右平移至$△ EGF$处,使$EF$恰好过边$AB$的中点$D$,连接$CD$.若$CD=1$,则$GE=$ (
A.3
B.2
C.1
D.$\dfrac{1}{2}$
B
)A.3
B.2
C.1
D.$\dfrac{1}{2}$
答案
1 B 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB的中点,
∴ AB = 2CD = 2. 由平移的性质,得 GE = AB = 2.
∴ AB = 2CD = 2. 由平移的性质,得 GE = AB = 2.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：①$Rt△ABC$中$∠ ACB=90°$，D是斜边AB的中点；②$△ ABC$平移得到$△ EGF$，GE是AB的对应边。首先结合直角三角形斜边中点的特征，回忆直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可先求出AB的长度；再根据平移前后对应边相等的性质，即可得到GE的长度。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠ ACB=90°$，D是AB边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$AB=2CD$
已知$CD=1$，代入得$AB=2×1=2$。
∵$△ ABC$沿$CB$方向向右平移至$△ EGF$处，根据平移的性质，平移前后图形的对应边相等，
∴$GE=AB=2$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质、平移的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是通过直角三角形的性质求出已知对应边的长度，再结合平移的性质得到所求线段长度，熟练掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：①$Rt△ABC$中$∠ ACB=90°$，D是斜边AB的中点；②$△ ABC$平移得到$△ EGF$，GE是AB的对应边。首先结合直角三角形斜边中点的特征，回忆直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可先求出AB的长度；再根据平移前后对应边相等的性质，即可得到GE的长度。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠ ACB=90°$，D是AB边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$AB=2CD$
已知$CD=1$，代入得$AB=2×1=2$。
∵$△ ABC$沿$CB$方向向右平移至$△ EGF$处，根据平移的性质，平移前后图形的对应边相等，
∴$GE=AB=2$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质、平移的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是通过直角三角形的性质求出已知对应边的长度，再结合平移的性质得到所求线段长度，熟练掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
2. 教材 P49 例 5 变式 [2025 陕西中考] 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB = 90°, ∠ A = 20°, CD$为$AB$边上的中线,$DE ⊥ AC$,则图中与$∠ A$互余的角共有(
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
)A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
2 C
∵ ∠ACB = 90°,CD 为 AB 边上的中线,
∴ CD = $\dfrac{1}{2}AB$,
∴ CD = AD = BD,
∴ ∠B = ∠BCD.
∵ AD = CD, DE ⊥ AC,
∴ ∠ADE = ∠CDE.
∵ ∠A + ∠ADE = 90°,∠A + ∠B = 90°,
∴ 题图中与∠A互余的角共有4个.
∵ ∠ACB = 90°,CD 为 AB 边上的中线,
∴ CD = $\dfrac{1}{2}AB$,
∴ CD = AD = BD,
∴ ∠B = ∠BCD.
∵ AD = CD, DE ⊥ AC,
∴ ∠ADE = ∠CDE.
∵ ∠A + ∠ADE = 90°,∠A + ∠B = 90°,
∴ 题图中与∠A互余的角共有4个.
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确互余的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余。接下来结合已知条件逐步推导：1. 先从△ABC的直角出发，找到第一个与∠A互余的角；2. 利用直角三角形斜边中线的性质得到等腰三角形，结合等腰三角形的性质推导第二个互余的角；3. 结合DE⊥AC的垂直条件，找到第三个互余的角，再利用等腰三角形三线合一的性质推导第四个互余的角。过程中注意不要遗漏符合条件的角。
【解析】
解：① 已知∠ACB=90°，在Rt△ABC中，两锐角互余，因此∠A + ∠B = 90°，∠B与∠A互余；
②
∵ CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CD = \dfrac{1}{2}AB = AD = BD$，
∴ ∠A = ∠ACD，又
∵ ∠ACD + ∠BCD = ∠ACB = 90°，
∴ ∠A + ∠BCD = 90°，∠BCD与∠A互余；
③
∵ DE⊥AC，
∴ ∠AED=90°，在Rt△ADE中，∠A + ∠ADE = 90°，∠ADE与∠A互余；
④ 又
∵ AD=CD，DE⊥AC，根据等腰三角形三线合一的性质，DE平分∠ADC，即∠ADE=∠CDE，
∴ ∠A + ∠CDE = 90°，∠CDE与∠A互余。
综上，与∠A互余的角有∠B、∠BCD、∠ADE、∠CDE，共4个。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余，直角三角形斜边中线性质，等腰三角形三线合一
【点评】
本题将直角三角形和等腰三角形的性质结合考查，解题时需结合图形按顺序梳理所有可能的角，避免因漏看图形中的隐含条件导致漏解，熟练掌握相关几何性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先明确互余的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余。接下来结合已知条件逐步推导：1. 先从△ABC的直角出发，找到第一个与∠A互余的角；2. 利用直角三角形斜边中线的性质得到等腰三角形，结合等腰三角形的性质推导第二个互余的角；3. 结合DE⊥AC的垂直条件，找到第三个互余的角，再利用等腰三角形三线合一的性质推导第四个互余的角。过程中注意不要遗漏符合条件的角。
【解析】
解：① 已知∠ACB=90°，在Rt△ABC中，两锐角互余，因此∠A + ∠B = 90°，∠B与∠A互余；
②
∵ CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CD = \dfrac{1}{2}AB = AD = BD$，
∴ ∠A = ∠ACD，又
∵ ∠ACD + ∠BCD = ∠ACB = 90°，
∴ ∠A + ∠BCD = 90°，∠BCD与∠A互余；
③
∵ DE⊥AC，
∴ ∠AED=90°，在Rt△ADE中，∠A + ∠ADE = 90°，∠ADE与∠A互余；
④ 又
∵ AD=CD，DE⊥AC，根据等腰三角形三线合一的性质，DE平分∠ADC，即∠ADE=∠CDE，
∴ ∠A + ∠CDE = 90°，∠CDE与∠A互余。
综上，与∠A互余的角有∠B、∠BCD、∠ADE、∠CDE，共4个。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余，直角三角形斜边中线性质，等腰三角形三线合一
【点评】
本题将直角三角形和等腰三角形的性质结合考查，解题时需结合图形按顺序梳理所有可能的角，避免因漏看图形中的隐含条件导致漏解，熟练掌握相关几何性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3. [2026扬州广陵区期中]若直角三角形斜边上的高和中线长分别是6 cm,8 cm,则它的面积是
48
$\mathrm{cm}^2$.答案
3 48
∵ 直角三角形斜边上的中线长是8 cm,
∴ 它的斜边的长是2×8=16(cm),
∴ 它的面积是$\dfrac{1}{2} ×16×6=48(\mathrm{cm}^2)$.
∵ 直角三角形斜边上的中线长是8 cm,
∴ 它的斜边的长是2×8=16(cm),
∴ 它的面积是$\dfrac{1}{2} ×16×6=48(\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】
要求直角三角形的面积，已知斜边上的高，只需要先求出斜边的长度即可。根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合题目给出的斜边上的中线长，可先计算出斜边长度，再以斜边为底、斜边上的高为高，代入三角形面积公式就能算出结果。
【解析】
∵ 直角三角形斜边上的中线长是8 cm，
∴ 该直角三角形的斜边长为 $2×8=16(\mathrm{cm})$，
又已知斜边上的高为6 cm，
∴ 它的面积是 $\dfrac{1}{2} ×16×6=48(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
48
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，先求出斜边长度，再代入面积公式计算即可，相关性质要熟练记忆、灵活运用。
【难度系数】
0.8
要求直角三角形的面积，已知斜边上的高，只需要先求出斜边的长度即可。根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合题目给出的斜边上的中线长，可先计算出斜边长度，再以斜边为底、斜边上的高为高，代入三角形面积公式就能算出结果。
【解析】
∵ 直角三角形斜边上的中线长是8 cm，
∴ 该直角三角形的斜边长为 $2×8=16(\mathrm{cm})$，
又已知斜边上的高为6 cm，
∴ 它的面积是 $\dfrac{1}{2} ×16×6=48(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
48
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，先求出斜边长度，再代入面积公式计算即可，相关性质要熟练记忆、灵活运用。
【难度系数】
0.8
4. 教材P49练习T2变式 [2026无锡梁溪区期中] 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$∠ B = 30°$，$AC = 3$，$CD$是$AB$边上的中线，则$CD$的长为
3
。答案
4 3
∵ ∠ACB=90°,∠B=30°,
∴ AC = $\dfrac{1}{2}AB$.
∵ CD 是 AB边上的中线,
∴ CD = $\dfrac{1}{2}AB$,
∴ CD = AC = 3.
∵ ∠ACB=90°,∠B=30°,
∴ AC = $\dfrac{1}{2}AB$.
∵ CD 是 AB边上的中线,
∴ CD = $\dfrac{1}{2}AB$,
∴ CD = AC = 3.
解析
【分析】
解题时首先观察题目给出的直角三角形及30°角的条件，先回忆含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，由此可得到AC和斜边AB的数量关系；再结合CD是AB边上的中线的条件，回忆直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，由此可得CD和AB的数量关系，最后通过公共中间量AB推导CD和AC的等量关系，即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$∠B=30°$，
∴ 30°角$∠B$所对的直角边AC等于斜边AB的一半，即$AC = \dfrac{1}{2}AB$。
∵ CD是AB边上的中线，根据直角三角形斜边中线的性质，
∴ $CD = \dfrac{1}{2}AB$，
∴ $CD = AC = 3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形的性质
2. 直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题型，解题的关键是找到两个性质对应的公共中间量斜边AB，从而建立待求线段CD和已知线段AC的等量关系，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题目给出的直角三角形及30°角的条件，先回忆含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，由此可得到AC和斜边AB的数量关系；再结合CD是AB边上的中线的条件，回忆直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，由此可得CD和AB的数量关系，最后通过公共中间量AB推导CD和AC的等量关系，即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$∠B=30°$，
∴ 30°角$∠B$所对的直角边AC等于斜边AB的一半，即$AC = \dfrac{1}{2}AB$。
∵ CD是AB边上的中线，根据直角三角形斜边中线的性质，
∴ $CD = \dfrac{1}{2}AB$，
∴ $CD = AC = 3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形的性质
2. 直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题型，解题的关键是找到两个性质对应的公共中间量斜边AB，从而建立待求线段CD和已知线段AC的等量关系，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在$△ ABC$中,AD是边BC上的高,E,F分别是AB,AC的中点.若$AB=10$,$AC=8$,则四边形AEDF的周长为
18
.答案
5 18
∵ AD 是边 BC 上的高,
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°.
又
∵ E,F 分别是 AB,AC 的中点,
∴ ED = $\dfrac{1}{2}AB = AE$, DF = $\dfrac{1}{2}AC = AF$.
∵ AB = 10,AC = 8,
∴ AE + ED = 10,AF + DF = 8,
∴ 四边形 AEDF 的周长为 10 + 8 = 18.
∵ AD 是边 BC 上的高,
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°.
又
∵ E,F 分别是 AB,AC 的中点,
∴ ED = $\dfrac{1}{2}AB = AE$, DF = $\dfrac{1}{2}AC = AF$.
∵ AB = 10,AC = 8,
∴ AE + ED = 10,AF + DF = 8,
∴ 四边形 AEDF 的周长为 10 + 8 = 18.
解析
【分析】
首先梳理已知条件：AD是BC边上的高，可得△ABD和△ACD都是直角三角形；E、F分别是AB、AC的中点，可联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，由此推出ED=AE=½AB，DF=AF=½AC，因此四边形AEDF的周长可转化为AB与AC的长度和，代入已知数值计算即可。
【解析】
∵ AD是边BC上的高，
∴ ∠ADB=∠ADC=90°，即△ABD、△ACD均为直角三角形。
∵ E是AB的中点，在Rt△ABD中，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$ED=\frac{1}{2}AB=AE$，
∵ F是AC的中点，在Rt△ACD中，同理得$DF=\frac{1}{2}AC=AF$。
已知$AB=10$，$AC=8$，
∴ $AE+ED=AB=10$，$AF+DF=AC=8$，
∴ 四边形AEDF的周长$=AE+ED+DF+AF=10+8=18$。
【答案】
18
【知识点】
1.直角三角形斜边中线性质
2.四边形周长计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查直角三角形斜边中线性质的灵活运用，解题关键是借助性质将四边形的未知边长转化为已知的三角形边长，简化计算过程。
【难度系数】
0.8
首先梳理已知条件：AD是BC边上的高，可得△ABD和△ACD都是直角三角形；E、F分别是AB、AC的中点，可联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，由此推出ED=AE=½AB，DF=AF=½AC，因此四边形AEDF的周长可转化为AB与AC的长度和，代入已知数值计算即可。
【解析】
∵ AD是边BC上的高，
∴ ∠ADB=∠ADC=90°，即△ABD、△ACD均为直角三角形。
∵ E是AB的中点，在Rt△ABD中，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$ED=\frac{1}{2}AB=AE$，
∵ F是AC的中点，在Rt△ACD中，同理得$DF=\frac{1}{2}AC=AF$。
已知$AB=10$，$AC=8$，
∴ $AE+ED=AB=10$，$AF+DF=AC=8$，
∴ 四边形AEDF的周长$=AE+ED+DF+AF=10+8=18$。
【答案】
18
【知识点】
1.直角三角形斜边中线性质
2.四边形周长计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查直角三角形斜边中线性质的灵活运用，解题关键是借助性质将四边形的未知边长转化为已知的三角形边长，简化计算过程。
【难度系数】
0.8
6.如图,在四边形ABCD中,∠ABC = ∠ADC = 90°,M,N分别是AC,BD的中点,连接MN.求证:MN垂直平分BD. 
答案
6 证明:连接 BM,DM.
∵ ∠ABC = 90°,M 是 AC 的中点,
∴ BM = $\dfrac{1}{2}AC$.
同理可得 DM = $\dfrac{1}{2}AC$,
∴ BM = DM.
又
∵ N 是 BD 的中点,
∴ MN 垂直平分 BD.
∵ ∠ABC = 90°,M 是 AC 的中点,
∴ BM = $\dfrac{1}{2}AC$.
同理可得 DM = $\dfrac{1}{2}AC$,
∴ BM = DM.
又
∵ N 是 BD 的中点,
∴ MN 垂直平分 BD.
解析
【分析】
要证明MN垂直平分BD，首先可尝试证明△BMD是等腰三角形（即BM=DM），再结合N是BD中点的条件，利用等腰三角形三线合一的性质即可推导结论。观察图形可知AC是Rt△ABC和Rt△ADC的公共斜边，M是AC中点，可借助直角三角形斜边中线的性质证明BM=DM，进而完成证明。
【解析】
证明：连接BM，DM。
∵ ∠ABC = 90°，M是AC的中点，
∴ BM = $\dfrac{1}{2}AC$。
同理，∠ADC=90°，M是AC的中点，可得DM = $\dfrac{1}{2}AC$，
∴ BM = DM，即△BMD为等腰三角形。
又
∵ N是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，MN垂直且平分BD，
∴ MN垂直平分BD。
【答案】
证明:连接 BM,DM.
∵ ∠ABC = 90°,M 是 AC 的中点,
∴ BM = $\dfrac{1}{2}AC$.
同理可得 DM = $\dfrac{1}{2}AC$,
∴ BM = DM.
又
∵ N 是 BD 的中点,
∴ MN 垂直平分 BD.
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、等腰三角形三线合一、线段垂直平分线判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是正确作出辅助线构造直角三角形斜边中线，结合特殊三角形的性质推导结论，掌握辅助线的构造思路和特殊三角形的相关性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要证明MN垂直平分BD，首先可尝试证明△BMD是等腰三角形（即BM=DM），再结合N是BD中点的条件，利用等腰三角形三线合一的性质即可推导结论。观察图形可知AC是Rt△ABC和Rt△ADC的公共斜边，M是AC中点，可借助直角三角形斜边中线的性质证明BM=DM，进而完成证明。
【解析】
证明：连接BM，DM。
∵ ∠ABC = 90°，M是AC的中点，
∴ BM = $\dfrac{1}{2}AC$。
同理，∠ADC=90°，M是AC的中点，可得DM = $\dfrac{1}{2}AC$，
∴ BM = DM，即△BMD为等腰三角形。
又
∵ N是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，MN垂直且平分BD，
∴ MN垂直平分BD。
【答案】
证明:连接 BM,DM.
∵ ∠ABC = 90°,M 是 AC 的中点,
∴ BM = $\dfrac{1}{2}AC$.
同理可得 DM = $\dfrac{1}{2}AC$,
∴ BM = DM.
又
∵ N 是 BD 的中点,
∴ MN 垂直平分 BD.
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、等腰三角形三线合一、线段垂直平分线判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是正确作出辅助线构造直角三角形斜边中线，结合特殊三角形的性质推导结论，掌握辅助线的构造思路和特殊三角形的相关性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
7. [2026常州金坛区期中] 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,D是边AC上的动点(不与点A,C重合),E为BD的中点,过点D作$DF⊥ AB$,垂足为F,连接CE,EF.若$∠ CBA=50°$,则在点D运动过程中,$∠ CEF$的度数（
A.等于$80°$
B.等于$100°$
C.等于$120°$
D.无法确定
B
）A.等于$80°$
B.等于$100°$
C.等于$120°$
D.无法确定
答案
7 B 在Rt△DBC 中,∠DCB = 90°,E 为 BD 的中点,则
CE = $\dfrac{1}{2}BD = BE$,
∴ ∠EBC = ∠ECB.
∵ ∠CED 是△BEC 的外
角,
∴ ∠CED = ∠EBC + ∠ECB = 2∠EBC. 同理可得∠FED =
2∠EBF,
∴ ∠CEF = ∠CED + ∠FED = 2∠EBC + 2∠EBF =
2∠CBA = 100°.
CE = $\dfrac{1}{2}BD = BE$,
∴ ∠EBC = ∠ECB.
∵ ∠CED 是△BEC 的外
角,
∴ ∠CED = ∠EBC + ∠ECB = 2∠EBC. 同理可得∠FED =
2∠EBF,
∴ ∠CEF = ∠CED + ∠FED = 2∠EBC + 2∠EBF =
2∠CBA = 100°.
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：存在$Rt△ BCD$和$Rt△ BFD$两个直角三角形，且它们共斜边BD，E为BD中点，首先联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得$CE=BE$、$EF=BE$，再结合等腰三角形底角相等的性质，利用三角形外角等于不相邻两个内角和，将$∠ CEF$拆分为$∠ CED$和$∠ FED$之和，最终转化为2倍的$∠ CBA$，即可求出定角，该值不受点D运动的影响。
【解析】
在$Rt△ DBC$中，$∠ DCB=90°$，E为BD的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得：
$CE=\frac{1}{2}BD=BE$，
$\therefore ∠ EBC=∠ ECB$，
$\because ∠ CED$是$△ BEC$的外角，
$\therefore ∠ CED=∠ EBC+∠ ECB=2∠ EBC$。
同理，在$Rt△ DFB$中，$∠ DFB=90°$，E为BD的中点，得$EF=\frac{1}{2}BD=BE$，
$\therefore ∠ EBF=∠ EFB$，
$\because ∠ FED$是$△ BEF$的外角，
$\therefore ∠ FED=∠ EBF+∠ EFB=2∠ EBF$。
因此$∠ CEF=∠ CED+∠ FED=2∠ EBC+2∠ EBF=2(∠ EBC+∠ EBF)=2∠ CBA$，
代入$∠ CBA=50°$，得$∠ CEF=2×50°=100°$，为定值，不随点D运动变化。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，三角形外角性质，等腰三角形等边对等角
【点评】
本题是动点背景下的定角求解问题，解题的核心是抓住“E为BD中点”这一不变条件，结合直角三角形的性质找到角之间的倍数关系，无需分析动点的具体位置即可推导得出结论，能很好地考查对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察图形特征：存在$Rt△ BCD$和$Rt△ BFD$两个直角三角形，且它们共斜边BD，E为BD中点，首先联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得$CE=BE$、$EF=BE$，再结合等腰三角形底角相等的性质，利用三角形外角等于不相邻两个内角和，将$∠ CEF$拆分为$∠ CED$和$∠ FED$之和，最终转化为2倍的$∠ CBA$，即可求出定角，该值不受点D运动的影响。
【解析】
在$Rt△ DBC$中，$∠ DCB=90°$，E为BD的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得：
$CE=\frac{1}{2}BD=BE$，
$\therefore ∠ EBC=∠ ECB$，
$\because ∠ CED$是$△ BEC$的外角，
$\therefore ∠ CED=∠ EBC+∠ ECB=2∠ EBC$。
同理，在$Rt△ DFB$中，$∠ DFB=90°$，E为BD的中点，得$EF=\frac{1}{2}BD=BE$，
$\therefore ∠ EBF=∠ EFB$，
$\because ∠ FED$是$△ BEF$的外角，
$\therefore ∠ FED=∠ EBF+∠ EFB=2∠ EBF$。
因此$∠ CEF=∠ CED+∠ FED=2∠ EBC+2∠ EBF=2(∠ EBC+∠ EBF)=2∠ CBA$，
代入$∠ CBA=50°$，得$∠ CEF=2×50°=100°$，为定值，不随点D运动变化。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，三角形外角性质，等腰三角形等边对等角
【点评】
本题是动点背景下的定角求解问题，解题的核心是抓住“E为BD中点”这一不变条件，结合直角三角形的性质找到角之间的倍数关系，无需分析动点的具体位置即可推导得出结论，能很好地考查对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
8. [2026 泰州姜堰区月考] 如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AB = 10$，线段$DE$的两个端点$D$，$E$分别在边$AC$，$BC$上滑动，且$DE = 4$。若$M$，$N$分别是$DE$，$AB$的中点，则$MN$的最小值为
3
。答案
8 3 如图,连接 CM,CN.
∵ ∠ACB = 90°,
AB = 10,DE = 4,N,M 分别是 AB,DE 的中点,
∴ CN = $\dfrac{1}{2}AB = 5$,CM = $\dfrac{1}{2}DE = 2$.
当点 C,M,N 在同一直线上时,MN 取最小值,
∴ MN的最
小值为5 - 2 = 3.
解析
【分析】
解决本题首先要联想到直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。我们可以先连接CM、CN，由于AB、DE的长度固定，因此CN、CM都是固定长度。再根据三角形三边关系可知，当C、M、N三点共线时，MN的长度最小，此时MN的长度等于CN与CM的差，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：如图，连接$CM$，$CN$。
$\because ∠ ACB=90°$，$AB=10$，$N$是$AB$的中点，
$\therefore CN=\frac{1}{2}AB=5$。
$\because ∠ DCE=90°$，$DE=4$，$M$是$DE$的中点，
$\therefore CM=\frac{1}{2}DE=2$。
根据三角形三边关系可得$MN≥ CN-CM$，当点$C$、$M$、$N$在同一直线上时，等号成立，此时$MN$取最小值。
$\therefore MN$的最小值为$5-2=3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 三角形三边关系
3. 线段最值求解
【点评】
本题是动态几何最值的典型题型，解题的核心是通过构造辅助线，利用直角三角形斜边中线的性质得到两条定长线段，再结合三点共线的特征求解最值，对几何性质的应用和动态分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要联想到直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。我们可以先连接CM、CN，由于AB、DE的长度固定，因此CN、CM都是固定长度。再根据三角形三边关系可知，当C、M、N三点共线时，MN的长度最小，此时MN的长度等于CN与CM的差，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：如图，连接$CM$，$CN$。
$\because ∠ ACB=90°$，$AB=10$，$N$是$AB$的中点，
$\therefore CN=\frac{1}{2}AB=5$。
$\because ∠ DCE=90°$，$DE=4$，$M$是$DE$的中点，
$\therefore CM=\frac{1}{2}DE=2$。
根据三角形三边关系可得$MN≥ CN-CM$，当点$C$、$M$、$N$在同一直线上时，等号成立，此时$MN$取最小值。
$\therefore MN$的最小值为$5-2=3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 三角形三边关系
3. 线段最值求解
【点评】
本题是动态几何最值的典型题型，解题的核心是通过构造辅助线，利用直角三角形斜边中线的性质得到两条定长线段，再结合三点共线的特征求解最值，对几何性质的应用和动态分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
9. 如图1,已知△ABC为直角三角形,∠BCA = 90°,在BC的延长线上取一点D,使得CD = $\frac{1}{2}$AB,E是AB的中点,连接DE,M为ED的中点,连接CM,AD.
(1)试判断CM与ED的位置关系,并说明理由.
(2)若∠AED = 105°,请求出∠BAC的度数.
(3)如果将题中“在BC的延长线上取一点D”改为“在CB的延长线上取一点D”,其余条件不变,如图2.若∠AED = 165°,请求出∠BAC的度数.
(1)试判断CM与ED的位置关系,并说明理由.
(2)若∠AED = 105°,请求出∠BAC的度数.
(3)如果将题中“在BC的延长线上取一点D”改为“在CB的延长线上取一点D”,其余条件不变,如图2.若∠AED = 165°,请求出∠BAC的度数.
答案
9 解:(1)CM 垂直平分 ED. 理由如下:
如图 1,连接 CE.
∵ ∠BCA = 90°,E 是 AB 的中点,
∴ CE = $\dfrac{1}{2}AB$.
∵ CD = $\dfrac{1}{2}AB$,
∴ CE = CD.
又
∵ M 为 ED 的中点,
∴ CM 垂直平分 ED.
(2)
∵ ∠BCA = 90°,E 是 AB 的中点,
∴ BE = $\dfrac{1}{2}AB = CE$,
∴ ∠B = ∠ECB.
∵ CE = CD,
∴ ∠CDE = ∠DEC,
∴ ∠ECB = ∠DEC + ∠CDE = 2∠CDE,
∴ ∠B = 2∠CDE.
∵ ∠AED = ∠B + ∠CDE,
∴ ∠AED = 3∠CDE.
∵ ∠AED = 105°,
∴ ∠CDE = 35°,
∴ ∠B = 70°.
∵ ∠BCA = 90°,
∴ ∠BAC = 180° - 90° - 70° = 20°.
(3)如图 2,连接 CE.
∵ ∠BCA = 90°,E 是 AB 的中点,
∴ CE = $\dfrac{1}{2}AB = BE$,
∴ ∠EBC = ∠ECB.
∵ CD = $\dfrac{1}{2}AB$,
∴ CE = CD,
∴ ∠CDE = ∠DEC.
∵ ∠AED = 165°,
∴ ∠BED = 180° - 165° = 15°.
∵ ∠EBC = ∠CDE + ∠BED,
∴ ∠EBC = ∠ECB = ∠CDE + 15°.
∵ ∠AED = ∠CDE + ∠DBE,∠DBE = ∠ECB + ∠CEB,
∴ ∠AED = ∠CDE + ∠ECB + ∠CEB.
∵ ∠CEB = ∠CED - ∠BED,
∴ ∠CEB = ∠CDE - 15°,
∴ ∠AED = ∠CDE + ∠CDE + 15° + ∠CDE - 15° = 3∠CDE,
∴ ∠CDE = 55°,
∴ ∠EBC = 55° + 15° = 70°,
∴ ∠BAC = 180° - 90° - 70° = 20°.
解析
【分析】
(1) 判断CM与ED的位置关系时，首先想到直角三角形斜边中线的性质，先连接CE，可得CE等于AB的一半，结合已知CD等于AB的一半，可推出CE=CD，即△CED为等腰三角形，再结合M是ED中点，利用等腰三角形三线合一的性质即可得出结论。
(2) 求∠BAC的度数时，已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，所以只需要求出∠B的度数即可。利用直角三角形斜边中线性质得CE=BE，可推出∠B=∠ECB，再结合CE=CD得∠CDE=∠DEC，根据三角形外角性质可得∠ECB=2∠CDE，即∠B=2∠CDE，再根据外角性质得∠AED=∠B+∠CDE，代入已知∠AED的度数即可求出∠CDE，进而求出∠B和∠BAC。
(3) 第三问思路与第二问类似，仍然先连接CE，利用斜边中线性质得到相等线段，再结合D在CB延长线上的位置，通过三角形外角性质梳理各角的数量关系，推导得出∠AED和∠CDE的倍数关系，代入数值求解后再计算∠BAC即可。
【解析】
(1) CM垂直平分ED，理由如下：
如图1，连接CE。
∵ ∠BCA = 90°，E是AB的中点，
∴ CE = $\dfrac{1}{2}AB$。
∵ CD = $\dfrac{1}{2}AB$，
∴ CE = CD。
又
∵ M为ED的中点，
∴ CM垂直平分ED。
(2)
∵ ∠BCA = 90°，E是AB的中点，
∴ BE = $\dfrac{1}{2}AB = CE$，
∴ ∠B = ∠ECB。
∵ CE = CD，
∴ ∠CDE = ∠DEC，
∴ ∠ECB = ∠DEC + ∠CDE = 2∠CDE，
∴ ∠B = 2∠CDE。
∵ ∠AED = ∠B + ∠CDE，
∴ ∠AED = 3∠CDE。
∵ ∠AED = 105°，
∴ ∠CDE = 35°，
∴ ∠B = 70°。
∵ ∠BCA = 90°，
∴ ∠BAC = 180° - 90° - 70° = 20°。
(3) 如图2，连接CE。
∵ ∠BCA = 90°，E是AB的中点，
∴ CE = $\dfrac{1}{2}AB = BE$，
∴ ∠EBC = ∠ECB。
∵ CD = $\dfrac{1}{2}AB$，
∴ CE = CD，
∴ ∠CDE = ∠DEC。
∵ ∠AED = 165°，
∴ ∠BED = 180° - 165° = 15°。
∵ ∠EBC = ∠CDE + ∠BED，
∴ ∠EBC = ∠ECB = ∠CDE + 15°。
∵ ∠AED = ∠CDE + ∠DBE，∠DBE = ∠ECB + ∠CEB，
∴ ∠AED = ∠CDE + ∠ECB + ∠CEB。
∵ ∠CEB = ∠CED - ∠BED，
∴ ∠CEB = ∠CDE - 15°，
∴ ∠AED = ∠CDE + ∠CDE + 15° + ∠CDE - 15° = 3∠CDE，
∴ ∠CDE = 55°，
∴ ∠EBC = 55° + 15° = 70°，
∴ ∠BAC = 180° - 90° - 70° = 20°。
【答案】
(1) CM垂直平分ED；
(2) ∠BAC=20°；
(3) ∠BAC=20°。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、等腰三角形性质、三角形外角性质
【点评】
本题属于几何中档综合题，解题的关键是构造辅助线CE，结合直角三角形斜边中线的性质得到相等的线段，再利用等腰三角形和三角形外角的性质梳理角之间的数量关系，能够有效锻炼学生的辅助线构造能力和几何推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 判断CM与ED的位置关系时，首先想到直角三角形斜边中线的性质，先连接CE，可得CE等于AB的一半，结合已知CD等于AB的一半，可推出CE=CD，即△CED为等腰三角形，再结合M是ED中点，利用等腰三角形三线合一的性质即可得出结论。
(2) 求∠BAC的度数时，已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，所以只需要求出∠B的度数即可。利用直角三角形斜边中线性质得CE=BE，可推出∠B=∠ECB，再结合CE=CD得∠CDE=∠DEC，根据三角形外角性质可得∠ECB=2∠CDE，即∠B=2∠CDE，再根据外角性质得∠AED=∠B+∠CDE，代入已知∠AED的度数即可求出∠CDE，进而求出∠B和∠BAC。
(3) 第三问思路与第二问类似，仍然先连接CE，利用斜边中线性质得到相等线段，再结合D在CB延长线上的位置，通过三角形外角性质梳理各角的数量关系，推导得出∠AED和∠CDE的倍数关系，代入数值求解后再计算∠BAC即可。
【解析】
(1) CM垂直平分ED，理由如下：
如图1，连接CE。
∵ ∠BCA = 90°，E是AB的中点，
∴ CE = $\dfrac{1}{2}AB$。
∵ CD = $\dfrac{1}{2}AB$，
∴ CE = CD。
又
∵ M为ED的中点，
∴ CM垂直平分ED。
(2)
∵ ∠BCA = 90°，E是AB的中点，
∴ BE = $\dfrac{1}{2}AB = CE$，
∴ ∠B = ∠ECB。
∵ CE = CD，
∴ ∠CDE = ∠DEC，
∴ ∠ECB = ∠DEC + ∠CDE = 2∠CDE，
∴ ∠B = 2∠CDE。
∵ ∠AED = ∠B + ∠CDE，
∴ ∠AED = 3∠CDE。
∵ ∠AED = 105°，
∴ ∠CDE = 35°，
∴ ∠B = 70°。
∵ ∠BCA = 90°，
∴ ∠BAC = 180° - 90° - 70° = 20°。
(3) 如图2，连接CE。
∵ ∠BCA = 90°，E是AB的中点，
∴ CE = $\dfrac{1}{2}AB = BE$，
∴ ∠EBC = ∠ECB。
∵ CD = $\dfrac{1}{2}AB$，
∴ CE = CD，
∴ ∠CDE = ∠DEC。
∵ ∠AED = 165°，
∴ ∠BED = 180° - 165° = 15°。
∵ ∠EBC = ∠CDE + ∠BED，
∴ ∠EBC = ∠ECB = ∠CDE + 15°。
∵ ∠AED = ∠CDE + ∠DBE，∠DBE = ∠ECB + ∠CEB，
∴ ∠AED = ∠CDE + ∠ECB + ∠CEB。
∵ ∠CEB = ∠CED - ∠BED，
∴ ∠CEB = ∠CDE - 15°，
∴ ∠AED = ∠CDE + ∠CDE + 15° + ∠CDE - 15° = 3∠CDE，
∴ ∠CDE = 55°，
∴ ∠EBC = 55° + 15° = 70°，
∴ ∠BAC = 180° - 90° - 70° = 20°。
【答案】
(1) CM垂直平分ED；
(2) ∠BAC=20°；
(3) ∠BAC=20°。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、等腰三角形性质、三角形外角性质
【点评】
本题属于几何中档综合题，解题的关键是构造辅助线CE，结合直角三角形斜边中线的性质得到相等的线段，再利用等腰三角形和三角形外角的性质梳理角之间的数量关系，能够有效锻炼学生的辅助线构造能力和几何推理能力。
【难度系数】
0.6
