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9 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=45°$.
(1) 若点$D$在边$AB$上,点$E$在边$AC$上,$BD=CE$,$BE$与$CD$交于点$F$.求证:$BF=CF$;
(2) 若$D$是边$AB$上的一个动点,$E$是边$AC$上的一个动点,且$BD=CE$,$BE$与$CD$交于点$F$.当$△ BFD$是等腰三角形时,求$∠ FBD$的度数.
(1) 若点$D$在边$AB$上,点$E$在边$AC$上,$BD=CE$,$BE$与$CD$交于点$F$.求证:$BF=CF$;
(2) 若$D$是边$AB$上的一个动点,$E$是边$AC$上的一个动点,且$BD=CE$,$BE$与$CD$交于点$F$.当$△ BFD$是等腰三角形时,求$∠ FBD$的度数.
答案
9. (1) 证明:因为$AB=AC$,所以$∠ABC=∠ACB$.
在$△BCD$和$△CBE$中,$\begin{cases} BC=CB, \\ ∠DBC=∠ECB, \\ BD=CE, \end{cases}$
所以$△BCD≌△CBE(\mathrm{SAS})$,
所以$∠FBC=∠FCB$,即$BF=CF$.
(2) 解:因为$AB=AC$,$∠BAC=45°$,
所以$∠ABC=∠ACB=\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=67.5°$.
由(1)知,$∠FBC=∠FCB$,所以$∠DBF=∠ECF$,
设$∠FBD=∠ECF=x$,则$∠FBC=∠FCB=67.5°-x$,
所以$∠BDF=∠ECF+∠BAC=x+45°$,$∠DFB=2∠FBC=2(67.5°-x)=135°-2x$.
因为$△BFD$是等腰三角形,所以分三种情况讨论:
①当$BD=BF$时,$∠BDF=∠DFB$,
所以$x+45°=135°-2x$,得$x=30°$,即$∠FBD=30°$;
②当$BD=DF$时,$∠FBD=∠DFB$,
所以$x=135°-2x$,得$x=45°$,即$∠FBD=45°$;
③当$BF=DF$时,$∠FBD=∠FDB$,
所以$x=x+45°$,不符合题意,舍去.
综上,$∠FBD$的度数为$30°$或$45°$.
在$△BCD$和$△CBE$中,$\begin{cases} BC=CB, \\ ∠DBC=∠ECB, \\ BD=CE, \end{cases}$
所以$△BCD≌△CBE(\mathrm{SAS})$,
所以$∠FBC=∠FCB$,即$BF=CF$.
(2) 解:因为$AB=AC$,$∠BAC=45°$,
所以$∠ABC=∠ACB=\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=67.5°$.
由(1)知,$∠FBC=∠FCB$,所以$∠DBF=∠ECF$,
设$∠FBD=∠ECF=x$,则$∠FBC=∠FCB=67.5°-x$,
所以$∠BDF=∠ECF+∠BAC=x+45°$,$∠DFB=2∠FBC=2(67.5°-x)=135°-2x$.
因为$△BFD$是等腰三角形,所以分三种情况讨论:
①当$BD=BF$时,$∠BDF=∠DFB$,
所以$x+45°=135°-2x$,得$x=30°$,即$∠FBD=30°$;
②当$BD=DF$时,$∠FBD=∠DFB$,
所以$x=135°-2x$,得$x=45°$,即$∠FBD=45°$;
③当$BF=DF$时,$∠FBD=∠FDB$,
所以$x=x+45°$,不符合题意,舍去.
综上,$∠FBD$的度数为$30°$或$45°$.
解析
【分析】
(1) 要证明BF=CF，可利用等腰三角形“等角对等边”的性质，转化为证明∠FBC=∠FCB。已知AB=AC可得∠ABC=∠ACB，结合BD=CE、公共边BC的条件，可通过SAS判定△BCD与△CBE全等，利用全等三角形对应角相等即可得证。
(2) 先根据等腰三角形内角和求出∠ABC、∠ACB的度数，设∠FBD为x，用含x的代数式表示出△BFD的三个内角，再分三种情况讨论等腰三角形的腰的对应关系，列方程求解后排除不符合题意的结果即可得到答案。
【解析】
(1) 证明：
∵$AB=AC$，
∴$∠ABC=∠ACB$。
在$△BCD$和$△CBE$中，
$\begin{cases} BC=CB, \\ ∠DBC=∠ECB, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴$△BCD≌△CBE(\mathrm{SAS})$，
∴$∠FBC=∠FCB$，
∴$BF=CF$。
(2) 解：
∵$AB=AC$，$∠BAC=45°$，
∴$∠ABC=∠ACB=\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=67.5°$。
由(1)可知$∠FBC=∠FCB$，
∴$∠DBF=∠ECF$，
设$∠FBD=∠ECF=x$，则$∠FBC=∠FCB=67.5°-x$，
根据三角形外角性质，$∠BDF=∠ECF+∠BAC=x+45°$，
由三角形内角和得$∠DFB=180°-2(67.5°-x)=135°-2x$。
∵$△BFD$是等腰三角形，分三种情况讨论：
①当$BD=BF$时，$∠BDF=∠DFB$，
∴$x+45°=135°-2x$，解得$x=30°$，即$∠FBD=30°$；
②当$BD=DF$时，$∠FBD=∠DFB$，
∴$x=135°-2x$，解得$x=45°$，即$∠FBD=45°$；
③当$BF=DF$时，$∠FBD=∠FDB$，
∴$x=x+45°$，等式不成立，舍去。
综上，$∠FBD$的度数为$30°$或$45°$。
【答案】
(1) 证明成立，$BF=CF$；
(2) $∠FBD$的度数为$\boldsymbol{30°}$或$\boldsymbol{45°}$。
【知识点】
全等三角形判定与性质，等腰三角形性质，分类讨论思想
【点评】
本题第一问属于基础题型，考查全等三角形的判定和等腰三角形的基本性质；第二问需要结合等腰三角形的特点进行分类讨论，解题时注意排除不符合逻辑的解，能够有效锻炼逻辑推理能力和数学思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明BF=CF，可利用等腰三角形“等角对等边”的性质，转化为证明∠FBC=∠FCB。已知AB=AC可得∠ABC=∠ACB，结合BD=CE、公共边BC的条件，可通过SAS判定△BCD与△CBE全等，利用全等三角形对应角相等即可得证。
(2) 先根据等腰三角形内角和求出∠ABC、∠ACB的度数，设∠FBD为x，用含x的代数式表示出△BFD的三个内角，再分三种情况讨论等腰三角形的腰的对应关系，列方程求解后排除不符合题意的结果即可得到答案。
【解析】
(1) 证明：
∵$AB=AC$，
∴$∠ABC=∠ACB$。
在$△BCD$和$△CBE$中，
$\begin{cases} BC=CB, \\ ∠DBC=∠ECB, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴$△BCD≌△CBE(\mathrm{SAS})$，
∴$∠FBC=∠FCB$，
∴$BF=CF$。
(2) 解：
∵$AB=AC$，$∠BAC=45°$，
∴$∠ABC=∠ACB=\frac{1}{2}(180°-∠BAC)=67.5°$。
由(1)可知$∠FBC=∠FCB$，
∴$∠DBF=∠ECF$，
设$∠FBD=∠ECF=x$，则$∠FBC=∠FCB=67.5°-x$，
根据三角形外角性质，$∠BDF=∠ECF+∠BAC=x+45°$，
由三角形内角和得$∠DFB=180°-2(67.5°-x)=135°-2x$。
∵$△BFD$是等腰三角形，分三种情况讨论：
①当$BD=BF$时，$∠BDF=∠DFB$，
∴$x+45°=135°-2x$，解得$x=30°$，即$∠FBD=30°$；
②当$BD=DF$时，$∠FBD=∠DFB$，
∴$x=135°-2x$，解得$x=45°$，即$∠FBD=45°$；
③当$BF=DF$时，$∠FBD=∠FDB$，
∴$x=x+45°$，等式不成立，舍去。
综上，$∠FBD$的度数为$30°$或$45°$。
【答案】
(1) 证明成立，$BF=CF$；
(2) $∠FBD$的度数为$\boldsymbol{30°}$或$\boldsymbol{45°}$。
【知识点】
全等三角形判定与性质，等腰三角形性质，分类讨论思想
【点评】
本题第一问属于基础题型，考查全等三角形的判定和等腰三角形的基本性质；第二问需要结合等腰三角形的特点进行分类讨论，解题时注意排除不符合逻辑的解，能够有效锻炼逻辑推理能力和数学思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
10 如图，O是等边三角形ABC内的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，D是△ABC外的一点，且△ADC≌△BOC，连接OD.
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）若△AOD是等腰三角形，求角α的度数.
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）若△AOD是等腰三角形，求角α的度数.
答案
10. (1) 证明:因为$△ADC≌△BOC$,
所以$DC=OC$,$∠DCA=∠OCB$,
所以$△COD$是等腰三角形.
因为$△ABC$为等边三角形,
所以$∠OCB+∠ACO=∠ACB=60°$,
所以$∠DCA+∠ACO=∠DCO=60°$,
所以$△COD$是等边三角形.
(2) 解:当$α=150°$时,$△AOD$是直角三角形.理由如下:
因为$△ADC≌△BOC$,所以$∠ADC=∠BOC=150°$.
又因为$△COD$是等边三角形,
所以$∠ODC=60°$,所以$∠ADO=90°$,
即$△AOD$是直角三角形.
(3) 解:因为$△COD$是等边三角形,所以$∠DOC=60°$.
①当$AO=AD$时,$∠AOD=∠ADO$.
因为$∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α$,
$∠ADO=∠ADC-∠ODC=∠BOC-∠ODC=α-60°$,
所以$190°-α=α-60°$,解得$α=125°$;
②当$OA=OD$时,$∠OAD=∠ADO$.
因为$∠OAD=180°-(∠AOD+∠ADO)=180°-(190°-α+α-60°)=50°$,
所以$α-60°=50°$,解得$α=110°$;
③当$AD=OD$时,$∠AOD=∠OAD$,
所以$190°-α=50°$,解得$α=140°$.
综上,$α$为$125°$或$110°$或$140°$.
所以$DC=OC$,$∠DCA=∠OCB$,
所以$△COD$是等腰三角形.
因为$△ABC$为等边三角形,
所以$∠OCB+∠ACO=∠ACB=60°$,
所以$∠DCA+∠ACO=∠DCO=60°$,
所以$△COD$是等边三角形.
(2) 解:当$α=150°$时,$△AOD$是直角三角形.理由如下:
因为$△ADC≌△BOC$,所以$∠ADC=∠BOC=150°$.
又因为$△COD$是等边三角形,
所以$∠ODC=60°$,所以$∠ADO=90°$,
即$△AOD$是直角三角形.
(3) 解:因为$△COD$是等边三角形,所以$∠DOC=60°$.
①当$AO=AD$时,$∠AOD=∠ADO$.
因为$∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α$,
$∠ADO=∠ADC-∠ODC=∠BOC-∠ODC=α-60°$,
所以$190°-α=α-60°$,解得$α=125°$;
②当$OA=OD$时,$∠OAD=∠ADO$.
因为$∠OAD=180°-(∠AOD+∠ADO)=180°-(190°-α+α-60°)=50°$,
所以$α-60°=50°$,解得$α=110°$;
③当$AD=OD$时,$∠AOD=∠OAD$,
所以$190°-α=50°$,解得$α=140°$.
综上,$α$为$125°$或$110°$或$140°$.
解析
【分析】
（1）要证明△COD是等边三角形，首先根据全等三角形性质得到DC=OC，确定△COD是等腰三角形，再结合等边△ABC的内角为60°，通过角的和差推导得到△COD的一个内角为60°即可得证。
（2）判断△AOD的形状时，先利用全等三角形对应角相等得到∠ADC的度数，再结合（1）中等边△COD的内角度数，作差求出∠ADO的度数即可判断形状。
（3）△AOD为等腰三角形时腰和底不明确，需分三种情况讨论：AO=AD、OA=OD、AD=OD，先分别用含α的式子表示△AOD的三个内角，再根据等腰三角形等边对等角的性质列方程求解即可。
【解析】
（1）证明：$\because △ADC≌△BOC$，
$\therefore DC=OC$，$∠DCA=∠OCB$，
$\therefore △COD$是等腰三角形。
$\because △ABC$为等边三角形，
$\therefore ∠OCB+∠ACO=∠ACB=60°$，
$\therefore ∠DCA+∠ACO=∠DCO=60°$，
$\therefore △COD$是等边三角形。
（2）解：当$α =150°$时，$△AOD$是直角三角形，理由如下：
$\because △ADC≌△BOC$，$\therefore ∠ADC=∠BOC=150°$。
又$\because △COD$是等边三角形，
$\therefore ∠ODC=60°$，$\therefore ∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°$，
即$△AOD$是直角三角形。
（3）解：$\because △COD$是等边三角形，$\therefore ∠DOC=60°$。
可得$∠AOD=360°-110°-60°-α =190°-α $，
$∠ADO=∠ADC-∠ODC=∠BOC-∠ODC=α -60°$，
$∠OAD=180°-(∠AOD+∠ADO)=180°-(190°-α +α -60°)=50°$。
分三种情况讨论：
①当$AO=AD$时，$∠AOD=∠ADO$，
$\therefore 190°-α =α -60°$，解得$α =125°$；
②当$OA=OD$时，$∠OAD=∠ADO$，
$\therefore α -60°=50°$，解得$α =110°$；
③当$AD=OD$时，$∠AOD=∠OAD$，
$\therefore 190°-α =50°$，解得$α =140°$。
综上，$α $的度数为$110°$或$125°$或$140°$。
【答案】
（1）△COD是等边三角形，证明成立；
（2）△AOD是直角三角形；
（3）$α $的度数为$110°$、$125°$或$140°$。
【知识点】
全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题属于几何综合题，融合了全等、等边、等腰三角形的核心性质，解题关键是借助全等三角形实现边角关系的转化，第三问需掌握等腰三角形腰不明确时的分类讨论思想，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.6
（1）要证明△COD是等边三角形，首先根据全等三角形性质得到DC=OC，确定△COD是等腰三角形，再结合等边△ABC的内角为60°，通过角的和差推导得到△COD的一个内角为60°即可得证。
（2）判断△AOD的形状时，先利用全等三角形对应角相等得到∠ADC的度数，再结合（1）中等边△COD的内角度数，作差求出∠ADO的度数即可判断形状。
（3）△AOD为等腰三角形时腰和底不明确，需分三种情况讨论：AO=AD、OA=OD、AD=OD，先分别用含α的式子表示△AOD的三个内角，再根据等腰三角形等边对等角的性质列方程求解即可。
【解析】
（1）证明：$\because △ADC≌△BOC$，
$\therefore DC=OC$，$∠DCA=∠OCB$，
$\therefore △COD$是等腰三角形。
$\because △ABC$为等边三角形，
$\therefore ∠OCB+∠ACO=∠ACB=60°$，
$\therefore ∠DCA+∠ACO=∠DCO=60°$，
$\therefore △COD$是等边三角形。
（2）解：当$α =150°$时，$△AOD$是直角三角形，理由如下：
$\because △ADC≌△BOC$，$\therefore ∠ADC=∠BOC=150°$。
又$\because △COD$是等边三角形，
$\therefore ∠ODC=60°$，$\therefore ∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°$，
即$△AOD$是直角三角形。
（3）解：$\because △COD$是等边三角形，$\therefore ∠DOC=60°$。
可得$∠AOD=360°-110°-60°-α =190°-α $，
$∠ADO=∠ADC-∠ODC=∠BOC-∠ODC=α -60°$，
$∠OAD=180°-(∠AOD+∠ADO)=180°-(190°-α +α -60°)=50°$。
分三种情况讨论：
①当$AO=AD$时，$∠AOD=∠ADO$，
$\therefore 190°-α =α -60°$，解得$α =125°$；
②当$OA=OD$时，$∠OAD=∠ADO$，
$\therefore α -60°=50°$，解得$α =110°$；
③当$AD=OD$时，$∠AOD=∠OAD$，
$\therefore 190°-α =50°$，解得$α =140°$。
综上，$α $的度数为$110°$或$125°$或$140°$。
【答案】
（1）△COD是等边三角形，证明成立；
（2）△AOD是直角三角形；
（3）$α $的度数为$110°$、$125°$或$140°$。
【知识点】
全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题属于几何综合题，融合了全等、等边、等腰三角形的核心性质，解题关键是借助全等三角形实现边角关系的转化，第三问需掌握等腰三角形腰不明确时的分类讨论思想，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.6
11 如图,在△ABC中,AD,BD分别平分∠CAG,∠EBA,AD//BC,BD交AC于点F,连接CD.
(1) 求证:AB=AC;
(2) 当∠EBA的大小满足什么条件时,以A,B,F为顶点的三角形为等腰三角形?
(3) 猜想∠BDC与∠DAC之间的数量关系,并说明理由.
(1) 求证:AB=AC;
(2) 当∠EBA的大小满足什么条件时,以A,B,F为顶点的三角形为等腰三角形?
(3) 猜想∠BDC与∠DAC之间的数量关系,并说明理由.
答案
11. (1) 证明:因为$AD$平分$∠CAG$,所以$∠GAD=∠CAD$.
因为$AD// BC$,所以$∠GAD=∠ABC$,$∠ACB=∠CAD$,
所以$∠ABC=∠ACB$,即$AB=AC$.
(2) 解:①$AB$与$AF$不可能相等;
②当$AF=BF$时,$∠BAF=∠ABF=\frac{1}{2}∠ABC$,
因为$∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°$,$∠ABC=∠ACB$,
所以$\frac{5}{2}∠ABC=180°$,解得$∠ABC=72°$;
③当$AB=BF$时,设$∠ABF=∠FBC=x$,
则$∠ABC=∠ACB=2x$,$∠BAF=∠BFA=3x$,
所以$2x+2x+3x=180°$,所以$x=(\frac{180}{7})°$,
所以$∠EBA=2x=(\frac{360}{7})°$.
综上,当$∠EBA$为$72°$或$(\frac{360}{7})°$时,$△ABF$为等腰三角形.
(3) 解:$∠BDC+∠DAC=90°$.理由如下:
过点$D$作$DM⊥BG$于点$M$,$DN⊥AC$于点$N$,$DH⊥BE$于点$H$.
因为$AD$,$BD$分别平分$∠GAC$,$∠EBA$,$DM⊥BG$,$DN⊥AC$,$DH⊥BE$,
所以$DM=DN$,$DM=DH$,所以$DH=DN$.
又$DN⊥AC$,$DH⊥BE$,
所以$CD$平分$∠ACH$,所以$∠DCH=\frac{1}{2}∠ACH$,
$∠BDC=∠DCH-∠DBH=\frac{1}{2}∠ACH-\frac{1}{2}∠ABH=\frac{1}{2}(∠ACH-∠ABH)=\frac{1}{2}∠BAC$.
又$∠DAC=\frac{180°-∠BAC}{2}=90°-\frac{1}{2}∠BAC$,
所以$∠BDC+∠DAC=90°$.
因为$AD// BC$,所以$∠GAD=∠ABC$,$∠ACB=∠CAD$,
所以$∠ABC=∠ACB$,即$AB=AC$.
(2) 解:①$AB$与$AF$不可能相等;
②当$AF=BF$时,$∠BAF=∠ABF=\frac{1}{2}∠ABC$,
因为$∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°$,$∠ABC=∠ACB$,
所以$\frac{5}{2}∠ABC=180°$,解得$∠ABC=72°$;
③当$AB=BF$时,设$∠ABF=∠FBC=x$,
则$∠ABC=∠ACB=2x$,$∠BAF=∠BFA=3x$,
所以$2x+2x+3x=180°$,所以$x=(\frac{180}{7})°$,
所以$∠EBA=2x=(\frac{360}{7})°$.
综上,当$∠EBA$为$72°$或$(\frac{360}{7})°$时,$△ABF$为等腰三角形.
(3) 解:$∠BDC+∠DAC=90°$.理由如下:
过点$D$作$DM⊥BG$于点$M$,$DN⊥AC$于点$N$,$DH⊥BE$于点$H$.
因为$AD$,$BD$分别平分$∠GAC$,$∠EBA$,$DM⊥BG$,$DN⊥AC$,$DH⊥BE$,
所以$DM=DN$,$DM=DH$,所以$DH=DN$.
又$DN⊥AC$,$DH⊥BE$,
所以$CD$平分$∠ACH$,所以$∠DCH=\frac{1}{2}∠ACH$,
$∠BDC=∠DCH-∠DBH=\frac{1}{2}∠ACH-\frac{1}{2}∠ABH=\frac{1}{2}(∠ACH-∠ABH)=\frac{1}{2}∠BAC$.
又$∠DAC=\frac{180°-∠BAC}{2}=90°-\frac{1}{2}∠BAC$,
所以$∠BDC+∠DAC=90°$.
解析
【分析】
(1) 要证明AB=AC，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，只需证∠ABC=∠ACB即可。结合AD平分∠CAG、AD//BC的条件，利用平行线的性质和角平分线定义做角的等量代换，即可得到两角相等。
(2) 未明确等腰△ABF的腰和底，需分三种情况分类讨论：①AB=AF；②AF=BF；③AB=BF。先结合图形排除不可能的情况，再对成立的情况，利用角平分线定义、三角形内角和定理设未知数列方程求解∠EBA的度数。
(3) 已知AD、BD是角平分线，可利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，作三条垂线证明CD也为角平分线，再结合三角形外角的性质分别表示出∠BDC和∠DAC，即可推导两者的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵AD平分∠CAG，
∴∠GAD=∠CAD。
∵AD//BC，
∴∠GAD=∠ABC，∠ACB=∠CAD，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC。
(2) 解：△ABF为等腰三角形分三种情况讨论：
①若AB=AF，则∠ABF=∠AFB，
∵∠AFB是△BCF的外角，∠AFB＞∠ACB，又∠ACB=∠ABC＞∠ABF（BD平分∠ABC），矛盾，故AB与AF不可能相等；
②当AF=BF时，∠BAF=∠ABF，
∵BD平分∠EBA，
∴∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABC，即∠BAF=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°，且∠ABC=∠ACB，
∴$\frac{1}{2}$∠ABC + ∠ABC + ∠ABC = 180°，即$\frac{5}{2}$∠ABC=180°，解得∠ABC=72°，即∠EBA=72°；
③当AB=BF时，设∠ABF=∠FBC=x，则∠ABC=∠ACB=2x，
∠BAF=∠BFA=∠FBC+∠ACB = x+2x=3x，
在△ABC中，∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°，即3x+2x+2x=180°，解得$x=(\frac{180}{7})°$，
∴∠EBA=2x=$(\frac{360}{7})°$。
综上，当∠EBA为72°或$(\frac{360}{7})°$时，△ABF为等腰三角形。
(3) 解：∠BDC+∠DAC=90°，理由如下：
过点D作DM⊥BG于点M，DN⊥AC于点N，DH⊥BE于点H。
∵AD平分∠GAC，DM⊥BG，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵BD平分∠EBA，DM⊥BG，DH⊥BE，
∴DM=DH，
∴DH=DN，又
∵DN⊥AC，DH⊥BE，
∴CD平分∠ACH，
∴∠DCH=$\frac{1}{2}$∠ACH，
∵∠BDC=∠DCH - ∠DBH = $\frac{1}{2}$∠ACH - $\frac{1}{2}$∠ABH = $\frac{1}{2}$(∠ACH - ∠ABH)，
又
∵∠ACH是△ABC的外角，∠ACH - ∠ABH=∠BAC，
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵AD平分∠CAG，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠CAG=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BDC+∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC + 90°-$\frac{1}{2}$∠BAC=90°。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) 当∠EBA为$\boldsymbol{72°}$或$\boldsymbol{\frac{360}{7}°}$时，以A,B,F为顶点的三角形为等腰三角形；
(3) $\boldsymbol{∠ BDC + ∠ DAC = 90°}$，理由成立。
【知识点】
等腰三角形判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质
【点评】
本题综合考查了等腰三角形、角平分线、平行线的相关知识，第二问需要对等腰三角形的腰和底分类讨论，避免漏解，第三问通过作辅助线利用角平分线的性质推导角的关系，考查了逻辑推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明AB=AC，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，只需证∠ABC=∠ACB即可。结合AD平分∠CAG、AD//BC的条件，利用平行线的性质和角平分线定义做角的等量代换，即可得到两角相等。
(2) 未明确等腰△ABF的腰和底，需分三种情况分类讨论：①AB=AF；②AF=BF；③AB=BF。先结合图形排除不可能的情况，再对成立的情况，利用角平分线定义、三角形内角和定理设未知数列方程求解∠EBA的度数。
(3) 已知AD、BD是角平分线，可利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，作三条垂线证明CD也为角平分线，再结合三角形外角的性质分别表示出∠BDC和∠DAC，即可推导两者的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵AD平分∠CAG，
∴∠GAD=∠CAD。
∵AD//BC，
∴∠GAD=∠ABC，∠ACB=∠CAD，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC。
(2) 解：△ABF为等腰三角形分三种情况讨论：
①若AB=AF，则∠ABF=∠AFB，
∵∠AFB是△BCF的外角，∠AFB＞∠ACB，又∠ACB=∠ABC＞∠ABF（BD平分∠ABC），矛盾，故AB与AF不可能相等；
②当AF=BF时，∠BAF=∠ABF，
∵BD平分∠EBA，
∴∠ABF=$\frac{1}{2}$∠ABC，即∠BAF=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°，且∠ABC=∠ACB，
∴$\frac{1}{2}$∠ABC + ∠ABC + ∠ABC = 180°，即$\frac{5}{2}$∠ABC=180°，解得∠ABC=72°，即∠EBA=72°；
③当AB=BF时，设∠ABF=∠FBC=x，则∠ABC=∠ACB=2x，
∠BAF=∠BFA=∠FBC+∠ACB = x+2x=3x，
在△ABC中，∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°，即3x+2x+2x=180°，解得$x=(\frac{180}{7})°$，
∴∠EBA=2x=$(\frac{360}{7})°$。
综上，当∠EBA为72°或$(\frac{360}{7})°$时，△ABF为等腰三角形。
(3) 解：∠BDC+∠DAC=90°，理由如下：
过点D作DM⊥BG于点M，DN⊥AC于点N，DH⊥BE于点H。
∵AD平分∠GAC，DM⊥BG，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵BD平分∠EBA，DM⊥BG，DH⊥BE，
∴DM=DH，
∴DH=DN，又
∵DN⊥AC，DH⊥BE，
∴CD平分∠ACH，
∴∠DCH=$\frac{1}{2}$∠ACH，
∵∠BDC=∠DCH - ∠DBH = $\frac{1}{2}$∠ACH - $\frac{1}{2}$∠ABH = $\frac{1}{2}$(∠ACH - ∠ABH)，
又
∵∠ACH是△ABC的外角，∠ACH - ∠ABH=∠BAC，
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵AD平分∠CAG，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠CAG=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BDC+∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC + 90°-$\frac{1}{2}$∠BAC=90°。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) 当∠EBA为$\boldsymbol{72°}$或$\boldsymbol{\frac{360}{7}°}$时，以A,B,F为顶点的三角形为等腰三角形；
(3) $\boldsymbol{∠ BDC + ∠ DAC = 90°}$，理由成立。
【知识点】
等腰三角形判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质
【点评】
本题综合考查了等腰三角形、角平分线、平行线的相关知识，第二问需要对等腰三角形的腰和底分类讨论，避免漏解，第三问通过作辅助线利用角平分线的性质推导角的关系，考查了逻辑推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
