1（1）（2025南京鼓楼期中）已知等腰三角形的一边长为4，周长为20，则它的腰长为（）

A.4
B.8
C.10
D.4或8

1（1）B

【分析】
本题是等腰三角形边长计算问题，解题需按两步思考：①等腰三角形的腰和底不明确时，要先对已知边长的身份（腰/底边）分类讨论，分别计算对应的腰长；②三角形的三边需满足“任意两边之和大于第三边”，算出结果后要验证是否能构成三角形，排除不符合的情况，最终得到正确答案。
【解析】
已知等腰三角形周长为20，一边长为4，分两种情况讨论：
情况1：若长为4的边是腰，则底边长=20-2×4=12，此时三角形三边长为4、4、12。
根据三角形三边关系，4+4=8＜12，两边之和小于第三边，无法构成三角形，该情况舍去。
情况2：若长为4的边是底边，则腰长=(20-4)÷2=8，此时三角形三边长为8、8、4。
验证三边关系：4+8＞8，8+8＞4，满足三边要求，可构成三角形，故腰长为8。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，易错点是仅分类计算而忽略验证三角形三边的合法性，导致误选D选项，解题时要牢记分类后需验证结果是否合理。
【难度系数】
0.6

(2) 已知等腰三角形两边的长分别为5 cm和6 cm,则其周长为 cm.

(2) 16或17

【分析】
等腰三角形的两条腰长度相等，题目仅给出两条边长分别为5cm和6cm，未明确哪条是腰、哪条是底边，因此需要分两种情况讨论。同时每种情况都要利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证能否构成三角形，最后计算对应周长即可。
【解析】
由于等腰三角形的腰长和底边长未明确，分两种情况讨论：
1. 当腰长为5cm，底边长为6cm时：
三边长为5cm、5cm、6cm，验证三边关系：$5+5＞6$，满足三角形构成条件，
此时周长为$5+5+6=16\mathrm{cm}$；
2. 当腰长为6cm，底边长为5cm时：
三边长为6cm、6cm、5cm，验证三边关系：$6+5＞6$，满足三角形构成条件，
此时周长为$6+6+5=17\mathrm{cm}$。
综上，该等腰三角形的周长为16cm或17cm。
【答案】
16或17
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题核心易错点是漏写其中一种周长结果，解题时遇到未明确等腰三角形腰/底边的题型，要主动分类讨论，同时不要忽略验证三边是否符合三角形构成条件，避免出现无效解。
【难度系数】
0.7

2 小明把长度为12 cm的铁丝围成三边长为整数的等腰三角形，则围成的等腰三角形的腰长为 cm.

2. 4或5

【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先，等腰三角形有两条边长相等，我们可以先设腰长为未知数，用周长表示出底边长；其次，三角形的三边长都必须是正整数，同时要满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），据此列出不等式求出腰长的取值范围；最后在取值范围内找出符合条件的整数解，再验证是否能构成三角形即可。
【解析】
设该等腰三角形的腰长为$x\ \mathrm{cm}$，则底边长为$(12 - 2x)\ \mathrm{cm}$。
根据三角形边长的性质和三边关系，可得：
1. 边长为正，因此底边长$12 - 2x ＞ 0$，解得$x ＜ 6$；
2. 三角形任意两边之和大于第三边，因此两腰之和大于底边长，即$2x ＞ 12 - 2x$，解得$x ＞ 3$。
综上，腰长$x$的取值范围为$3 ＜ x ＜ 6$。
又因为三边长均为整数，所以$x$可取的整数值为4或5。
验证：当$x=4$时，三边长为4cm、4cm、4cm，满足三边关系；当$x=5$时，三边长为5cm、5cm、2cm，满足三边关系，均符合要求。
【答案】
4或5
【知识点】
等腰三角形的定义；三角形三边关系；一元一次不等式的应用
【点评】
本题属于等腰三角形相关的基础题型，解题的关键是结合周长公式和三边关系确定边长的取值范围，注意求出边长后要验证是否满足三角形的构成条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.7

3（1）（2025 徐州鼓楼期中）已知等腰三角形的一个角为 $70°$，则这个等腰三角形的顶角为。

3（1）70°或40°

【分析】
等腰三角形的两个底角相等，题目仅给出一个角为70°，未明确该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论，同时需确保每种情况的三个内角和为180°，符合三角形内角和要求。首先考虑70°为顶角的情况，直接得到顶角度数；再考虑70°为底角的情况，结合等腰三角形底角相等和内角和定理计算顶角，最后验证两种情况均成立即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若已知的70°角是等腰三角形的顶角，此时顶角的度数就是70°；
② 若已知的70°角是等腰三角形的底角，根据等腰三角形两底角相等的性质，另一个底角也为70°，结合三角形内角和为180°，可得顶角的度数为：$180° - 70° × 2 = 40°$。
两种情况均满足三角形内角和定理，均有效。
【答案】
$70°$或$40°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的基础题，易错点是忽略已知角未明确类型，未进行分类讨论导致漏解，解题后要注意验证结果是否符合三角形的基本性质。
【难度系数】
0.7

(2)已知等腰三角形的一个外角是$100°$,则这个等腰三角形的底角的度数是.

(2) 50°或80°

【分析】
已知等腰三角形的一个外角为100°，但未明确该外角是顶角的外角还是底角的外角，因此需要分类讨论。首先利用“外角与相邻内角互补”求出对应的内角，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质，分别计算两种情况下的底角度数，最后验证结果是否符合三角形内角要求即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 若100°是等腰三角形顶角的外角：
则顶角的度数为 $180° - 100° = 80°$，
因为等腰三角形两底角相等，所以底角的度数为 $\frac{180° - 80°}{2} = 50°$；
② 若100°是等腰三角形底角的外角：
则底角的度数为 $180° - 100° = 80°$，
此时顶角度数为 $180° - 80° × 2 = 20°$，符合三角形内角和要求。
综上，底角的度数是50°或80°。
【答案】
50°或80°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的常见题型，解题关键是明确外角对应内角的位置，切勿漏解，计算后要注意验证结果是否满足三角形的内角性质。
【难度系数】
0.7

4（2025南京期末）在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$D$在边$AC$上，连接$BD$。若$△ ABD$和$△ BCD$都是等腰三角形，则$∠ A=$。

4. 36°或$(\dfrac{180}{7})°$

【分析】
解决本题的核心是等腰三角形未明确腰和底边时需分类讨论，结合三角形内角和、外角定理求解：
1. 首先由AB=AC可知△ABC为等腰三角形，设∠A=x，可推出底角∠ABC=∠C=(180°-x)/2；
2. 对△ABD的等腰情况分类：排除AB=AD（D在AC上，AD＜AC=AB）、AB=BD（验证后无有效解）的情况，仅AD=BD成立，此时得∠ABD=∠A=x，由外角定理得∠BDC=∠A+∠ABD=2x；
3. 再对△BCD的等腰情况分类，分别讨论BD=BC、BC=CD两种符合要求的情况，结合内角和列方程求解，排除矛盾情况后即可得到答案。
【解析】
设$∠ A=x$，
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ ABC=∠ C=\dfrac{180° -x}{2}$。
先分析$△ ABD$的等腰情况：
若$AB=AD$：$D$在$AC$上，$AD＜AC=AB$，矛盾，舍去；
若$AB=BD$：计算后$∠ ABD$为负，不符合实际，舍去；
若$AD=BD$：则$∠ ABD=∠ A=x$，由三角形外角性质得$∠ BDC=∠ A+∠ ABD=2x$，该情况成立。
再分析$△ BCD$的等腰情况：
1. 当$BD=BC$时，$∠ C=∠ BDC=2x$，
列方程：$\dfrac{180° -x}{2}=2x$，
解得$x=36°$，符合题意；
2. 当$BC=CD$时，$∠ CBD=∠ BDC=2x$，
则$∠ ABC=∠ ABD+∠ CBD=x+2x=3x$，
列方程：$3x=\dfrac{180° -x}{2}$，
解得$x=(\dfrac{180}{7})°$，符合题意；
3. 当$BD=CD$时，推导后与$∠ BDC=2x$矛盾，舍去。
综上，$∠ A$的度数为$36°$或$(\dfrac{180}{7})°$。
【答案】
$36°$或$(\dfrac{180}{7})°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，解题关键是明确等腰三角形未指定腰和底时要全面分类，同时要结合三角形的位置关系、内角取值范围排除不合题意的情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.3

5（2025南通崇川月考）若等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为$40°$，则顶角的度数为 （）

A.$50°$
B.$120°$
C.$50°$或$120°$
D.$50°$或$130°$

5. D

【分析】
本题需要结合等腰三角形的特征分类讨论求解，解题思路如下：1. 首先明确等腰三角形腰上的高的位置不固定：当顶角为锐角时，高在三角形内部；当顶角为钝角时，高在三角形外部，直角等腰三角形不符合夹角为40°的条件可排除。2. 针对两种情况分别结合直角三角形两锐角互余的性质计算顶角的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当等腰三角形的顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部：
∵ 高与腰垂直，夹角为90°，已知高与另一腰的夹角为40°
∴ 顶角 = 90° - 40° = 50°
② 当等腰三角形的顶角为钝角时，腰上的高在三角形外部：
∵ 高与腰垂直，夹角为90°，已知高与另一腰的夹角为40°
∴ 顶角的邻补角 = 90° - 40° = 50°
∴ 顶角 = 180° - 50° = 130°
综上，顶角的度数为50°或130°。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质，直角三角形性质，分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略等腰三角形高的位置有两种情况，仅计算锐角等腰三角形的顶角度数导致漏解，解题时遇到未明确形状的等腰三角形相关问题，要注意考虑是否需要分类讨论。
【难度系数】
0.6

6 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AB$的垂直平分线与边$AC$所在的直线相交所得的锐角为$40°$，则$∠ B$的度数为________。

6. 65°或25°

【分析】
本题需要结合等腰三角形性质与线段垂直平分线的性质求解，注意题目中“与AC所在的直线相交”的表述，需分两种情况分类讨论：①AB的垂直平分线与线段AC相交，对应△ABC为锐角等腰三角形；②AB的垂直平分线与CA的延长线相交，对应△ABC为钝角等腰三角形。先根据相交的锐角求出顶角∠A的度数，再利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°计算底角∠B的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当AB的垂直平分线与线段AC相交时：
设AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，由题意得∠ADE=40°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠A=90°-40°=50°。
又
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，根据三角形内角和为180°，得∠B=(180°-∠A)÷2=(180°-50°)÷2=65°。
2. 当AB的垂直平分线与CA的延长线相交时：
设AB的垂直平分线交AB于点E，交CA的延长线于点D，由题意得∠ADE=40°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠DAB=90°-40°=50°。
此时顶角∠BAC=180°-∠DAB=130°，又
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，根据三角形内角和为180°，得∠B=(180°-130°)÷2=25°。
综上，∠B的度数为65°或25°。
【答案】
65°或25°
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是忽略“所在直线”的表述，仅考虑垂直平分线与线段AC相交的情况，导致漏解。解题时要注意抓住关键词，结合几何图形的多种可能性进行分类讨论，避免思维定势。
【难度系数】
0.6

7 (2025徐州期中)如图,在△ABC中,∠B=25°,∠A=100°,点P在△ABC的三边上运动,当△PAC成为等腰三角形时,其顶角的度数是。

7. 100°或55°或70°

【分析】
首先利用三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再根据点P在△ABC三边运动的条件，分情况讨论△PAC为等腰三角形的情形：首先排除P在AC上三点共线不能构成三角形的情况；其次P在AB上时，∠PAC为100°的钝角，等腰三角形中钝角只能为顶角，直接得到对应顶角度数；最后P在BC上时，分别以A、C、P为等腰三角形的顶角顶点，结合等腰三角形两底角相等的性质计算顶角度数，汇总所有符合条件的结果即可。
【解析】
首先计算∠ACB的度数：
在△ABC中，$∠ ACB=180°-∠ BAC-∠ B=180°-100°-25°=55°$。
分点P的位置讨论：
1. 当点P在AB边上时：
△PAC中，$∠ PAC=∠ BAC=100°$，为钝角，等腰三角形中钝角只能作为顶角，此时$AP=AC$，顶角为$100°$，符合要求。
2. 当点P在AC边上时：
P、A、C三点共线，无法构成三角形，舍去该情况。
3. 当点P在BC边上时，分三种等腰情形讨论：
（1）若$AC=PC$，此时等腰△PAC的顶角为$∠ ACP=∠ ACB=55°$；
（2）若$AP=AC$，此时等腰△PAC的顶角为$∠ PAC$，底角$∠ ACP=∠ APC=55°$，故顶角$∠ PAC=180°-55°×2=70°$；
（3）若$PA=PC$，此时等腰△PAC的顶角为$∠ APC$，底角$∠ PAC=∠ ACP=55°$，故顶角$∠ APC=180°-55°×2=70°$。
综上，△PAC为等腰三角形时，顶角的度数为$100°$或$55°$或$70°$。
【答案】
$100°$或$55°$或$70°$
【知识点】
三角形内角和定理，等腰三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，解题时需依次按点的位置、等腰顶点两个维度分类，同时要注意等腰三角形中钝角不能为底角的隐含限制，避免出现漏解、错解的情况。
【难度系数】
0.6

8 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ B=30°$，点 D 在边 BC 上运动（点 D 不与点 B，C 重合），连接 AD，作$∠ ADE=30°$，DE 交边 AB 于点 E。在点 D 的运动过程中，当$△ ADE$是等腰三角形时，求$∠ CAD$的度数。

8. 解:因为$AB=AC$,所以$∠ B=∠C=30°$,
则$∠BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-30°-30°=120°$.
①,当$DA=DE$时,因为$∠ADE=30°$,
所以$∠DAE=\frac{1}{2}(180°-∠ADE)=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$,
所以$∠CAD=∠BAC-∠DAE=120°-75°=45°$;
②,当$EA=ED$时,$∠EAD=∠EDA=30°$,
所以$∠CAD=∠BAC-∠DAE=120°-30°=90°$;
③因为点 D 不与点 B,C重合,$∠ADE=∠C=30°$,
所以以 AE,AD 为腰的等腰三角形不存在.
综上,$∠CAD$的度数为$45°$或$90°$.

【分析】
首先根据等腰△ABC的性质，由AB=AC、∠B=30°可求出∠C和∠BAC的度数。由于△ADE为等腰三角形时腰的对应关系不明确，且∠ADE固定为30°，因此需要分三类讨论：DA=DE、EA=ED、AE=AD。分别计算每种情况下∠DAE的度数，再结合点D不与B、C重合的限制排除不符合题意的情况，最终通过∠BAC减去∠DAE即可得到∠CAD的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
则∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°。
①当DA=DE时，
∵∠ADE=30°，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}(180°-∠ADE)=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$，
∴∠CAD=∠BAC-∠DAE=120°-75°=45°；
②当EA=ED时，∠EAD=∠EDA=30°，
∴∠CAD=∠BAC-∠DAE=120°-30°=90°；
③
∵点D不与点B，C重合，∠ADE=∠C=30°，
∴以AE、AD为腰的等腰三角形不存在。
综上，∠CAD的度数为45°或90°。
【答案】
∠CAD的度数为45°或90°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题考查等腰三角形相关的动态问题，解题的关键是明确等腰三角形腰不明确时要分类讨论，同时要结合题目给出的动点限制条件排除不符合题意的情况，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6