1. 如图，D是$□ OABC$内一点，AD与x轴平行，BD与y轴平行，$BD=\sqrt{3}$，$∠ BDC=120°$，$S_{△ BCD}=\frac{9}{2}\sqrt{3}$，若反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象经过C，D两点，则k的值为________。

$-12\sqrt{3}$

2. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=mx+n(m≠0)$的图象与y轴交于点 C,与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象交于 A,B 两点,点 A 在第一象限,纵坐标为 4,点 B 在第三象限,$BM⊥x$轴,垂足为 M,$BM=OM=2$.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)连接 OB,MC,求四边形 MBOC 的面积.

解:(1)$∵BM=OM=2,∴$点 B 的坐标为$(-2,-2)$.
$∵$反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点 B,
则$-2=\frac{k}{-2}$,解得$k=4$,
$∴$反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$.
$∵$点 A 的纵坐标是 4,$∴4=\frac{4}{x}$,解得$x=1$,
$∴$点 A 的坐标为$(1,4)$.
$∵$一次函数$y=mx+n(m≠0)$的图象过点$A(1,4)$,$B(-2,-2)$,
$∴\begin{cases}m+n=4,\\-2m+n=-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=2,\\n=2,\end{cases}$
$∴$一次函数的表达式为$y=2x+2$.
(2)$∵y=2x+2$与 y 轴交于点 C,$∴$点 C 的坐标为$(0,2)$.
$∵$点$B(-2,-2)$,$BM⊥x$轴,
$∴M(-2,0),MB// OC,∴OC=MB=2$,
$∴$四边形 MBOC 是平行四边形,
$∴S_{四边形MBOC}=OM·OC=4$.

3. 如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,D分别在x轴,y轴上,对角线$BD// x$轴,反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象经过矩形对角线的交点E,若点$A(1,0),D(0,2)$,则k的值为________.

5

4. 在平面直角坐标系$xOy$中，已知反比例函数$y_1=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象与正比例函数$y_2=mx(m＞0)$的图象交于点$A,C$，与正比例函数$y_3=nx(n＞0)$的图象交于点$B,D$，设点$A,D$的横坐标分别为$s,t(0＜s＜t)$。
(1)如图①，若点$A$的坐标为$(2,4)$。
①求$m,k$的值；
②若点$D$的横坐标为$4$，连接$AD$，求$△ AOD$的面积。
(2)如图②，依次连接$AB,BC,CD$，若四边形$ABCD$为矩形，求$mn$的值。

解:(1)①把$A(2,4)$代入$y_2=mx$,得$4=2m,∴m=2$.
把$A(2,4)$代入$y_1=\frac{k}{x}(k＞0)$,得$4=\frac{k}{2},∴k=8$.
故$m=2,k=8$.
②如答图,延长 DA 交 y 轴于点 K.
$∵$反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象过点 D,点 D 的横坐标为 4,
$∴D(4,2)$.
设直线 AD 的函数表达式为$y=ax+b$,
则$\begin{cases}2a+b=4,\\4a+b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=6,\end{cases}$
$∴$直线 AD 的函数表达式为$y=-x+6$,
$∴K(0,6),∴OK=6$,
$∴S_{△AOD}=S_{△DOK}-S_{△AOK}=\frac{1}{2}×6×4-\frac{1}{2}×6×2=6$,
故$△AOD$的面积为 6.

(2)由题意,得$A(s,ms),D(t,nt)$,
$∵$反比例函数$y_1=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象经过点 A,D,
$∴k=ms^2=nt^2$①.
$∵$四边形 ABCD 为矩形,$∴AC=BD,∴OA=OD$,
$∴s^2+m^2s^2=t^2+n^2t^2$②,
由①②联立,得$(1+m^2)\frac{n}{m}t^2=(1+n^2)t^2$,
$∵t≠0,∴(1+m^2)n=(1+n^2)m$,
$∴(m-n)(mn-1)=0.∵m≠n,∴1-mn=0$,即$mn=1$.