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7.(2025·苏州月考)图①是某新款茶吧机,开始加热时,水温每分钟上升$20\ °\mathrm{C}$,加热到$100\ °\mathrm{C}$时,停止加热,水温开始下降,此时水温$y(°\mathrm{C})$是通电时间$x(\mathrm{min})$的反比例函数.若给水温为$20\ °\mathrm{C}$的水进行加热,水温$y$与通电时间$x$之间的函数关系如图②所示.
(1)在水温下降的过程中,求水温$y$关于通电时间$x$的函数表达式;
(2)在该过程中,水温不低于$40\ °\mathrm{C}$的时间有多少分钟?
(1)在水温下降的过程中,求水温$y$关于通电时间$x$的函数表达式;
(2)在该过程中,水温不低于$40\ °\mathrm{C}$的时间有多少分钟?
答案
7.解:(1)$\because$开始加热时每分钟上升 $20\ °\mathrm{C}$,
$\therefore$水温从 $20\ °\mathrm{C}$ 加热到 $100\ °\mathrm{C}$,所需时间为$\dfrac{100-20}{20}=4(\mathrm{min})$.
设水温下降过程中,$y$ 与 $x$ 的函数表达式为 $y=\dfrac{k}{x}$,
由题意,得点$(4,100)$在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象上,
$\therefore \dfrac{k}{4}=100$,解得 $k=400$,
$\therefore$水温下降过程中,$y$ 与 $x$ 的函数表达式是 $y=\dfrac{400}{x}$.
(2)在加热过程中,水温为 $40\ °\mathrm{C}$ 时,所需时间为$\dfrac{40-20}{20}=1(\mathrm{min})$,
即 $1∼4\ \mathrm{min}$ 温度都不低于 $40\ °\mathrm{C}$.
在降温过程中,水温为 $40\ °\mathrm{C}$ 时,$40=\dfrac{400}{x}$,
解得 $x=10$,
即 $4∼10\ \mathrm{min}$ 内温度都不低于 $40\ °\mathrm{C}$.
$\because 10-1=9(\mathrm{min})$,
$\therefore$一个加热周期内水温不低于 $40\ °\mathrm{C}$ 的时间为 $9\ \mathrm{min}$.
$\therefore$水温从 $20\ °\mathrm{C}$ 加热到 $100\ °\mathrm{C}$,所需时间为$\dfrac{100-20}{20}=4(\mathrm{min})$.
设水温下降过程中,$y$ 与 $x$ 的函数表达式为 $y=\dfrac{k}{x}$,
由题意,得点$(4,100)$在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象上,
$\therefore \dfrac{k}{4}=100$,解得 $k=400$,
$\therefore$水温下降过程中,$y$ 与 $x$ 的函数表达式是 $y=\dfrac{400}{x}$.
(2)在加热过程中,水温为 $40\ °\mathrm{C}$ 时,所需时间为$\dfrac{40-20}{20}=1(\mathrm{min})$,
即 $1∼4\ \mathrm{min}$ 温度都不低于 $40\ °\mathrm{C}$.
在降温过程中,水温为 $40\ °\mathrm{C}$ 时,$40=\dfrac{400}{x}$,
解得 $x=10$,
即 $4∼10\ \mathrm{min}$ 内温度都不低于 $40\ °\mathrm{C}$.
$\because 10-1=9(\mathrm{min})$,
$\therefore$一个加热周期内水温不低于 $40\ °\mathrm{C}$ 的时间为 $9\ \mathrm{min}$.
8.实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量$ y $（毫克/百毫升）关于时间$ x $（时）变化的图象如图所示（图象由线段$ OA $与部分双曲线$ AB $组成）.国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路.
（1）求部分双曲线$ AB $的函数表达式；
（2）参照上述数学模型，假设某驾驶员22:00在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上6:30能否驾车去上班？请说明理由.
（1）求部分双曲线$ AB $的函数表达式；
（2）参照上述数学模型，假设某驾驶员22:00在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上6:30能否驾车去上班？请说明理由.
答案
8.解:(1)根据题意,直线 $OA$ 过点 $(\dfrac{1}{4},20)$,则直线 $OA$ 的函数表达式为 $y=80x$.
当 $x=\dfrac{3}{2}$ 时,$y=120$,即 $A(\dfrac{3}{2},120)$.
设双曲线的函数表达式为 $y=\dfrac{k}{x}$,将点 $A(\dfrac{3}{2},120)$ 代入,得 $k=180$,
$\therefore$部分双曲线 $AB$ 的函数表达式为 $y=\dfrac{180}{x}(x≥\dfrac{3}{2})$.
(2)不能.理由如下:
由 $y=\dfrac{180}{x}$,得当 $y=20$ 时,$x=9$.
从22:00到第二天早上6:30时间间距为8.5小时,
$\because 8.5＜9$,
$\therefore$驾驶员第二天早上6:30不能驾车去上班.
当 $x=\dfrac{3}{2}$ 时,$y=120$,即 $A(\dfrac{3}{2},120)$.
设双曲线的函数表达式为 $y=\dfrac{k}{x}$,将点 $A(\dfrac{3}{2},120)$ 代入,得 $k=180$,
$\therefore$部分双曲线 $AB$ 的函数表达式为 $y=\dfrac{180}{x}(x≥\dfrac{3}{2})$.
(2)不能.理由如下:
由 $y=\dfrac{180}{x}$,得当 $y=20$ 时,$x=9$.
从22:00到第二天早上6:30时间间距为8.5小时,
$\because 8.5＜9$,
$\therefore$驾驶员第二天早上6:30不能驾车去上班.
9. 方方驾驶小汽车从 A 地匀速行驶到 B 地，行驶里程为 480 千米，设小汽车的行驶时间为 t（时），行驶速度为 v（千米/时），且全程速度限定为不超过 120 千米/时。
(1)求 v 关于 t 的函数表达式。
(2)方方上午 8 时驾驶小汽车从 A 地出发。
①方方需在当天 12 时 48 分至 14 时（含 12 时 48 分和 14 时）之间到达 B 地，求小汽车行驶速度 v 的范围；
②方方能否在当天 11 时 30 分前到达 B 地？说明理由。
(1)求 v 关于 t 的函数表达式。
(2)方方上午 8 时驾驶小汽车从 A 地出发。
①方方需在当天 12 时 48 分至 14 时（含 12 时 48 分和 14 时）之间到达 B 地，求小汽车行驶速度 v 的范围；
②方方能否在当天 11 时 30 分前到达 B 地？说明理由。
答案
9.解:(1) $\because vt=480$,且全程速度限定为不超过120千米/时,
$\therefore v$ 关于 $t$ 的函数表达式为 $v=\dfrac{480}{t}(t≥4)$.
(2)①8时至12时48分时长为$\dfrac{24}{5}$小时,8时至14时时长为6小时,将 $t=6$ 代入 $v=\dfrac{480}{t}$,得 $v=80$;将 $t=\dfrac{24}{5}$ 代入 $v=\dfrac{480}{t}$,得 $v=100$,
$\therefore$小汽车行驶速度 $v$ 的范围为 80 千米/时$≤ v≤100$ 千米/时.
②方方不能在当天 11 时 30 分前到达 B 地.理由如下:
8时至11时30分时长为$\dfrac{7}{2}$小时,$\dfrac{7}{2}＜4$.
故方方不能在当天 11 时 30 分前到达 B 地.
$\therefore v$ 关于 $t$ 的函数表达式为 $v=\dfrac{480}{t}(t≥4)$.
(2)①8时至12时48分时长为$\dfrac{24}{5}$小时,8时至14时时长为6小时,将 $t=6$ 代入 $v=\dfrac{480}{t}$,得 $v=80$;将 $t=\dfrac{24}{5}$ 代入 $v=\dfrac{480}{t}$,得 $v=100$,
$\therefore$小汽车行驶速度 $v$ 的范围为 80 千米/时$≤ v≤100$ 千米/时.
②方方不能在当天 11 时 30 分前到达 B 地.理由如下:
8时至11时30分时长为$\dfrac{7}{2}$小时,$\dfrac{7}{2}＜4$.
故方方不能在当天 11 时 30 分前到达 B 地.
