12. (2024秋·枣阳市期末)如图，$AD=BC$，$AC=BD$，求证：$△ EAB$是等腰三角形。

证明:在△ADB和△BCA中,
AD = BC,AC = BD,AB = BA,
∴ △ADB≌△BCA(SSS),
∴ ∠DBA=∠CAB,
∴ AE = BE,
∴ △EAB是等腰三角形.

13. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE.
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数.

(1) 证明:
∵ AB=AC,
∴ ∠ABC=∠ACB,在△DBE和△ECF中, $\begin{cases} BE=CF, \\ ∠ABC=∠ACB, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴ △DBE≌△ECF(SAS),
∴ DE=EF,
∴ △DEF是等腰三角形;
(2) 如图,
∵ △DBE≌△ECF,
∴ ∠1=∠3,∠2=∠4.
∵ ∠A+∠B+∠C=180°,
∴ ∠B = $\frac{1}{2}$(180°- 40°)= 70°.
∴ ∠1+∠2 = 110°,
∴ ∠3+∠2 = 110°,
∴ ∠DEF = 70°.

14. (2023秋·枣阳市期末)如图,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,E是BC上一点,$BE=CD$,$EF// AD$交AB于F点,交CA的延长线于P,$CH// AB$交AD的延长线于点H.
(1)求证:$△ APF$是等腰三角形;
(2)猜想AB与PC的大小有什么关系?证明你的猜想.

(1) 证明:
∵ EF//AD,
∴ ∠1=∠4,∠2=∠P.
∵ AD平分∠BAC,
∴ ∠1=∠2,
∴ ∠4=∠P,
∴ AF=AP,即△APF是等腰三角形;
(2) AB = PC. 理由如下:
证明:
∵ CH//AB,
∴ ∠5=∠B,∠H=∠1.
∵ EF//AD,
∴ ∠1=∠3,
∴ ∠H=∠3,在△BEF和△CDH中, $\begin{cases} ∠5=∠B, \\ ∠H=∠3, \\ BE=CD, \end{cases}$
∴ △BEF≌△CDH(AAS),
∴ BF=CH.
∵ AD平分∠BAC,
∴ ∠1=∠2,
∴ ∠2=∠H,
∴ AC=CH,
∴ AC=BF.
∵ AB=AF+BF, PC=AP+AC,
∴ AB = PC.

15. (2024秋·安庆期末)已知在△ABC中,AB=AC,点D是边AB上一点,∠BCD=∠A.
(1)如图1,试说明CD=CB的理由;
(2)如图2,过点B作BE⊥AC,垂足为点E,BE与CD相交于点F.
①试说明∠BCD=2∠CBE的理由;
②如果△BDF是等腰三角形,求∠A的度数.

(1)
∵ AB=AC,
∴ ∠ABC=∠ACB.
∵ ∠BDC是△ADC的一个外角,
∴ ∠BDC=∠A+∠ACD.
∵ ∠ACB=∠BCD+∠ACD, ∠BCD = ∠A,
∴ ∠BDC= ∠ACB,
∴ ∠ABC=∠BDC,
∴ CD=CB;
(2) ①
∵ BE⊥AC,
∴ ∠BEC = 90°,
∴ ∠CBE+∠ACB = 90°,设∠CBE=α,则∠ACB=90°-α,
∴ ∠ACB=∠ABC=∠BDC = 90°- α,
∴ ∠BCD = 180° - ∠BDC - ∠ABC = 180° - (90° - α) - (90° - α) = 2α,
∴ ∠BCD=2∠CBE;
②
∵ ∠BFD是△CBF的一个外角,
∴ ∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α,分三种情况:
①当BD = BF时,
∴ ∠BDC = ∠BFD = 3α.
∵ ∠ACB = ∠ABC = ∠BDC = 90°-α,
∴ 90°-α=3α,
∴ α=22.5°,
∴ ∠A=∠BCD=2α=45°.
②当DB = DF时,
∴ ∠DBE=∠BFD=3α.
∵ ∠DBE=∠ABC-∠CBE=90°-α-α=90°-2α,
∴ 90°-2α=3α,
∴ α=18°,
∴ ∠A=∠BCD=2α=36°;
③当FB = FD时,
∴ ∠DBE=∠BDF,
∵ ∠BDF=∠ABC＞∠DBF,
∴ 不存在FB=FD,综上所述:如果△BDF是等腰三角形,∠A的度数为45°或36°.