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7. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$的平分线交$AC$于点$D$，过点$D$作$DE// BC$交$AB$于点$E$。
（1）求证：$BE＝DE$；
（2）若$∠ A＝80°$，$∠ C＝40°$，求$∠ BDE$的度数。
（1）求证：$BE＝DE$；
（2）若$∠ A＝80°$，$∠ C＝40°$，求$∠ BDE$的度数。
答案
(1) 证明:在△ABC中,∠ABC的平分线交AC于点D,
∴ ∠ABD = ∠CBD.
∵ DE // BC,
∴ ∠EDB = ∠CBD,
∴ ∠EBD = ∠EDB,
∴ BE = DE.
(2)
∵ ∠A= 80°, ∠C = 40°,
∴ ∠ABC = 60°.
∵ ∠ABC 的平分线交AC于点D,
∴ ∠ABD = ∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°,由(1)知∠EDB=∠EBD=30°.
∴ ∠ABD = ∠CBD.
∵ DE // BC,
∴ ∠EDB = ∠CBD,
∴ ∠EBD = ∠EDB,
∴ BE = DE.
(2)
∵ ∠A= 80°, ∠C = 40°,
∴ ∠ABC = 60°.
∵ ∠ABC 的平分线交AC于点D,
∴ ∠ABD = ∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°,由(1)知∠EDB=∠EBD=30°.
8. (2024秋·盐城期末)如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,BF平分∠ABC交CD于E,交AC于F.求证:CE=CF. 
答案
证明:
∵ ∠ACB = 90°, CD ⊥ AB,
∴ ∠CBF+∠CFB = ∠DBE+∠DEB = 90°.
∵ BF 平分∠ABC,
∴ ∠CBF = ∠DBE,
∴ ∠CFB = ∠DEB,又
∵ ∠FEC = ∠DEB,
∴ ∠CFB = ∠FEC,
∴ CE=CF.
∵ ∠ACB = 90°, CD ⊥ AB,
∴ ∠CBF+∠CFB = ∠DBE+∠DEB = 90°.
∵ BF 平分∠ABC,
∴ ∠CBF = ∠DBE,
∴ ∠CFB = ∠DEB,又
∵ ∠FEC = ∠DEB,
∴ ∠CFB = ∠FEC,
∴ CE=CF.
9. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD⊥ BC$于点$D$.
(1)若$∠ C=42°$,求$∠ BAD$的度数;
(2)若点$E$在边$AB$上,$EF// AC$交$AD$的延长线于点$F$.求证:$AE=FE$.
(1)若$∠ C=42°$,求$∠ BAD$的度数;
(2)若点$E$在边$AB$上,$EF// AC$交$AD$的延长线于点$F$.求证:$AE=FE$.
答案
(1)
∵ AB=AC,AD⊥BC于点D,
∴ ∠BAD = ∠CAD,∠ADC = 90°,又∠C = 42°,
∴ ∠BAD=∠CAD = 90°- 42°= 48°;
(2)
∵ AB = AC,AD⊥BC于点D,
∴ ∠BAD = ∠CAD.
∵ EF//AC,
∴ ∠F=∠CAD,
∴ ∠BAD=∠F,
∴ AE=FE.
∵ AB=AC,AD⊥BC于点D,
∴ ∠BAD = ∠CAD,∠ADC = 90°,又∠C = 42°,
∴ ∠BAD=∠CAD = 90°- 42°= 48°;
(2)
∵ AB = AC,AD⊥BC于点D,
∴ ∠BAD = ∠CAD.
∵ EF//AC,
∴ ∠F=∠CAD,
∴ ∠BAD=∠F,
∴ AE=FE.
10. (2025春·二七区阶段考)如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线相交于$F$，过$F$作$DE// BC$，交$AB$于$D$，交$AC$于$E$，那么下列结论正确的有（
①$△ BDF$，$△ CEF$都是等腰三角形；②$DE＝DB＋CE$；③$△ ADE$的周长等于$AB＋BC$；④$BF＝CF$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
第10题 第11题
B
）①$△ BDF$，$△ CEF$都是等腰三角形；②$DE＝DB＋CE$；③$△ ADE$的周长等于$AB＋BC$；④$BF＝CF$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
第10题 第11题
答案
B
11. (2024秋·通许县期末)如图,在格点中找一点C,使得△ABC是等腰三角形,且AB为其中的一条腰,这样的点C一共有 (
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
C
)A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
C
