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12.某快递企业为提高工作效率,拟购买A,B两种型号智能机器人进行快递分拣.相关信息如下:
信息一
信息二
(1)求A,B两种型号智能机器人的单价;
(2)现该企业准备用不超过700万元购买A,B两种型号智能机器人共10台.则该企业选择哪种购买方案,能使每天分拣快递的件数最多?
信息一
信息二
(1)求A,B两种型号智能机器人的单价;
(2)现该企业准备用不超过700万元购买A,B两种型号智能机器人共10台.则该企业选择哪种购买方案,能使每天分拣快递的件数最多?
答案
12.解:(1)设A型智能机器人的单价为x万元,B型智能机器人的单价为y万元.根据题意,得
$\begin{cases}x+3y=260,\\3x+2y=360,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=80,\\y=60,\end{cases}$
答:A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元.
(2)设购买A型智能机器人a台,则购买B型智能机器人$(10-a)$台.
由题意,得$80a+60(10-a)≤700$,解得$a≤5$.
因为每天分拣快递的件数$=22a+18(10-a)=4a+180$，
所以当$a=5$时,每天分拣快递的件数最多为$4×5+180=200$(万件).
答:选择购买A型智能机器人5台,购买B型智能机器人5台.
$\begin{cases}x+3y=260,\\3x+2y=360,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=80,\\y=60,\end{cases}$
答:A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元.
(2)设购买A型智能机器人a台,则购买B型智能机器人$(10-a)$台.
由题意,得$80a+60(10-a)≤700$,解得$a≤5$.
因为每天分拣快递的件数$=22a+18(10-a)=4a+180$，
所以当$a=5$时,每天分拣快递的件数最多为$4×5+180=200$(万件).
答:选择购买A型智能机器人5台,购买B型智能机器人5台.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问求解A、B两种型号机器人的单价，属于二元一次方程组的应用类问题，我们可分别设A、B型机器人的单价为x万元、y万元，结合题干给出的两种购买组合的总费用作为等量关系列方程组，求解即可得到两种机器人的单价。第(2)问为最优方案问题，首先设购买A型机器人a台，则B型机器人购买数量为(10-a)台，先根据总采购费用不超过700万元的限制列一元一次不等式，求出a的取值范围；再结合两种机器人的日分拣量，列出总日分拣量关于a的表达式，根据表达式的增减性，在a的取值范围内取对应最值的a值，即可得到最优采购方案。
【解析】
(1)设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}x+3y=260\\3x+2y=360\end{cases}$
解方程组：由第一个方程得$x=260-3y$，代入第二个方程得$3(260-3y)+2y=360$，展开计算得$780-9y+2y=360$，即$-7y=-420$，解得$y=60$，将$y=60$代入$x=260-3y$得$x=260-180=80$，所以方程组的解为$\begin{cases}x=80\\y=60\end{cases}$。
(2)设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人$(10-a)$台。
由总费用不超过700万元，可列不等式：
$80a+60(10-a)≤700$
展开计算得$80a+600-60a≤700$，即$20a≤100$，解得$a≤5$。
每天分拣快递的总件数为：$22a+18(10-a)=4a+180$，
由于表达式中a的系数为4＞0，因此总分拣件数随a的增大而增大，结合$a≤5$且a为非负整数，可知当a取最大值5时，总分拣件数最多，此时总件数为$4×5+180=200$（万件），对应B型机器人购买数量为$10-5=5$台。
【答案】
(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
(2)购买A型智能机器人5台、B型智能机器人5台时，每天分拣快递的件数最多。
【知识点】
1.二元一次方程组的应用
2.一元一次不等式的应用
3.一次函数最值应用
【点评】
本题以快递分拣机器人采购的实际场景为载体，综合考查了方程、不等式、一次函数的核心知识，要求学生具备提取有效信息、建立数学模型的能力，解题逻辑清晰，兼具实用性，能够较好地考查学生对知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，第(1)问求解A、B两种型号机器人的单价，属于二元一次方程组的应用类问题，我们可分别设A、B型机器人的单价为x万元、y万元，结合题干给出的两种购买组合的总费用作为等量关系列方程组，求解即可得到两种机器人的单价。第(2)问为最优方案问题，首先设购买A型机器人a台，则B型机器人购买数量为(10-a)台，先根据总采购费用不超过700万元的限制列一元一次不等式，求出a的取值范围；再结合两种机器人的日分拣量，列出总日分拣量关于a的表达式，根据表达式的增减性，在a的取值范围内取对应最值的a值，即可得到最优采购方案。
【解析】
(1)设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}x+3y=260\\3x+2y=360\end{cases}$
解方程组：由第一个方程得$x=260-3y$，代入第二个方程得$3(260-3y)+2y=360$，展开计算得$780-9y+2y=360$，即$-7y=-420$，解得$y=60$，将$y=60$代入$x=260-3y$得$x=260-180=80$，所以方程组的解为$\begin{cases}x=80\\y=60\end{cases}$。
(2)设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人$(10-a)$台。
由总费用不超过700万元，可列不等式：
$80a+60(10-a)≤700$
展开计算得$80a+600-60a≤700$，即$20a≤100$，解得$a≤5$。
每天分拣快递的总件数为：$22a+18(10-a)=4a+180$，
由于表达式中a的系数为4＞0，因此总分拣件数随a的增大而增大，结合$a≤5$且a为非负整数，可知当a取最大值5时，总分拣件数最多，此时总件数为$4×5+180=200$（万件），对应B型机器人购买数量为$10-5=5$台。
【答案】
(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
(2)购买A型智能机器人5台、B型智能机器人5台时，每天分拣快递的件数最多。
【知识点】
1.二元一次方程组的应用
2.一元一次不等式的应用
3.一次函数最值应用
【点评】
本题以快递分拣机器人采购的实际场景为载体，综合考查了方程、不等式、一次函数的核心知识，要求学生具备提取有效信息、建立数学模型的能力，解题逻辑清晰，兼具实用性，能够较好地考查学生对知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
13.为落实“五育并举”校本课程方案，某中学组织本校师生参加红色研学实践活动，现租用甲、乙两种型号的客车共10辆（每种型号至少一辆）送492名学生和10名教师参加此次实践活动.甲、乙两种型号客车的载客量和租金如表所示：
（1）最多可以租用多少辆甲型客车？
（2）有哪几种租车方案？哪种租车方案最省钱？
（1）最多可以租用多少辆甲型客车？
（2）有哪几种租车方案？哪种租车方案最省钱？
答案
13.解:(1)设租用x辆甲型客车,则租用$(10-x)$辆乙型客车.
根据题意,得$40x+55(10-x)≥492+10$,解得$x≤\frac{16}{5}$.
又因为x为正整数，
所以x的最大值为3.
答:最多可以租用3辆甲型客车.
(2)因为$x≤\frac{16}{5}$,且x为正整数，
所以x可以为1,2,3，
所以共有3种租车方案.
方案1:租用1辆甲型客车,9辆乙型客车,所需租车费用为$600×1+700×9=6900$(元);
方案2:租用2辆甲型客车,8辆乙型客车,所需租车费用为$600×2+700×8=6800$(元);
方案3:租用3辆甲型客车,7辆乙型客车,所需租车费用为$600×3+700×7=6700$(元).
因为$6900＞6800＞6700$,
所以当租用3辆甲型客车,7辆乙型客车时,租车费用最低.
根据题意,得$40x+55(10-x)≥492+10$,解得$x≤\frac{16}{5}$.
又因为x为正整数，
所以x的最大值为3.
答:最多可以租用3辆甲型客车.
(2)因为$x≤\frac{16}{5}$,且x为正整数，
所以x可以为1,2,3，
所以共有3种租车方案.
方案1:租用1辆甲型客车,9辆乙型客车,所需租车费用为$600×1+700×9=6900$(元);
方案2:租用2辆甲型客车,8辆乙型客车,所需租车费用为$600×2+700×8=6800$(元);
方案3:租用3辆甲型客车,7辆乙型客车,所需租车费用为$600×3+700×7=6700$(元).
因为$6900＞6800＞6700$,
所以当租用3辆甲型客车,7辆乙型客车时,租车费用最低.
解析
【分析】
（1）解决第一问首先要明确总人数为学生和教师人数之和，要保证所有人都能乘车，则两种客车的总载客量需大于等于总人数。设租用甲型客车x辆，乙型客车就是(10-x)辆，根据上述不等关系列不等式求解，再结合x是正整数的条件，即可求出x的最大值。
（2）结合第一问得到的x的取值范围，以及“每种型号客车至少租1辆”的要求，确定x的所有正整数取值，对应得到全部租车方案；再分别计算每个方案的租金，比较租金大小就能找到最省钱的方案。
【解析】
(1) 设租用x辆甲型客车，则租用$(10-x)$辆乙型客车。
本次参加活动的总人数为：$492+10=502$（人）
根据总载客量不小于总人数，列不等式：
$40x+55(10-x)≥502$
解不等式：
$40x + 550 - 55x ≥ 502$
$-15x ≥ -48$
不等号两边同时除以-15，不等号方向改变，得$x ≤ \frac{16}{5}=3.2$
又因为x为正整数，所以x的最大值为3。
答：最多可以租用3辆甲型客车。
(2) 由(1)可知$x ≤ 3.2$，且x为正整数，同时每种车型至少租用1辆，因此x可取1、2、3，共有3种租车方案：
方案1：租用1辆甲型客车，9辆乙型客车
所需租车费用：$600×1 + 700×9 = 6900$（元）
方案2：租用2辆甲型客车，8辆乙型客车
所需租车费用：$600×2 + 700×8 = 6800$（元）
方案3：租用3辆甲型客车，7辆乙型客车
所需租车费用：$600×3 + 700×7 = 6700$（元）
因为$6900＞6800＞6700$，所以租用3辆甲型客车、7辆乙型客车时费用最低。
【答案】
(1) 最多可以租用3辆甲型客车；
(2) 共有3种租车方案：①租用1辆甲型客车、9辆乙型客车；②租用2辆甲型客车、8辆乙型客车；③租用3辆甲型客车、7辆乙型客车。租用3辆甲型客车、7辆乙型客车的方案最省钱。
【知识点】
一元一次不等式应用；方案优化选择；有理数混合运算
【点评】
本题是不等式解决实际问题的典型题型，解题的关键是结合实际场景找到不等关系建立数学模型，再结合实际限制条件筛选可行方案，最后通过计算对比得到最优解，能够很好地考察学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问首先要明确总人数为学生和教师人数之和，要保证所有人都能乘车，则两种客车的总载客量需大于等于总人数。设租用甲型客车x辆，乙型客车就是(10-x)辆，根据上述不等关系列不等式求解，再结合x是正整数的条件，即可求出x的最大值。
（2）结合第一问得到的x的取值范围，以及“每种型号客车至少租1辆”的要求，确定x的所有正整数取值，对应得到全部租车方案；再分别计算每个方案的租金，比较租金大小就能找到最省钱的方案。
【解析】
(1) 设租用x辆甲型客车，则租用$(10-x)$辆乙型客车。
本次参加活动的总人数为：$492+10=502$（人）
根据总载客量不小于总人数，列不等式：
$40x+55(10-x)≥502$
解不等式：
$40x + 550 - 55x ≥ 502$
$-15x ≥ -48$
不等号两边同时除以-15，不等号方向改变，得$x ≤ \frac{16}{5}=3.2$
又因为x为正整数，所以x的最大值为3。
答：最多可以租用3辆甲型客车。
(2) 由(1)可知$x ≤ 3.2$，且x为正整数，同时每种车型至少租用1辆，因此x可取1、2、3，共有3种租车方案：
方案1：租用1辆甲型客车，9辆乙型客车
所需租车费用：$600×1 + 700×9 = 6900$（元）
方案2：租用2辆甲型客车，8辆乙型客车
所需租车费用：$600×2 + 700×8 = 6800$（元）
方案3：租用3辆甲型客车，7辆乙型客车
所需租车费用：$600×3 + 700×7 = 6700$（元）
因为$6900＞6800＞6700$，所以租用3辆甲型客车、7辆乙型客车时费用最低。
【答案】
(1) 最多可以租用3辆甲型客车；
(2) 共有3种租车方案：①租用1辆甲型客车、9辆乙型客车；②租用2辆甲型客车、8辆乙型客车；③租用3辆甲型客车、7辆乙型客车。租用3辆甲型客车、7辆乙型客车的方案最省钱。
【知识点】
一元一次不等式应用；方案优化选择；有理数混合运算
【点评】
本题是不等式解决实际问题的典型题型，解题的关键是结合实际场景找到不等关系建立数学模型，再结合实际限制条件筛选可行方案，最后通过计算对比得到最优解，能够很好地考察学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
