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5. 如图，小明想到A站乘公交车，此时他与公交车的距离为720 m. 假设公交车的速度是小明速度的5倍，若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站的距离最大为（
A.100 m
B.120 m
C.180 m
D.144 m
B
）A.100 m
B.120 m
C.180 m
D.144 m
答案
5.B
解析
【分析】
要保证小明不会错过公交车，临界情况是小明和公交车同时到达A站，此时小明到A站的距离就是最大值。我们可以通过设速度和路程未知数，利用两者运动时间相等的等量关系建立方程求解，若小明到A站的距离超过这个值，公交车会先到达A站，小明就会错过班车。
【解析】
设小明的速度为v，小明到A站的最大距离为s，则公交车的速度为5v。
当小明和公交车刚好同时到达A站时，二者运动时间相等，根据公式“时间=路程÷速度”可得：
小明到达A站的时间：$ t_明 = \frac{s}{v} $
公交车到达A站的时间：$ t_车 = \frac{720 - s}{5v} $
由$ t_明 = t_车 $，可列方程：
$ \frac{s}{v} = \frac{720 - s}{5v} $
由于v≠0，等式两边同时乘v得：$ s = \frac{720 - s}{5} $
两边同乘5得：$ 5s = 720 - s $
移项合并得：$ 6s = 720 $
解得：$ s = 120\ \mathrm{m} $
【答案】
B
【知识点】
行程问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题是行程类实际应用题，解题核心是抓住“同时到达A站”的临界条件，根据时间相等建立等量关系即可求解，侧重考查对临界情况的分析能力和方程建模思想。
【难度系数】
0.7
要保证小明不会错过公交车，临界情况是小明和公交车同时到达A站，此时小明到A站的距离就是最大值。我们可以通过设速度和路程未知数，利用两者运动时间相等的等量关系建立方程求解，若小明到A站的距离超过这个值，公交车会先到达A站，小明就会错过班车。
【解析】
设小明的速度为v，小明到A站的最大距离为s，则公交车的速度为5v。
当小明和公交车刚好同时到达A站时，二者运动时间相等，根据公式“时间=路程÷速度”可得：
小明到达A站的时间：$ t_明 = \frac{s}{v} $
公交车到达A站的时间：$ t_车 = \frac{720 - s}{5v} $
由$ t_明 = t_车 $，可列方程：
$ \frac{s}{v} = \frac{720 - s}{5v} $
由于v≠0，等式两边同时乘v得：$ s = \frac{720 - s}{5} $
两边同乘5得：$ 5s = 720 - s $
移项合并得：$ 6s = 720 $
解得：$ s = 120\ \mathrm{m} $
【答案】
B
【知识点】
行程问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题是行程类实际应用题，解题核心是抓住“同时到达A站”的临界条件，根据时间相等建立等量关系即可求解，侧重考查对临界情况的分析能力和方程建模思想。
【难度系数】
0.7
6.某商店为了促销一种定价为4元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价八折付款。如果小颖有44元钱，那么她最多可以购买该商品（
A.10件
B.11件
C.12件
D.13件
C
）A.10件
B.11件
C.12件
D.13件
答案
6.C
解析
【分析】
首先明确优惠规则：购买不超过5件按原价付款，超过5件的部分按原价八折付款。先计算购买5件的总费用为20元，小颖有44元，明显大于20元，说明购买数量超过5件。接下来设购买数量为x件，总费用由两部分组成：前5件的原价费用、超过5件部分的打折费用，根据总费用不超过44元列一元一次不等式求解，最后注意商品数量为正整数，取符合条件的最大值即可。
【解析】
解：先计算购买5件商品的费用：$5×4=20$元
∵$44＞20$，
∴小颖购买的商品数量超过5件
设小颖可以购买$x$件该商品（$x$为正整数，且$x＞5$）
根据总费用不超过44元，列不等式：
$5×4 + 4×0.8×(x-5) ≤ 44$
化简得：
$20 + 3.2(x-5) ≤ 44$
$20 + 3.2x - 16 ≤ 44$
$3.2x + 4 ≤ 44$
移项计算得：
$3.2x ≤ 40$
$x ≤ 12.5$
∵$x$为正整数，
∴$x$的最大值为12
即小颖最多可购买12件该商品。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式应用，打折销售问题
【点评】
本题结合生活中的优惠购物场景命题，解题核心是准确区分不同购买区间的计价规则，先判断购买数量所属的计价区间，再根据总费用限制列不等式求解，最后要结合实际意义对计算结果取整，得到符合要求的最优解。
【难度系数】
0.8
首先明确优惠规则：购买不超过5件按原价付款，超过5件的部分按原价八折付款。先计算购买5件的总费用为20元，小颖有44元，明显大于20元，说明购买数量超过5件。接下来设购买数量为x件，总费用由两部分组成：前5件的原价费用、超过5件部分的打折费用，根据总费用不超过44元列一元一次不等式求解，最后注意商品数量为正整数，取符合条件的最大值即可。
【解析】
解：先计算购买5件商品的费用：$5×4=20$元
∵$44＞20$，
∴小颖购买的商品数量超过5件
设小颖可以购买$x$件该商品（$x$为正整数，且$x＞5$）
根据总费用不超过44元，列不等式：
$5×4 + 4×0.8×(x-5) ≤ 44$
化简得：
$20 + 3.2(x-5) ≤ 44$
$20 + 3.2x - 16 ≤ 44$
$3.2x + 4 ≤ 44$
移项计算得：
$3.2x ≤ 40$
$x ≤ 12.5$
∵$x$为正整数，
∴$x$的最大值为12
即小颖最多可购买12件该商品。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式应用，打折销售问题
【点评】
本题结合生活中的优惠购物场景命题，解题核心是准确区分不同购买区间的计价规则，先判断购买数量所属的计价区间，再根据总费用限制列不等式求解，最后要结合实际意义对计算结果取整，得到符合要求的最优解。
【难度系数】
0.8
7. 如图1，一个容量为300 $\mathrm{cm}^3$的杯子中装有200 $\mathrm{cm}^3$的水，将三颗大小相同的玻璃球放入这个杯子中，结果杯中的水没有满（如图2），设每颗玻璃球的体积为$x\ \mathrm{cm}^3$，根据题意可列不等式为
$3x+200＜300$
. 答案
7.$3x+200＜300$
解析
【分析】
解题时首先要明确题目中的不等关系：放入玻璃球后，杯内水和玻璃球的总体积小于杯子的总容量。先梳理已知量：原有水的体积是200$\mathrm{cm}^3$，杯子总容量是300$\mathrm{cm}^3$，每颗玻璃球体积为$x\ \mathrm{cm}^3$，先求出3颗玻璃球的总体积，再结合“水没有满”的条件，用小于号连接总容积和杯子容量即可列出不等式。
【解析】
1. 计算3颗玻璃球的总体积：每颗玻璃球体积为$x\ \mathrm{cm}^3$，3颗的总体积为$3x\ \mathrm{cm}^3$。
2. 计算放入玻璃球后杯内的总体积：原有水的体积加玻璃球总体积，即$(200+3x)\mathrm{cm}^3$。
3. 根据“杯中的水没有满”可知，杯内总体积小于杯子的容量300$\mathrm{cm}^3$，因此列不等式为$3x+200＜300$。
【答案】
$3x+200＜300$
【知识点】
列一元一次不等式、不等关系识别
【点评】
本题是实际问题列不等式的基础题，解题关键是抓住“没有满”这类关键词对应的不等关系，注意不要写错不等号的方向。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确题目中的不等关系：放入玻璃球后，杯内水和玻璃球的总体积小于杯子的总容量。先梳理已知量：原有水的体积是200$\mathrm{cm}^3$，杯子总容量是300$\mathrm{cm}^3$，每颗玻璃球体积为$x\ \mathrm{cm}^3$，先求出3颗玻璃球的总体积，再结合“水没有满”的条件，用小于号连接总容积和杯子容量即可列出不等式。
【解析】
1. 计算3颗玻璃球的总体积：每颗玻璃球体积为$x\ \mathrm{cm}^3$，3颗的总体积为$3x\ \mathrm{cm}^3$。
2. 计算放入玻璃球后杯内的总体积：原有水的体积加玻璃球总体积，即$(200+3x)\mathrm{cm}^3$。
3. 根据“杯中的水没有满”可知，杯内总体积小于杯子的容量300$\mathrm{cm}^3$，因此列不等式为$3x+200＜300$。
【答案】
$3x+200＜300$
【知识点】
列一元一次不等式、不等关系识别
【点评】
本题是实际问题列不等式的基础题，解题关键是抓住“没有满”这类关键词对应的不等关系，注意不要写错不等号的方向。
【难度系数】
0.8
8.在钝角三角形中,一个锐角的度数是另一个锐角的度数的2倍,则较大的锐角x的取值范围是
$0°＜x＜60°$
.答案
8.$0°＜x＜60°$
解析
【分析】
解题前先明确两个核心依据：一是三角形内角和为180°，钝角三角形中钝角的度数大于90°，因此两个锐角的度数之和必然小于90°；二是题目给出的两个锐角的倍数关系，较大锐角为x，则较小锐角为$\frac{x}{2}$。我们先根据钝角的取值要求列不等式，再结合锐角度数大于0的隐含条件，就能求出x的取值范围。
【解析】
设较大的锐角的度数为x，则较小的锐角的度数为$\frac{x}{2}$。
根据钝角三角形的性质，钝角的度数 = 180° - 两个锐角的和，且钝角 ＞ 90°，可得：
$180 - x - \frac{x}{2} ＞ 90$
化简不等式：
$180 - \frac{3x}{2} ＞ 90$
移项得：
$\frac{3x}{2} ＜ 180 - 90$
$\frac{3x}{2} ＜ 90$
两边同时除以$\frac{3}{2}$，得：
$x ＜ 60$
又因为锐角的度数一定大于0°，即$x ＞ 0$
综上，较大锐角x的取值范围是$0° ＜ x ＜ 60°$
【答案】
$0°＜x＜60°$
【知识点】
三角形内角和定理；钝角三角形的性质；一元一次不等式的应用
【点评】
本题属于三角形性质结合不等式的基础应用题，解题的关键是从钝角的取值范围挖掘出两个锐角之和小于90°的隐藏条件，解题时注意不要遗漏锐角度数大于0的隐含要求即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题前先明确两个核心依据：一是三角形内角和为180°，钝角三角形中钝角的度数大于90°，因此两个锐角的度数之和必然小于90°；二是题目给出的两个锐角的倍数关系，较大锐角为x，则较小锐角为$\frac{x}{2}$。我们先根据钝角的取值要求列不等式，再结合锐角度数大于0的隐含条件，就能求出x的取值范围。
【解析】
设较大的锐角的度数为x，则较小的锐角的度数为$\frac{x}{2}$。
根据钝角三角形的性质，钝角的度数 = 180° - 两个锐角的和，且钝角 ＞ 90°，可得：
$180 - x - \frac{x}{2} ＞ 90$
化简不等式：
$180 - \frac{3x}{2} ＞ 90$
移项得：
$\frac{3x}{2} ＜ 180 - 90$
$\frac{3x}{2} ＜ 90$
两边同时除以$\frac{3}{2}$，得：
$x ＜ 60$
又因为锐角的度数一定大于0°，即$x ＞ 0$
综上，较大锐角x的取值范围是$0° ＜ x ＜ 60°$
【答案】
$0°＜x＜60°$
【知识点】
三角形内角和定理；钝角三角形的性质；一元一次不等式的应用
【点评】
本题属于三角形性质结合不等式的基础应用题，解题的关键是从钝角的取值范围挖掘出两个锐角之和小于90°的隐藏条件，解题时注意不要遗漏锐角度数大于0的隐含要求即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
9.每年3月12日是植树节，某校组织学生植树，购买A，B两种树苗共200棵，已知A种树苗每棵18元，B种树苗每棵22元，购买A种树苗的金额不少于购买B种树苗的金额，至少应购买A种树苗
110
棵。答案
9.110
解析
【分析】
这是一道利用一元一次不等式解决的实际应用题，解题思路如下：首先设购买A种树苗的数量为未知数，即可表示出B种树苗的数量；再根据题干给出的不等关系“购买A种树苗的金额不少于购买B种树苗的金额”，其中“不少于”对应数学符号“≥”，分别表示出A、B两种树苗的总购买金额，列出不等式；最后解不等式，结合树苗棵数为正整数的实际要求，取满足条件的最小整数即可。
【解析】
解：设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗$(200-x)$棵。
根据题意，购买A种树苗的金额为$18x$元，购买B种树苗的金额为$22(200-x)$元，由“购买A种树苗的金额不少于购买B种树苗的金额”可列不等式：
$18x ≥ 22(200 - x)$
展开右边得：$18x ≥ 4400 - 22x$
移项合并同类项得：$18x + 22x ≥ 4400$
$40x ≥ 4400$
系数化为1得：$x ≥ 110$
因为x为树苗的棵数，必须是正整数，所以满足条件的最小x为110。
【答案】
110
【知识点】
一元一次不等式应用、实际问题整数解
【点评】
本题属于不等式实际应用的基础题型，解题的核心是准确理解“不少于”这类关键词对应的不等关系，同时要注意结合实际场景判断未知数的取值要求，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
这是一道利用一元一次不等式解决的实际应用题，解题思路如下：首先设购买A种树苗的数量为未知数，即可表示出B种树苗的数量；再根据题干给出的不等关系“购买A种树苗的金额不少于购买B种树苗的金额”，其中“不少于”对应数学符号“≥”，分别表示出A、B两种树苗的总购买金额，列出不等式；最后解不等式，结合树苗棵数为正整数的实际要求，取满足条件的最小整数即可。
【解析】
解：设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗$(200-x)$棵。
根据题意，购买A种树苗的金额为$18x$元，购买B种树苗的金额为$22(200-x)$元，由“购买A种树苗的金额不少于购买B种树苗的金额”可列不等式：
$18x ≥ 22(200 - x)$
展开右边得：$18x ≥ 4400 - 22x$
移项合并同类项得：$18x + 22x ≥ 4400$
$40x ≥ 4400$
系数化为1得：$x ≥ 110$
因为x为树苗的棵数，必须是正整数，所以满足条件的最小x为110。
【答案】
110
【知识点】
一元一次不等式应用、实际问题整数解
【点评】
本题属于不等式实际应用的基础题型，解题的核心是准确理解“不少于”这类关键词对应的不等关系，同时要注意结合实际场景判断未知数的取值要求，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
10.随着问天实验舱、梦天实验舱的成功发射，中国空间站建设取得重大成就，我国载人航天事业正式进入空间站应用与发展阶段.某学校七年级举行了主题为“逐梦寰宇问苍穹”的航天知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分.规定总分不低于90分者被评为“航天小达人”，在这次竞赛中，小强同学作答了所有题目，他至少答对
23
道题才能被评为“航天小达人”.答案
10.23
解析
【分析】
这是一道一元一次不等式的实际应用题，解题时首先梳理题干的数量关系与不等关系：小强答完所有25道题，因此答对题数+答错题数=25；得分规则为答对1题得4分、答错1题扣1分，要求总分不低于90分（即总分≥90）。我们可以设答对题数为未知数，用未知数表示出答错题数，再结合得分规则列出不等式，解不等式后结合题数为正整数的实际意义，即可求出最少答对的题数。
【解析】
解：设小强答对了$x$道题，由于他作答了所有题目，因此答错了$(25-x)$道题。
根据总分不低于90分的要求，列不等式：
$4x - 1×(25 - x) ≥ 90$
展开得：$4x -25 + x ≥90$
合并同类项得：$5x ≥ 115$
系数化为1得：$x ≥ 23$
因为题数为正整数，所以$x$的最小值为23。
【答案】
23
【知识点】
不等式实际应用，列一元一次不等式，解一元一次不等式
【点评】
本题是不等式的常规实际应用题型，解题核心是准确捕捉题干中的不等关系，同时要注意未知数代表题数，需满足正整数的实际要求，避免出现不符合实际的非整数解。
【难度系数】
0.75
这是一道一元一次不等式的实际应用题，解题时首先梳理题干的数量关系与不等关系：小强答完所有25道题，因此答对题数+答错题数=25；得分规则为答对1题得4分、答错1题扣1分，要求总分不低于90分（即总分≥90）。我们可以设答对题数为未知数，用未知数表示出答错题数，再结合得分规则列出不等式，解不等式后结合题数为正整数的实际意义，即可求出最少答对的题数。
【解析】
解：设小强答对了$x$道题，由于他作答了所有题目，因此答错了$(25-x)$道题。
根据总分不低于90分的要求，列不等式：
$4x - 1×(25 - x) ≥ 90$
展开得：$4x -25 + x ≥90$
合并同类项得：$5x ≥ 115$
系数化为1得：$x ≥ 23$
因为题数为正整数，所以$x$的最小值为23。
【答案】
23
【知识点】
不等式实际应用，列一元一次不等式，解一元一次不等式
【点评】
本题是不等式的常规实际应用题型，解题核心是准确捕捉题干中的不等关系，同时要注意未知数代表题数，需满足正整数的实际要求，避免出现不符合实际的非整数解。
【难度系数】
0.75
三、解答题
11.冬季运动会期间，学校计划团购冰墩墩和雪容融装点校园，已知购买1个冰墩墩和4个雪容融需540元，购买5个冰墩墩和2个雪容融需900元.
(1)求1个冰墩墩和1个雪容融的价格分别为多少元？
(2)学校计划购买冰墩墩和雪容融共40个(可以只买一种)，且总费用不超过4200元，问共有几种购买方案？
11.冬季运动会期间，学校计划团购冰墩墩和雪容融装点校园，已知购买1个冰墩墩和4个雪容融需540元，购买5个冰墩墩和2个雪容融需900元.
(1)求1个冰墩墩和1个雪容融的价格分别为多少元？
(2)学校计划购买冰墩墩和雪容融共40个(可以只买一种)，且总费用不超过4200元，问共有几种购买方案？
答案
11.解:(1)设1个冰墩墩的价格为x元，1个雪容融的价格为y元.
根据题意,得$\begin{cases}x+4y=540,\\5x+2y=900,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=140,\\y=100.\end{cases}$
答:1个冰墩墩的价格为140元,1个雪容融的价格为100元.
(2)设购买冰墩墩m个,则购买雪容融$(40-m)$个.
根据题意,得$140m+100(40-m)≤4200$,解得$m≤5$.
又因为m为非负整数，
所以m可以为0,1,2,3,4,5，
所以共有6种购买方案.
答:共有6种购买方案.
根据题意,得$\begin{cases}x+4y=540,\\5x+2y=900,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=140,\\y=100.\end{cases}$
答:1个冰墩墩的价格为140元,1个雪容融的价格为100元.
(2)设购买冰墩墩m个,则购买雪容融$(40-m)$个.
根据题意,得$140m+100(40-m)≤4200$,解得$m≤5$.
又因为m为非负整数，
所以m可以为0,1,2,3,4,5，
所以共有6种购买方案.
答:共有6种购买方案.
解析
【分析】
(1) 第一问有两个明确的费用等量关系，可通过设两个未知数列二元一次方程组求解两种商品的单价。(2)第二问已知总购买数量和总费用上限，设冰墩墩的购买数量为未知数，用总数量表示雪容融的购买数量，根据总费用的限制列一元一次不等式，求出未知数的取值范围后，结合未知数为非负整数的实际要求，统计符合条件的取值个数即可得到方案总数。
【解析】
(1) 设1个冰墩墩的价格为$x$元，1个雪容融的价格为$y$元。
根据题意，得$\begin{cases}x+4y=540,\\5x+2y=900,\end{cases}$
用消元法求解：将第二个方程乘2得$10x+4y=1800$，减去第一个方程得$9x=1260$，解得$x=140$，将$x=140$代入$x+4y=540$，解得$y=100$。
答:1个冰墩墩的价格为140元,1个雪容融的价格为100元。
(2) 设购买冰墩墩$m$个，则购买雪容融$(40-m)$个，$m$为非负整数。
根据总费用不超过4200元，得$140m+100(40-m)≤4200$，
化简得$40m≤200$，解得$m≤5$。
因为$m$为非负整数，所以$m$可以取0,1,2,3,4,5，共6种取值，对应6种购买方案。
答:共有6种购买方案。
【答案】
(1) 1个冰墩墩140元，1个雪容融100元；(2) 6种
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，方案设计
【点评】
本题结合热点背景出题，难度适中，核心考察实际问题转化为数学模型的能力，解题时需注意未知数的取值要符合实际意义，避免漏算边界取值导致方案计数错误。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问有两个明确的费用等量关系，可通过设两个未知数列二元一次方程组求解两种商品的单价。(2)第二问已知总购买数量和总费用上限，设冰墩墩的购买数量为未知数，用总数量表示雪容融的购买数量，根据总费用的限制列一元一次不等式，求出未知数的取值范围后，结合未知数为非负整数的实际要求，统计符合条件的取值个数即可得到方案总数。
【解析】
(1) 设1个冰墩墩的价格为$x$元，1个雪容融的价格为$y$元。
根据题意，得$\begin{cases}x+4y=540,\\5x+2y=900,\end{cases}$
用消元法求解：将第二个方程乘2得$10x+4y=1800$，减去第一个方程得$9x=1260$，解得$x=140$，将$x=140$代入$x+4y=540$，解得$y=100$。
答:1个冰墩墩的价格为140元,1个雪容融的价格为100元。
(2) 设购买冰墩墩$m$个，则购买雪容融$(40-m)$个，$m$为非负整数。
根据总费用不超过4200元，得$140m+100(40-m)≤4200$，
化简得$40m≤200$，解得$m≤5$。
因为$m$为非负整数，所以$m$可以取0,1,2,3,4,5，共6种取值，对应6种购买方案。
答:共有6种购买方案。
【答案】
(1) 1个冰墩墩140元，1个雪容融100元；(2) 6种
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式应用，方案设计
【点评】
本题结合热点背景出题，难度适中，核心考察实际问题转化为数学模型的能力，解题时需注意未知数的取值要符合实际意义，避免漏算边界取值导致方案计数错误。
【难度系数】
0.7
